Satz vom Tangentenviereck

Satz vom Tangentenviereck
Ein Tangentenviereck ABCD mit Inkreis k

Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreises sind. Diesen Kreis nennt man den Inkreis des Tangentenvierecks.

Die (hier grün dargestellten) Senkrechten vom Inkreismittelpunkt (M) auf die vier Seiten zerlegen das Tangentenviereck in vier Drachenvierecke (mit grau gezeichneten Symmetrieachsen).

In einem Tangentenviereck ist die Summe zweier gegenüberliegender Seiten (z. B. a und c) gleich der Summe der anderen beiden Seiten (b und d). Es gilt also

a + c = b + d

Umgekehrt gilt auch, dass jedes Viereck mit dieser Eigenschaft (a + c = b + d) einen Inkreis besitzt und somit ein Tangentenviereck ist (Satz vom Tangentenviereck).

Der Mittelpunkt M des Inkreises befindet sich im Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (hier grau gezeichnet) aller vier Eckwinkel (ABCD). Deshalb müssen sich beim Tangentenviereck alle Winkelhalbierenden auch in einem Punkt schneiden.

Formel zum Tangentenviereck
Flächeninhalt A \, = \, r \cdot (a+c) = r \cdot (b+d)
Seitenlängen a,\,b,\,c,\,d
Inkreisradius r\,

Ein interessanter Spezialfall liegt vor, wenn ein Tangentenviereck die Bedingung

α + γ = β + δ

erfüllt. Unter dieser Voraussetzung ist das Tangentenviereck zugleich ein Sehnenviereck, also ein Viereck mit Umkreis; dieser stimmt natürlich nicht mit dem Inkreis überein. Die Flächenformel für Sehnenvierecke liefert in diesem Fall das einfache Ergebnis

A \, = \, \sqrt{abcd}

Spezielle Tangentenvierecke sind die Raute, das Quadrat und das Drachenviereck.


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Tangentenviereck — Ein Tangentenviereck ABCD mit Inkreis k Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, dessen Seiten Tangenten eines Kreises sind. Diesen Kreis nennt man den Inkreis des Tangentenvierecks. Die (hier grün dargestellten) Senkrechten vom Inkreismittelpunkt… …   Deutsch Wikipedia

  • Liste mathematischer Sätze — Inhaltsverzeichnis A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A Satz von Abel Ruffini: eine allgemeine Polynomgleichung vom …   Deutsch Wikipedia

  • Kreis (Geometrie) — Leonardo da Vincis: Der vitruvianische Mensch Der Mensch im Mittelpunkt eines Kreises und eines Quadrates. Der Nabel des Menschen ist der Mittelpunkt des Kreises. Der Begriff Kreis gehört zu den wichtigsten Begriffen der euklidischen Geometrie.… …   Deutsch Wikipedia

  • Formelsammlung Geometrie — Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Geometrie. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Mathematische Symbole erläutert werden. Die Formelsammlung zur euklidischen Geometrie ist ein Teil der Formelsammlung, in der… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”