Ricci-Fluss

Ricci-Fluss

In der Mathematik ist der Ricci-Fluss (nach Gregorio Ricci-Curbastro) auf einer Mannigfaltigkeit eine zeitabhängige riemannsche Metrik g(t), die eine bestimmte partielle Differentialgleichung löst, nämlich die Ricci-Gleichung

\frac{\partial}{\partial t} g(t) = -2 \, \operatorname{Ric}(t) ,

wobei \operatorname{Ric}(t) die Ricci-Krümmung bezüglich der Metrik g(t) ist.

Die Gleichung beschreibt eine zeitliche Veränderung der Metrik, die zur Folge hat, dass dort, wo die Ricci-Krümmung groß ist, sich die Mannigfaltigkeit zusammenzieht und dort, wo sie klein ist, sich die Mannigfaltigkeit ausdehnt. Heuristisch gilt, dass sich die Krümmung ähnlich wie eine Wärmeverteilung mit der Zeit gleichmäßig mittelt, und als Grenzfall eine Metrik konstanter Krümmung entsteht.

Dies allerdings mathematisch zu präzisieren und zu beweisen ist ein schwieriges Problem, weil Singularitäten (d.h. Entartungen der Metrik) im Fluss auftreten können, so dass sich dieser unter Umständen nicht beliebig lange fortsetzen lässt.

Eine wichtige Rolle spielt der Ricci-Fluss im Beweis der Geometrisierungs-Vermutung von 3-Mannigfaltigkeiten durch Grigori Perelman.

Mathematische Eigenschaften

Der Ricci-Fluss ist ein Beispiel für eine Flussgleichung oder Evolutionsgleichung auf einer Mannigfaltigkeit. Andere Flussgleichungen, die nach einem ähnlichen Prinzip definiert sind, sind

  • der mittlere Krümmungsfluss für eingebettete Mannigfaltigkeiten
  • der harmonische Abbildungs-Fluss
  • der Wärmeleitungsfluss.

Die Ricci-Gleichung selbst ist eine quasi-parabolische partielle Differentialgleichung 2. Ordnung.

Äquivalent zum Ricci-Fluss ist der normalisierte Ricci-Fluss, der die Gleichung

\frac{\partial}{\partial t} g(t) = -2 \, \operatorname{Ric}(t) + 2r(t)g(t)

löst. Durch den Korrekturterm r(t), der die durchschnittliche Skalarkrümmung zur Zeit t angibt, wird erreicht, dass das Volumen der Mannigfaltigkeit unter dem Fluss konstant bleibt. Der normalisierte und der nicht normalisierte Ricci-Fluss unterscheiden sich nur um eine Streckung in Raumrichtung und eine Umparametrisierung der Zeit. Beispielsweise bleibt eine runde n-Sphäre unter dem normalisierten Fluss konstant, während sie unter dem nicht normalisierten Fluss in endlicher Zeit auf einen Punkt zusammenschrumpft.

Resultate

Richard Hamilton hat gezeigt, dass für eine gegebene Anfangsmetrik der Ricci-Fluss eine gewisse Zeit lang existiert (d.h. die Gleichung eine Lösung für ein kleines Zeitintervall [0,t0] besitzt). Dies wird als Kurzzeitexistenz bezeichnet.

Für 3-Mannigfaltigkeiten, die eine Anfangsmetrik positiver Ricci-Krümmung zulassen, konnte er außerdem zeigen, dass auf ihnen der Ricci-Fluss zu einer Metrik konstanter positiver Schnittkrümmung konvergiert. Es folgt dann, dass die Mannigfaltigkeit entweder die 3-Sphäre oder ein Quotient aus der 3-Sphäre sein muss.

