Prothsche Primzahlen

Prothsche Primzahlen

Prothsche Primzahlen sind Primzahlen der Form k\cdot 2^n+1, wobei 2^n > k\ und k\ ungerade sein muss. Jede Primzahl lässt sich eindeutig in der Form k\cdot 2^n+1 schreiben; damit eine Primzahl eine Prothsche Primzahl ist, muss aber zusätzlich 2^n > k\ gelten.

Die Bedeutung der Prothschen Primzahlen liegt darin, dass François Proth (1852-1879) einen einfachen Test gefunden hat, mit dem sich nachweisen lässt, dass solche Zahlen Primzahlen sind. Viele der derzeit größten bekannten Primzahlen wurden mit diesem Test gefunden.

Die Prothschen Primzahlen spielen auch bei den Sierpinski-Zahlen insofern eine Rolle, als dass eine Folge von Zahlen der Form k \cdot 2^n+1\ frei von Prothschen Primzahlen sein muss, damit k\ eine Sierpinski-Zahl sein kann.

Unter den prothschen Primzahlen befinden sich auch Cullen-Primzahlen. Das sind Primzahlen der Form n\cdot 2^n+1.

In der folgenden Tabelle finden sich Primzahlen nach k geordnet. Primzahlen mit 2^n < k\ , die also keine Prothschen Primzahlen sind, stehen in Klammern.

Primzahlen nach k geordnet
k
1: 3, 5, 17, 257, 65537, …
3: (7), 13, 97, 193, 769, 12289, …
5: (11), 41, 641, 163841, …
7: (29), 113, 449, 114689, …
9: (19), (37), (73), 577, 1153, 18433, …
11: (23), (89), 353, 1409, 5767169, …
13: (53), 3329, 13313, …
15: (31), (61), 241, 7681, 15361, …
17: (137), 557057, …
19: 1217, 19457, …
21: (43), (337), 673, 2689, 10753, …
23: (47), 11777, …
… …

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