Orthonormalität

Orthonormalität

Als orthonormal (genauer: zueinander orthonormal) werden in der Mathematik Vektoren bezeichnet, die zueinander orthogonal sind und alle die Norm (anschaulich: Länge) eins besitzen. Eine Basis eines Vektorraums aus orthonormalen Vektoren bildet eine sogenannte Orthonormalbasis; für je zwei Vektoren vi,vj daraus gilt stets \langle v_i, v_j\rangle = \delta_{ij} mit dem Kronecker-Delta δij.

Bei einer Matrix, die aus orthonormalen Vektoren besteht, ist die Inverse gleich der Transponierten: AT = A − 1.

Beispiele

Die Standardbasis (kanonische Basis) des dreidimensionalen Raumes \R^3 – das ist die Basis mit der Darstellung {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0 , 1)} – ist orthonormal:

\left\|e_1\right\| = \left\|e_2\right\| = \left\|e_3\right\| = 1 (jeder Vektor für sich ist normiert)
\langle e_1,e_2\rangle = \langle e_1,e_3\rangle  = \langle e_2,e_3\rangle = 0 (alle Vektoren sind paarweise zueinander orthogonal)

In Funktionenräumen mit Skalarprodukt wie z. B. Hilberträumen werden auch Systeme orthonormaler Funktionen betrachtet.


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