Kummertheorie

Im mathematischem Teilgebiet der Körpertheorie beschreibt die Kummertheorie bestimmte Körpererweiterungen, die man durch Adjunktion n-ter Wurzeln von Elementen des Grundkörpers erhält. Ursprünglich wurde die Theorie von Ernst Eduard Kummer bei seiner Beschäftigung mit der fermatschen Vermutung in den 1840er-Jahren entwickelt.

Die Hauptaussagen der Theorie hängen nicht vom speziellen Grundkörper ab, nur darf dessen Charakteristik kein Teiler von n sein. Eine grundlegende Rolle spielt die Kummertheorie in der Klassenkörpertheorie, allgemein ist sie zum Verständnis abelscher Erweiterungen wichtig; sie besagt, dass zyklische Erweiterungen durch Wurzelziehen gewonnen werden können, sofern der Grundkörper genügend Einheitswurzeln enthält.

Kummererweiterungen

Sei n > 1 eine natürliche Zahl. Eine Kummererweiterung ist eine Körpererweiterung L / K, für die gilt:

• K enthält n verschiedene n-te Einheitswurzeln, also die Nullstellen des Polynoms Xⁿ − 1.
• L / K hat eine abelsche Galoisgruppe vom Exponenten n. Letzteres bedeutet, dass für alle Elemente σ der Galoisgruppe $\sigma^n=\operatorname{Id}$ gilt.

Beispiele

Ist n = 2, so ist die erste Bedingung immer erfüllt, falls K nicht die Charakteristik 2 hat, die beiden Einheitswurzeln sind 1 und − 1. Kummererweiterungen sind in diesem Fall zunächst quadratische Erweiterungen $L=K(\sqrt a)$, wobei a ein nichtquadratisches Element von K ist. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen zeigt, dass jede Erweiterung vom Grad 2 diese Gestalt besitzt. Ebenfalls Kummererweiterungen für n = 2 sind biquadratische (durch Adjunktion zweier Quadratwurzeln) und allgemeiner multiquatratische (durch Adjunktion mehrerer Quadratwurzeln) Erweiterungen. Hat K die Charakteristik 2, gibt es keine Kummererweiterungen, da in Charakteristik 2 die Gleichung − 1 = 1 gilt, es also keine zwei verschiedenen Einheitswurzeln gibt.

Für n = 3 gibt es keine Kummererweiterungen der rationalen Zahlen $\mathbb Q$, da nicht alle drei dritten Einheitswurzeln rational sind. Sei a eine beliebige rationale Zahl, die keine dritte Potenz ist, und L der Zerfällungskörper von X³ − a über $\mathbb Q$. Sind α und β Nullstellen dieses kubischen Polynoms, so gilt (α / β)³ = α³ / β³ = a / a = 1. Da das kubische Polynom ferner separabel ist, hat es drei verschiedene Nullstellen. Damit liegen auch die beiden nichttrivialen dritten Einheitswurzeln, nämlich α / β und β / α, in L, sodass L einen Unterkörper K besitzt, der die drei Einheitswurzeln enthält. Dann ist L / K eine Kummererweiterung.

Enthält K allgemeiner n verschiedene n-te Einheitswurzeln, woraus bereits folgt, dass die Charakteristik von K kein Teiler von n ist, so erhält man durch Adjunktion einer n-ten Wurzel eines Elements a von K zum Körper K eine Kummererweiterung. Ihr Grad m ist dabei ein Teiler von n. Als Zerfällungskörper des Polynoms Xⁿ − a ist die Kummererweiterung automatisch galoissch mit zyklischer Galoisgruppe der Ordnung m.

Kummertheorie

Die Kummertheorie macht Aussagen der umgekehrten Richtung. Ist K ein Körper, der n verschiedene n-te Einheitswurzeln enthält, so besagt sie, dass jede zyklische Erweiterung von K vom Grad n durch das Ziehen einer n-ten Wurzel gewonnen werden kann. Bezeichnet man mit $K^\times$ die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente des Körpers K, so stehen die zyklischen Erweiterungen von K vom Grad n, die in einem fest gewählten algebraischen Abschluss liegen, in Bijektion mit den zyklischen Untergruppen von $K^\times/(K^\times)^n$, also der Faktorgruppe von $K^\times$ nach den n-ten Potenzen.

Die Bijektion kann explizit angegeben werden: Einer zyklischen Untergruppe $\Delta \subseteq K^\times/(K^\times)^n$ wird die Erweiterung K(Δ^{1 / n}) zugeordnet, die durch Adjunktion aller n-ten Wurzeln von Elementen aus Δ zu K entsteht.

Umgekehrt ordnet man der Kummererweiterung L / K die Untergruppe $\Delta = K^\times \cap (L^\times)^n$ zu.

Ordnet diese Bijektion die Gruppe Δ und die Körpererweiterung L / K einander zu, so gibt es einen Isomorphismus $\Delta \cong \operatorname{Hom}(\operatorname{Gal}(L/K), \mu_n)$, der gegeben ist durch $a \mapsto \biggl(\sigma \mapsto \frac{\sigma(\alpha)}{\alpha}\biggr)$. Dabei steht μ_n für die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln und α für eine beliebige n-te Wurzel von $a\in\Delta$.

Verallgemeinerungen

Die obige Aussagen lassen sich auf abelsche Erweiterungen verallgemeinern, man erhält dabei analoge Aussagen: Die abelschen Erweiterungen (wiederum in einem festen algebraischen Abschluss gewählt) stehen in Bijektion mit den Untergruppen von $K^\times/(K^\times)^n$.

Die Theorie zyklischer Erweiterungen eines Körpers, dessen Charakteristik ein Teiler von n ist, wird Artin-Schreier-Theorie genannt.

Quellen

• Jürgen Neukirch: Klassenkörpertheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1986.

Weblinks

• Kummer extension in der Encyclopaedia of Mathematics (engl.)