Fundamentallösung

Fundamentallösung

Eine Fundamentallösung ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Mit Hilfe einer Fundamentallösung kann man spezielle Lösungen für diese Gleichungen konstruieren.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Falls L ein linearer Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten ist, dann ist eine Fundamentallösung G(x) definiert als distributionelle Lösung von

LG(x) = δ(x),

wobei δ(x) die Dirac'sche Delta-Distribution ist.

Anwendung

Falls für einen linearen Differentialoperator L eine Fundamentallösung G bekannt ist, so erhält man eine Lösung u(x) der Gleichung

Lu(x) = f(x)

durch Faltung der Fundamentallösung G mit der rechten Seite f :


u(x) = (G * f)(x) = \int G(x - y) f(y) dy.

Theorie

Für viele Differentialgleichungen ist eine Fundamentallösung bekannt, etwa die Poisson-Gleichung, die Wärmeleitungsgleichung, die Wellengleichung und die Helmholtz-Gleichung.

Allgemein gilt der Satz von Ehrenpreis-Malgrange, wonach jede partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung besitzt.

Beispiele

Literatur

  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).

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