Simpson-Verteilung

Simpson-Verteilung

Inhaltsverzeichnis

Definition

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik bezeichnet man als Dreiecksverteilung (oder Simpson-Verteilung) eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der auf dem Intervall \left[a, b\right] definierten Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

 f(x)=\begin{cases}
  \frac{2(x-a)}{(b-a)(c-a)}, & \text{wenn } a \le x \le c\\
  \frac{2(b-x)}{(b-a)(b-c)}, & \text{wenn } c < x \le b.
\end{cases}

Hierbei bestimmen die Parameter a (minimaler Wert), b (maximaler Wert) und c (wahrscheinlichster Wert) die Gestalt der Dreiecksverteilung (a\leq c\leq b). Die Dichtefunktion sieht wie ein Dreieck aus und gibt dieser Verteilung ihren Namen. Die y-Achse zeigt die jeweilige Wahrscheinlichkeit für einen Wert x \in \left[a, b\right].

Plot of the Triangular PMF

Eigenschaften

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion lautet

F(x)=\begin{cases}
    \frac{(x-a)^2}{(b-a)(c-a)}, & \text{wenn } a \le x \le c\\
  1-\frac{(b-x)^2}{(b-a)(b-c)}, & \text{wenn } c < x \le b.
\end{cases}

Erwartungswert

Der Erwartungswert einer dreiecksverteilten Zufallsvariable X lautet

\operatorname E(X) = \frac{a+b+c}3.

Varianz

Die Varianz einer dreiecksverteilten Zufallsvariable X ergibt sich zu

\operatorname{Var}(X) = \frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{18} = \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{36}.

Siehe auch

Weblinks


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