Galileitransformation

Galileitransformation

Die Koordinatentransformation von einem Bezugssystem B1 in ein anderes Bezugssystem B2 nennt man Galilei-Transformation, wenn sich B2 von B1 nur durch eine Parallelverschiebung, eine Drehung oder eine gleichförmig geradlinige Bewegung unterscheidet.


Inhaltsverzeichnis

Bemerkungen

Newton-Mechanik

B2 ist in Bezug zu B1 unbeschleunigt. Ist B1 ein Inertialsystem, also ein Bezugssystem in dem nur physikalische (also newtonsche) Kräfte auftreten, so ist B2 ebenfalls ein Inertialsystem. Ist B1 kein Inertialsystem, also eines mit mathematischen (also scheinbaren) Kräften, so gilt dies ebenfalls für B2. Die Newtonsche Mechanik ist Invariant bei Galilei-Transformationen.

Andere Transformationen

Eine Rotation ist keine Galilei-Transformation, da B2 in Bezug zu B1 beschleunigt ist. Die Transformation von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten oder eine Skalierung oder Scherung ist ebenfalls keine Galilei-Transformation.

Die Transformationen im Einzelnen

Die drei Galilei-Transformationen Verschieben (mit dem konstanten Verschiebungsvektor \vec s), Verdrehen (mit der konstanten Drehmatrix D) und unbeschleunigt Bewegen (mit der konstanten Geschwindigkeit \vec v_k) können formal zu einer einzigen Galilei-Transformation GT zusammengefasst werden:

B_2 = GT(B_1) = D \cdot (B_1 + \vec s + \vec v_k \cdot t)


Parallelverschiebung

Ist B2 in Bezug zu B1 um den Verschiebungsvektor \vec s verschoben

B_2 = B_1 + \vec s

lautet die entsprechende Koordinatentransformation

\vec r(t)_2 = \vec r(t)_1 - \vec s


In Bezug zu B1 scheinen die Orte verschoben, aber die Geschwindigkeit ist unverändert und folglich ebenfalls die Beschleunigung:

\vec v(t)_2 = \frac {d \vec r(t)_2}{dt} = \frac {d \vec r(t)_1}{dt} - \frac {d \vec s}{dt} = \frac {d \vec r(t)_1}{dt} = \vec v(t)_1


Drehung

Ist B2 in Bezug zu B1 gedreht worden (D ist eine Drehmatrix)

B_2=D \cdot B_1

lautet die entsprechende Koordinatentransformation

\vec r(t)_2 = D^{-1} \cdot \vec r(t)_1


In Bezug zu B1 sind die Orte, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen nur gedreht. An der Physik mit ihren Kräften ändert sich nichts.


Geradlinig gleichförmige Bewegung

Hat B2 in Bezug zu B1 eine konstante Geschwindigkeit \vec v_k

B_2 = B_1 + \vec v_k \cdot t

lautet die entsprechende Koordinatentransformation

\vec r(t)_2 = \vec r(t)_1 - \vec v_k \cdot t


In Bezug zu B1 wird die Geschwindigkeit verändert, aber die Beschleunigung nicht:

\vec v(t)_2 = \frac {d \vec r(t)_2}{dt} = \frac {d \vec r(t)_1}{dt} - \frac {d (\vec v_k \cdot t)}{dt} = \vec v(t)_1 - \vec v_k

\vec a(t)_2 = \frac {d \vec v(t)_2}{dt} = \frac {d \vec v(t)_1}{dt} - \frac {d \vec v_k}{dt} = \vec a(t)_1


In der Maxwellschen Elektrodynamik führt diese Galilei-Transformation zu Problemen und ist durch die Lorentz-Transformation ersetzt worden.


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