Konvexität (Finanzmathematik)

Konvexität ist eine Kennzahl aus der Finanzmathematik zur Beschreibung des Verhaltens einer Anleihe bei Zinsänderungen. Es ist eine Erweiterung bzw. Verbesserung der Duration und - wie diese - nur eine Schätzung der Änderung des Barwertes.

Der Verlauf des Barwertes von Anleihen im Falle von Zinsänderungen ist konvex. Da die Duration lediglich die erste Ableitung - also die Steigung - berücksichtigt, ist sie nur für kleine Zinsänderungen zu gebrauchen bzw. wird umso ungenauer, je größer die Zinsänderung ausfällt.

Die Konvexität berücksichtigt auch die zweite Ableitung - die Krümmung, und ist daher eine genauere Annäherung an die tatsächliche Wertveränderung. Die Formel zur Berechnung der Konvexität lautet:

$C = \frac{P_0(i_0)''}{P_0(i_0)}$

wobei P₀ den Wert der Anleihe zum Zeitpunkt 0 darstellt und i₀ den entsprechenden Zinssatz.

Ist P₀(i₀) beispielsweise

$c \cdot (1+i)^{-1} + c \cdot (1+i)^{-2} + (c + N) \cdot (1+i)^{-3}$

mit N = Nominale, c = Kupon und i = Zinssatz, so ist die erste Ableitung in diesem Fall

$-c \cdot (1+i)^{-2} - 2c \cdot (1+i)^{-3} - 3 \cdot (c + N) \cdot (1+i)^{-4}$

und die zweite Ableitung

$2c \cdot (1+i)^{-3} + 6c \cdot (1+i)^{-4} + 12 \cdot (c + N) \cdot (1+i)^{-5}$

Die Veränderung des Barwertes einer Anleihe nach dem Prinzip der Konvexität erfolgt folgendermaßen:

$\mathrm{d}P/P = -D \cdot \mathrm{d}Y + 1/2 \cdot C \cdot \mathrm{d}Y^{2}$

wobei

D = Duration

P = Preis (inkl. Stückzins, sog. „dirty price“) der Anleihe

dP = Veränderung dieses Preises

dY = Zinsänderung, z. B. 0,005 bei einer Änderung von 50 Basispunkten (100 Basispunkte = 1 %)

C = Konvexität (Convexity)

Siehe auch

Konvexität