Mit den von Grigori Perelman gezeigten Methoden (Ricci-Fluss mit Chirurgie, Ricci flow with surgery) ist es möglich, auch die Singularitäten des Ricci-Flusses in den Griff zu bekommen: Wenn eine Singularität auftritt, hat eine Umgebung der Singularität eine genau kontrollierbare Struktur, so dass sich diese Umgebung abschneiden lässt und durch eine Kappe (Halbsphäre plus Zylinder) ersetzen lässt. Auf dieser veränderten Mannigfaltigkeit lässt man den Fluss dann weiterfließen. Die Schwierigkeit dieser Methode liegt darin, Abschätzungen gewisser Größen auf die veränderte Mannigfaltigkeit zu übertragen und dadurch zu garantieren, dass sich die Zeitpunkte, an denen Singularitäten auftreten, nicht häufen können.

Literatur/Weblinks


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Ricci — ist der Familienname folgender Personen: Agostino Ricci (1832–1896), italienischer General Caterina de Ricci (Alessandra Lucrezia Romola; 1522–1589), Florentiner Dominikanerin Christina Ricci (* 1980), US amerikanische Schauspielerin Davide Ricci …   Deutsch Wikipedia

  • Ricci-Fluß — In der Mathematik ist der Ricci Fluss (nach Gregorio Ricci Curbastro) auf einer Mannigfaltigkeit eine zeitabhängige riemannsche Metrik g(t), die eine bestimmte partielle Differentialgleichung löst, nämlich die Ricci Gleichung , wobei die Ricci… …   Deutsch Wikipedia

  • Gregorio Ricci-Curbastro — (* 12. Januar 1853 in Lugo / Provinz Ravenna; † 6. August 1925 in Bologna) war ein italienischer Mathematiker. Er war vor allem berühmt für seine Forschungsergebnisse auf dem Gebiet der Tensorrechnung. Nach Ricci Curbastro ist der Ricci… …   Deutsch Wikipedia

  • Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten — Die Idee der Geometrisierung wurde 1980 von William Thurston als ein Programm zur Klassifizierung geschlossener dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten vorgestellt. Das Ziel der Geometrisierung ist, nach der Zerlegung einer 3 Mannigfaltigkeit in… …   Deutsch Wikipedia

  • Poincare-Vermutung — Die Poincaré Vermutung galt lange als das bedeutendste ungelöste Problem in der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik. Sie ist benannt nach Henri Poincaré und wurde von diesem 1904 aufgestellt. Im Jahr 2000 zählte das Clay Mathematics… …   Deutsch Wikipedia

  • Poincaré-Vermutung — Die Poincaré Vermutung besagt, dass, so lange eine Form kein Loch hat, sie zu einer Kugel deformiert (also geschrumpft, gestaucht, aufgeblasen o. ä.) werden kann und zwar nicht nur im Fall einer zweidimensionalen Oberfläche im dreidimensionalen… …   Deutsch Wikipedia

  • Geometrisierung — Die Idee der Geometrisierung wurde 1980 von William Thurston als ein Programm zur Klassifizierung geschlossener 3 dimensionaler Mannigfaltigkeiten vorgestellt. Das Ziel der Geometrisierung ist, nach der Zerlegung einer 3 Mannigfaltigkeit in… …   Deutsch Wikipedia

  • Thurstonsche Geometrisierungsvermutung — Die Idee der Geometrisierung wurde 1980 von William Thurston als ein Programm zur Klassifizierung geschlossener 3 dimensionaler Mannigfaltigkeiten vorgestellt. Das Ziel der Geometrisierung ist, nach der Zerlegung einer 3 Mannigfaltigkeit in… …   Deutsch Wikipedia

  • Gregori Perelman — Der russische Mathematiker Grigori Jakowlewitsch Perelman (russisch Григорий Яковлевич Перельман, wiss. Transliteration Grigorij Jakovlevič Perel man; * 13. Juni 1966 in Leningrad, heute Sankt Petersburg) ist ein Experte auf dem Gebiet der… …   Deutsch Wikipedia

  • Grigori Perelman — Der russische Mathematiker Grigori Jakowlewitsch Perelman (russisch Григорий Яковлевич Перельман, wiss. Transliteration Grigorij Jakovlevič Perel man; * 13. Juni 1966 in Leningrad, heute Sankt Petersburg) ist ein Experte auf dem Gebiet der… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”