Kelley-Raum

Kelley-Räume oder auch k-Räume oder kompakt erzeugte Räume werden in der mathematischen Disziplin der Topologie untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse von Räumen, deren Topologie in enger Beziehung zu ihren kompakten Teilmengen steht und die aus diesem Grunde eine wichtige Rolle in der algebraischen Topologie spielen.

Definition

Ein topologischer Raum X heißt Kelley-Raum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• X ist ein Hausdorff-Raum
• Eine Teilmenge $A\subset X$ ist genau dann abgeschlossen, wenn die Durchschnitte $A\cap K$ für alle kompakten Teilmengen $K\subset X$ abgeschlossen ist.

Die Begriffe k-Raum oder kompakt erzeugter Raum sind in der Literatur häufiger anzutreffen, das unten genannte Lehrbuch von J. Cigler und H. C. Reichel verwendet den Begriff Kelley-Raum.

Beispiele

• Lokalkompakte Räume sind Kelley-Räume.
• Hausdorff-Räume, die dem ersten Abzählbarkeitsaxiom genügen, sind Kelley-Räume.

Kelleyfizierung

Ist (X,τ) ein Hausdorff-Raum und definiert man ein System τ_K von Teilmengen durch $U\in\tau_K :\Leftrightarrow (X\setminus U)\cap K$ ist abgeschlossen für alle kompakten Teilmengen $K\subset X$, so ist τ_K eine feinere Topologie auf X (d.h. $\tau \subset \tau_K$), die X zu einem Kelley-Raum macht. Der topologische Raum (X,τ_K) heißt die Kelleyfizierung von X und wird mit k(X) bezeichnet.

(X,τ) ist genau dann ein Kelley-Raum, wenn τ = τ_K gilt. Man kann zeigen, dass τ_K die feinste Topologie auf X, die auf allen kompakten Teilmengen die Ausgangstopologie erzeugt.

Eigenschaften

• Ein Hausdorff-Raum und seine Kelleyfizierung haben dieselben kompakten Mengen.
• Ist X ein Kelley-Raum, so gilt für jeden anderen topologischen Raum Y und jede Abbildung $f:X\rightarrow Y$: f ist stetig $\Leftrightarrow f|_K$ ist stetig für alle kompakten Teilmengen $K\subset X$. (Umgekehrt ist ein Hausdorff-Raum mit dieser Eigenschaft ein Kelley-Raum; betrachte dazu ${\rm id}_X:X\rightarrow k(X)$.)
• Abgeschlossene Unterräume von Kelley-Räumen sind wieder Kelley-Räume, die Kelley-Eigenschaft vererbt sich nicht auf beliebige Unterräume. Der Arens-Fort-Raum ist kein Kelley-Raum, aber Unterraum eines kompakten und damit eines Kelley-Raums.
• Die Kategorie der Kelley-Räume ist eine volle Unterkategie der Kategorie der Hausdorffräume.
• Ist von den Kelley-Räumen X und Y einer lokalkompakt, so ist der Produktraum $X\times Y$ ein Kelley-Raum. Das Produkt von beliebigen Kelley-Räumen ist im Allgemeinen kein Kelley-Raum. Setzt man allerdings $X\times_k Y := k(X\times Y)$, so ist $\times_k$ ein Produkt in der Kategorie der Kelley-Räume.
• Hausdorffsche Quotienten von Kelley-Räumen sind wieder Kelley-Räume.
• Einer der Gründe, warum Kelley-Räume in der algebraischen Topologie verwendet werden, ist folgende Aussage: Sind X und Y Kelley-Räume und bezeichnet C_co(X,Y) den Raum der stetigen Funktionen $X\to Y$ mit der kompakt-offenen Topologie, so ist folgende Auswertungsabbildung stetig:

$k(C_{co}(X,Y))\times_k X \rightarrow Y,\,\, (f,x)\mapsto f(x)$

Charakterisierung

Folgende Chakaterisierung der Kelley-Räume geht auf D. E. Cohen zurück und zeigt, dass man die Kelley-Räume als Verallgemeinerung der lokalkompakten Räume betrachten kann:

• Ein Hausdorrf-Raum ist genau dann ein Kelley-Raum, wenn er Quotient eines lokalkompakten Raums ist.

Quellen

• Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 (BI-Hochschultaschenbücher 121).
• V. Srinivas: Algebraic K-Theory. 2nd edition. Birkhauser, Boston MA u. a. 1996, ISBN 0-817-63702-8 (Progress in Mathematics 90).
• James Dugundji: Topology. Allyn & Bacon, Boston MA 1966 (Allyn and Bacon Series in Advanced Mathematics), (Auch: Brown, Dubuque IA 1989, ISBN 0-697-06889-7).