Hopfalgebra

Hopfalgebra

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra Kommutative Algebra

ist Spezialfall von

Bialgebra

Eine Hopf-Algebra – benannt nach dem Mathematiker Heinz Hopf – H über einem Körper $\mathbb{K}$ ist eine Bialgebra $(H,\nabla,\eta,\Delta,\epsilon)$ mit einer $\mathbb{K}$-linearen Abbildung, der sog. Antipode, $S\colon H\to H$, so dass das folgende Diagramm kommutiert:

Formal in der Sweedler-Notation - benannt nach Moss Sweedler - geschrieben heißt das: $S\left(c_{\left(1\right)}\right)c_{\left(2\right)}=c_{\left(1\right)}S\left(c_{\left(2\right)}\right)=\epsilon\left(c\right)1.$

Faltung und Antipode

Sei A eine Algebra und C eine Koalgebra. Die $\mathbb K$-linearen Abbildungen von C nach A bilden eine Algebra mit Produkt * , genannt Faltung, definiert durch

(f * g)(x): = f(x₍₁₎)g(x₍₂₎).

Das neutrale Element in dieser Algebra ist $\eta \circ \epsilon$, denn

$(f*(\eta \circ \epsilon))(x) = f(x_{(1)})\eta(\epsilon(x_{(2)})) = f(x_{(1)}\epsilon(x_{(2)}))\eta(1) = f(x)$

und entsprechend auch

$((\eta \circ \epsilon)*f)(x) = f(x)$.

Für eine Bialgebra H bilden die $\mathbb K$-linearen Abbildungen von H nach H auf diese Weise eine Algebra. Die Antipode S ist das zur identischen Abbildung inverse Element in dieser Algebra. Das heißt

$S*\mathrm{id} = \eta\circ\epsilon = \mathrm{id}*S$.

Beispiele

Gruppenalgebra

Ein einfaches Beispiel für eine Hopf-Algebra ist die Gruppenalgebra $\mathbb K G$. Sie wird durch

$\Delta(g) := g \otimes g$ für $g \in G$

und

ε(g): = 1 für $g \in G$

zu einer Bialgebra, die Antipode

S(g): = g ^{− 1} für $g \in G$

macht sie zu einer Hopf-Algebra.

Universelle einhüllende Algebra

Die universelle einhüllende Algebra $\mathrm U(\mathfrak g)$ einer Liealgebra $\mathfrak g$ ist auf natürliche Weise ein Hopfalgebra. Für ein Element $x \in \mathfrak g$ ist das Koprodukt durch

$\Delta(x) := 1\otimes x + x \otimes 1$

und die Koeins durch

ε(x): = 0

definiert.

S(g): = − x

definiert die Antipode.

Gruppenartige und primitive Elemente

Ein Element g einer Hopfalgebra heißt gruppenartig, wenn $\Delta(g)=g \otimes g$ und ε(g) = 1. Für die Antipode gilt dann S(g) = g ^{− 1}.

Ein Element x heißt primitiv, wenn $\Delta(x)=1\otimes x + x\otimes 1$. Daraus folgt, dass ε(x) = 0 und S(x) = − x.

Ein Element x heißt schiefprimitiv, wenn $\Delta(x)=g\otimes x + x\otimes h$ mit gruppenähnlichen Elementen g und h. Daraus folgt, dass ε(x) = 0 und S(x) = − g ^{− 1}xh ^{− 1}.

Literatur

• Christian Kassel: Quantum Groups (Graduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag 1998, ISBN 0-387-94370-6 (Englisch)