Pauli-Gleichung

Pauli-Gleichung

Die Pauli-Gleichung geht auf den österreichischen Physiker Wolfgang Pauli zurück. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung eines geladenen Spin-1/2-Teilchens, etwa eines Elektrons, das sich so langsam im elektromagnetischen Feld bewegt, dass die Feldenergie und die kinetische Energie klein gegen die Ruheenergie ist. Zusätzlich zu den Termen in der Schrödinger-Gleichung für spinlose Teilchen enthält die Pauli-Gleichung einen Term, der den Spin mit dem Magnetfeld koppelt und der in der klassischen Physik keine Entsprechung hat. Mit diesem Term kann man das Verhalten von Silberatomen beim Stern-Gerlach-Versuch verstehen. Fliegen sie durch ein inhomogenes Magnetfeld, so werden sie je nach Spin-Richtung in zwei Teilstrahlen aufgespalten.

Die Pauli-Gleichung lautet:

\mathrm i\, \hbar\, \partial_t\, \varphi =
\underbrace{ \left( \frac{(\vec p- q \vec A)^2}{2\, m} + q \,\phi \right)}_{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}\,\varphi  - g\,\underbrace{\frac{q\,\hbar }{2\,mc}\,\frac{\vec{ \sigma}}{2} \cdot 
\vec B}_{\text{Spin-Magnetfeld}}\,\varphi\,.

Hier bezeichnet

In einem schwachen, homogenen Magnetfeld \vec{B} koppelt nach der Pauli-Gleichung der Spin um den gyromagnetischen Faktor g stärker an das Magnetfeld als ein gleich großer Bahndrehimpuls \vec{L}\,,

\mathrm i\, \hbar\, \partial_t\, \varphi =
\frac{\vec p^2}{2\, m} \varphi  - \frac{q }{2\,m\,c}\,\bigl(\vec L + g \,\vec S\bigr) \cdot \vec B\,\varphi\,.

Man erhält die Pauli-Gleichung auch als nichtrelativistischen Grenzfall aus der Dirac-Gleichung, die das Verhalten von elementaren Spin-1/2-Teilchen mit oder ohne Ladung beschreibt. Dabei sagt die Diracgleichung den Wert g = 2 für den gyromagnetischen Faktor voraus. Die Quantenelektrodynamik korrigiert diesen Wert zu

g=2,002\,319\,304\,8(8)\,.

Der theoretische Wert stimmt beim Elektron mit dem gemessenen Wert in den ersten 10 Dezimalen überein.

Herleitung der Pauli-Gleichung aus der Dirac-Gleichung

Ausgehend von der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld, aufgespalten in zwei Zweierspinoren,

\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \,\left( \begin{array}{c} \varphi_1\\ \varphi_2\end{array} \right) = c \,\left( \begin{array}{c} \vec{ \sigma}\, \vec \pi \,\varphi_2\\ \vec{\sigma}\, \vec \pi \,\varphi_1\end{array} \right)+q\, \phi \,\left( \begin{array}{c}  \varphi_1\\  \varphi_2\end{array} \right) + m\,c^2\, \left( \begin{array}{c}  \varphi_1 \\-\varphi_2\end{array} \right)
  mit   \vec \pi = \vec p - q\, \vec A

unterstellt man, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruhenergie herrührt,

\left( \begin{array}{c}  \varphi_1 \\  \varphi_2 \end{array}  \right) = \mathrm e^{-\mathrm i \frac{\displaystyle m\,c^2\,t}{\displaystyle \hbar}} \left( \begin{array}{c} \varphi  \\ \chi \end{array} \right)

die Zeitableitung der Zweierspinoren φ und χ klein ist.


\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \,\left( \begin{array}{c} \varphi\\ \chi\end{array} \right) = c \,\left( \begin{array}{c} \vec{ \sigma}\, \vec \pi \,\chi\\ \vec{\sigma}\, \vec \pi \,\varphi\end{array} \right)+q\, \phi \,\left( \begin{array}{c}  \varphi\\  \chi \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 0  \\-2\,m\,c^2\, \chi \end{array} \right)

In der letzten Zeile ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie klein gegen die Ruheenenergie m\,c^2\,. Daher ist χ klein gegen φ und ungefähr gleich

\chi \approx \frac{\vec \sigma\vec{\pi}\,\varphi}{2\,m\,c}\,.

In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich


\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi=  \frac{(\vec \sigma\, \vec \pi)^2}{2\,m} \,\varphi
+q\, \phi\, \varphi\,.

Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man

(\vec \sigma\, \vec \pi)^{\,2}=\sigma^i\,\sigma^j \pi^i \pi^j=
(\delta^{ij}+\mathrm i \varepsilon^{ijk}\sigma^k) \pi^i \pi^j=
\vec{\pi}^2 - \frac {q\,\hbar}{c}\, \vec{\sigma}\,\vec{B}\,.

Der Spinor φ genügt daher der Pauli-Gleichung mit g = 2,


\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi=  \frac{\vec \pi ^{\,2}}{2\,m} \,\varphi + q\,\phi\,\varphi -\frac{q\,\hbar}{2\,mc}\,\vec{\sigma}\,\vec{B}\,\varphi\,.


Im homogenen Magnetfeld gilt \phi=0\,,\,\vec{A}=\frac{1}{2}\,\vec B \times\vec{x}\,, und unter Zuhilfenahme der Vertauschungsregeln des Spatproduktes folgt

(\vec p-q \vec A)^2 = \vec{p}^{\,2} - q\,\vec{x}\times\vec p\cdot \vec{B} = \vec{p}^{\,2} - q\,\vec L\cdot\vec B\,,

wenn man Terme vernachlässigt, die quadratisch in \vec{B} sind. Dann besagt die Pauli-Gleichung


\mathrm i \,\hbar\, \partial_t \, \varphi=  \frac{\vec  p^{\,2}}{2\,m} \,\varphi 
-\frac{q}{2\,mc}\,(\vec{L} + g\, \vec{S} )\cdot\vec{B}\,\varphi\,.

Das Magnetfeld koppelt folglich nicht nur an den Bahndrehimpuls \vec{L} und trägt nicht nur -\frac{q\,\hbar }{2\,m}\,\frac{\vec L}{\hbar} \cdot \vec B
zur Energie bei. Der Faktor \frac{q\,\hbar }{2\,m} wird Magneton des Teilchens genannt. Im Spezialfall des Elektrons spricht man auch vom bohrschen Magneton.

In Drehimpulseigenzuständen ist \frac{\vec L}{\hbar} \cdot \vec B ein ganzzahliges Vielfaches der Magnetfeldstärke |\vec{B}|\,. Dagegen ergibt \frac{\vec S}{\hbar}\cdot\vec B ein halbzahliges Vielfaches, das erst nach Multiplikation mit g ganzzahlig wird. [1]

Einzelnachweise und Fußnoten

  1. Bei isolierten Atomen oder Ionen muss man den Gesamt-Bahndrehimpuls und den Gesamt-Spindrehimpuls des Atoms bzw. Ions zu einem Gesamtdrehimpuls J (= L+S ) addieren und erhält den sog. Landé-Faktor g(L, S, J). Dieser ist 1 bei reinem Gesamt-Bahndrehimpuls und 2 bei reinem Gesamt-Spindrehimpuls, und hat sonst von 1 und 2 verschiedene Werte. Wenn ferner die betroffenen Atome in einen Festkörper eingebaut sind, erhält man Zusatzbeiträge, die g wesentlich verändern können.

Quellen


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