Hermitesche Sesquilinearform

Hermitesche Sesquilinearform

Als Hermitesche Form (nach Charles Hermite) bezeichnet man in der linearen Algebra eine besondere Art der Sesquilinearform ähnlich den symmetrischen Bilinearformen.

Definition

Sei V ein Vektorraum über dem Körper \mathbb C. Eine Hermitesche Sesquilinearform ist eine Abbildung

\langle \,,\,\rangle\colon  V \times V \to \mathbb C ,

die für alle x,y,z aus V und für alle a, aus \mathbb C die folgenden Bedingungen erfüllt:

  1. \;\langle x,\,a \cdot y+z \rangle = a \langle x, y \rangle+\langle x, z \rangle (linear in einem Argument);
  2. \;\langle a\cdot x + y, z \rangle = \overline{a}\langle x, z \rangle+\langle y, z \rangle (semilinear im anderen Argument);
  3. \;\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle} (Hermitesche Symmetrie).

Dabei bezeichnet \overline{x} komplexe Konjugation.

Für die Reihenfolge von linearem und semilinearem Argument gibt es unterschiedliche Konventionen.

Aus den Eigenschaft (1) und (3) folgt bereits (2), oder aus (2) und (3) folgt (1); nur um der Übersichtlichkeit willen sind sowohl (1) als auch (2) als Bedingungen genannt worden.

Relevant ist der Begriff der Hermiteschen Sesquilinearform nur über dem Körper der komplexen Zahlen \mathbb C; über dem Körper der reellen Zahlen \mathbb R ist jede Hermitesche Sesquilinearform eine symmetrische Bilinearform. Das innere Produkt über einem komplexen Vektorraum ist eine Hermitesche Sesquilinearform.

Hermitesche Standardform

Die durch

\langle \vec{x},\vec{y} \rangle =\langle (x_1, x_2, ..., x_n),(y_1, y_2, ..., y_n)\rangle =\bar x_1 y_1 +\bar x_2 y_2 +...+\bar x_n y_n =\sum_{k=1}^{n}\bar x_k y_k

definierte Abbildung heißt Hermitesche Standardform.

Literatur


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