Konvergenzbeschleunigung

Als Konvergenzbeschleunigung bezeichnet man die Ersetzung einer Folge durch eine andere, die schneller gegen denselben Grenzwert konvergiert. Diese Verfahren werden oft zur Berechnung von Werten von Reihen eingesetzt.

Eine Folge

$T=\{t_n\}_{n\in \mathbb{N}_0}$

mit dem Grenzwert s konvergiert schneller als eine andere Folge

$S=\{s_n\}_{n\in \mathbb{N}_0}$

mit demselben Grenzwert, falls der Grenzwert

$\lim_{n \to\infty} \frac{\|t_{n}-s\|} {\|s_{n}-s\|} = 0$

existiert und gleich Null ist. Erhält man T aus einer konvergenten Folge S durch eine Folgentransformation der Gestalt

T = F(S),

so spricht man von Konvergenzbeschleunigung.

Beispiel

Die Folge $n\mapsto\sum_{k=1}^n\frac1{k^2}$ konvergiert mit einem Fehler proportional zu $\frac1n$ gegen $\frac{\pi^2}6$. Die Glieder in der Summe können für k>1 durch

$\frac1{k(k+1)}<\frac1{k^2}<\frac1{(k+1)(k-1)}$

abgeschätzt werden. Die Reihen zu den Abschätzungen links und rechts sind Teleskopreihen,

$\frac32-\frac1{n+1}\le 1+\sum_{k=2}^n\frac1{k^2}\le \frac74-\frac{n+\frac12}{n(n+1)}$.

Die Differenz der letzten beiden Terme beträgt

$\sum_{k=2}^n\frac1{k^2-1}-\sum_{k=2}^n\frac1{k^2}=\sum_{k=2}^n\frac1{k^2(k^2-1)}$

Somit gilt auch

$\frac{\pi^2}6=\frac74-\sum_{k=2}^\infty \frac1{k^2(k^2-1)}$.

Die n-ten Partialsummen der darin auftretenden Reihe konvergieren mit Fehler proportional zu n ^{− 3}, also wesentlich schneller.

Dieses Verfahren kann beliebig fortgesetzt werden, so kann die Differenz der letzten Reihe zur Teleskopreihe $\sum_{k=2}^\infty \frac1{(k-1)k(k+1)(k+2)}$ betrachtet werden.

Siehe auch

• Romberg-Integration