Punkt des gleichen Umwegs

Der Punkt des gleichen Umwegs ist ein besonderer Punkt in einem Dreieck ABC. Dieser Punkt (P) ist dadurch gekennzeichnet, dass der Umweg von A über P nach B ebenso groß ist wie der Umweg von A über P nach C und der Umweg von B über P nach C. Der Punkt des gleichen Umwegs hat die Kimberling-Nummer X(176). Wenn kein Winkel größer ist als 2arcsin(0,8), dann ist der Punkt des gleichen Umwegs der einzige mit dieser Eigenschaft. Andernfalls hat auch der isoperimetrische Punkt diese Eigenschaft.

Eigenschaften

• Der Punkt des gleichen Umwegs ist harmonisch verwandt mit dem isoperimetrischen Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises und dem Gergonne-Punkt und kollinear zu diesen drei Punkten.
• Die Umwege sind gleich dem Durchmesser des inneren Soddy-Kreises.
• Die baryzentrischen Koordinaten sind

$\left( a+\frac{\Delta}{s-a} : b+\frac{\Delta}{s-b} : c+\frac{\Delta}{s-c} \right).$

Hierbei steht Δ für den Flächeninhalt und s für den halben Umfang des Dreiecks ABC.

Weblinks

• Eric W. Weisstein. „Equal Detour Point.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource

Quellen

• Dergiades, N. (2007) "The Soddy circles" Forum Geometricorum vol. 7 pp. 191-197.