Streichholzgraph

Der Harborth-Graph, kleinstes bekanntes Beispiel eines 4-regulären Streichholzgraphen

Ein Streichholzgraph ist in der geometrischen Graphentheorie ein in der Ebene gezeichneter Graph, bei dem alle Kanten dieselbe Länge haben und sich nicht überschneiden. Anders ausgedrückt handelt es sich dabei um einen Graphen, der gleichzeitig eine Einbettung als Einheitsdistanz-Graph und als planarer Graph hat. Der Name lässt sich darauf zurückführen, dass man solche Graphen auf einer flachen Oberfläche mit Streichhölzern nachbilden kann.^[1]

Es gibt einige Streichholzgraphen, die bis zum vierten Grad regulär sind. Die vollständigen Graphen K₁ und K₃ sind 0-regulär bzw. 2-regulär, dagegen ist der lineare Graph P₂ 1-regulär. Den kleinsten 3-regulären Streichholzgraphen erhält man, indem man zwei Kopien des Diamantgraphen leicht geneigt nebeneinander auf die Spitze stellt und die Knoten mit Grad 2 jeweils durch eine Kante verbindet. Dieser Graph besitzt als bipartite Doppelüberdeckung den 8-gekreuzten Prismagraphen.^[1]

1986 stellte Heiko Harborth einen Graphen mit 104 Kanten und 52 Knoten vor, der als kleinstes bekanntes Beispiel eines 4-regulären Streichholzgraphen gilt und der nach ihm den Namen Harborth-Graph trägt.^[2] Dabei handelt es sich um einen starren Graphen.^[3]

Man nimmt heute an, dass es keine 5-regulären Streichholzgraphen gibt. Anfang 2010 waren dafür einige Beweise im Umlauf, die jedoch noch nicht endgültig verifiziert wurden.^[4][5]

Der kleinste 3-reguläre Streichholzgraph ohne eingeschlossene Dreiecke (Taillenweite ≥ 4) besitzt 20 Knoten und wurde 2009 von Kurz und Mazzuoccolo vorgestellt.^[6] Diese beiden Autoren haben auch gezeigt, dass das kleinste bekannte Beispiel eines 3-regulären Streichholzgraphen mit Taillenweite 5 eine Knotenzahl von 180 besitzt.

Zu testen, ob ein gegebener ungerichteter planarer Graph ein Streichholzgraph ist, gehört zu den NP-schweren Problemen der Theoretischen Informatik.^[7][8]

Einzelnachweise

1. ↑ ^{a b} Eric W. Weisstein: Matchstick Graph. In: MathWorld. (englisch)
2. ↑ Heiko Harborth: Match sticks in the plane. In: R. K. Guy, R. E. Woodrow (Hrsg.): The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugéne Strens Memorial Conference of Recreational Mathematics and its History, Calgary, Canada, 1986. Washington D.C. 1994, S. 281–288.
3. ↑ E. H.-A. Gerbracht: Minimal polynomials for the coordinates of the Harborth graph. 2006, arXiv:math.CO/0609360.
4. ↑ Aart Blokhuis: Regular Finite Planar Maps with Equal Edges. 2009.
5. ↑ S. Kurz, R. Pinchasi: Regular Matchstick Graphs. 2009 (online).
6. ↑ Sascha Kurz, Giuseppe Mazzuoccolo: 3-regular matchstick graphs with given girth. In: Geombinatorics. 19, 2009, S. 156–175.
7. ↑ Peter Eades, Nicholas C. Wormald: Fixed edge-length graph drawing is NP-hard. In: Discrete Applied Mathematics. 28 (2), 1990, S. 111–134, doi:10.1016/0166-218X(90)90110-X.
8. ↑ Sergio Cabello, Erik Demaine, Günter Rote: Planar embeddings of graphs with specified edge lengths. In: Journal of Graph Algorithms and Applications. 11 (1), 2007, S. 259–276 (online).