Satz von Schur-Zassenhaus

Satz von Schur-Zassenhaus

Der Satz von Schur-Zassenhaus ist ein mathematischer Satz in der Gruppentheorie. Der nach Issai Schur und Hans Julius Zassenhaus benannte Satz lautet[1]:

Die Untergruppe U in obigem Satz ist im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmt, aber man kann zeigen, dass je zwei solcher Untergruppen konjugiert sind.

Beispiele

  • Die zyklische Gruppe G=\Z/6\Z = \{\overline{0},\overline{1},\ldots,\overline{5}\} hat den Normalteiler N=\{\overline{0},\overline{2},\overline{4}\}. Da die Zahlen | N | = 3 und [G:N] = 2 teilerfremd sind, kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden. U=\{\overline{0},\overline{3}\} ist offenbar die einzige Untergruppe, die die Aussage des Satzes erfüllt. Da semidirekte Produkt ist in diesem Fall sogar direkt.
  • Die symmetrische Gruppe G = S3 = {e,d,d2,s1,s2,s3} hat den Normalteiler N = {e,d,d2}. Wegen | N | = 3 und [G:N] = 2 kann der Satz von Schur-Zassenhaus angewendet werden, offenbar erfüllen die drei Untergruppen U_i=\{e,s_i\},\,i=1,2,3 die Aussage des Satzes.
  • Die zyklische Gruppe G=\Z/4\Z = \{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3}\} hat den Normalteiler N=\{\overline{0},\overline{2}\}. Hier sind | N | = 2 und [G:N] = 2 nicht teilerfremd, weshalb der Satz nicht anwendbar ist. Tatsächlich gibt es keine Untergruppe U\subset G, die die Aussage des Satzes erfüllt, denn eine solche müsste ein Element der Ordnung 2 haben, aber das einzige Element der Ordnung 2 ist \overline{2} und das liegt bereits in N. Dieses Beispiel zeigt, dass auf die Teilerfremdheit von | N | und [G:N] in obigem Satz nicht verzichtet werden kann.
  • Ist N irgendeine Gruppe, so zeigt das Beispiel G=N \times N, dass die Teilerfremdheitsbedingung nicht notwendig ist für das Bestehen einer Darstellung als semidirektes, ja sogar direktes, Produkt.

Einzelnachweise

  1. Rowen B. Bell, J. L. Alperin: Groups and Representations, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, Band 162, ISBN 0-387-94526-1 (Kapitel 9: The Schur-Zassenhaus-Theorem)

Quellen


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Issai Schur — Issai Schur[1] (* 10. Januar 1875 in Mogiljow; † 10. Januar 1941 in Tel Aviv) war ein Mathematiker, der die meiste Zeit seines Lebens in Deutschland arbeitete. Als Student von Frobenius arbeitete er über Darstellungstheorie von Gruppen, aber auch …   Deutsch Wikipedia

  • Hans Julius Zassenhaus — (* 28. Mai 1912 in Koblenz; † 21. November 1991 in Columbus, Ohio) war ein deutscher Mathematiker, berühmt durch Arbeiten zur Algebra und als Pionier …   Deutsch Wikipedia

  • Liste mathematischer Sätze — Inhaltsverzeichnis A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A Satz von Abel Ruffini: eine allgemeine Polynomgleichung vom …   Deutsch Wikipedia

  • A4 (Gruppe) — Die A4 (alternierende Gruppe 4. Grades) ist eine bestimmte 12 elementige Gruppe, die im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie untersucht wird. Sie steht in enger Beziehung zur symmetrischen Gruppe S4, es handelt sich bei der A4 um die… …   Deutsch Wikipedia

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”