Mann-Whitney

Mann-Whitney

Der Mann-Whitney-Test ("Mann-Whitney-U-Test" oder kurz "U-Test") ist ein parameterfreier statistischer Test. Der U-Test ist ein Homogenitätstest. Er dient zur Überprüfung der Signifikanz der Übereinstimmung zweier Verteilungen, also ob zwei unabhängige Verteilungen A und B (zum Beispiel eine unbeeinflusste und eine beeinflusste) zu derselben Grundgesamtheit gehören.

Der Test wurde von Henry Mann und Donald Whitney (1947) sowie Frank Wilcoxon (1945) entwickelt und wird deshalb auch Mann-Whitney-Wilcoxon (MWW)-Test oder Wilcoxon-Rangsummentest genannt.

Man hat 2 Stichproben vor sich, Stichprobe A mit n1 Werten und Stichprobe B mit n2 Werten. Man vergleicht jeden Wert der Stichprobe A mit jedem Wert der Stichprobe B. Es gibt also n_1 \cdot n_2 Vergleiche. Die Nullhypothese H(0) besagt, dass es keinen Unterschied zwischen den Verteilungen gibt, d. h. A = B.

Der Test funktioniert einseitig oder zweiseitig. Beim einseitigen Test wird geprüft, ob A > B bzw. A < B ist, beim zweiseitigen Test wird geprüft, ob A = B ist.

Zunächst wird aus beiden Zahlenreihen je eine Prüfgröße U gebildet:

U_1=n_1 \cdot n_2 +{n_1 \cdot (n_1+1) \over 2}-R_1
U_2=n_1 \cdot n_2 +{n_2 \cdot (n_2+1) \over 2}-R_2


n1 und n2 sind dabei die Anzahlen der Zahlenwerte pro Reihe, R1 und R2 sind die Rangzahlen der geordneten Reihen. Um diese zu ermitteln, werden alle Werte beider Reihen zusammen aufsteigend in eine Tabelle geschrieben. Die Rangzahlen der Zahlenwerte werden für A und für B getrennt in zwei Spalten aufsummiert. Sind zwei oder mehrere Werte in beiden Datensätzen gleich, dann müssen in beiden Rangspalten jeweils die Mediane (bzw. arithmetischen Mittel) eingetragen werden. Für den zweiseitigen Test benötigt man das Minimum von U1 und U2, also min(U) = min(U1,U2).

U1 und U2 bzw. min(U) werden nun mit der Testgröße U() verglichen. Beim einseitigen Test ist diese Testgröße

U = \frac{n_1 \cdot n_2}{2} - \mathrm{u}(\alpha) \cdot \sqrt{n_1 \cdot n_2 \cdot (n_1+n_2+1) \over 12}.

und beim zweiseitigen Test:

U = \frac{n_1 \cdot n_2}{2} - \mathrm{u}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \sqrt{n_1 \cdot n_2 \cdot (n_1+n_2+1) \over 12}.

U hängt von n1 und n2 ab, außerdem über den Parametern u(α) bzw. u(\tfrac{\alpha}{2}) (oder λ(1 − α) bzw. \lambda(1-\tfrac{\alpha}{2}), wobei λq das Quantil der Standard-Normalverteilung bezeichnet) vom Signifikanzniveau α. In Abhängigkeit vom gewünschten Signifikanzniveau (zum Beispiel 1%, 5%, oder 10%) muss man u(α) bzw. u(\tfrac{\alpha}{2}) aus einer geeigneten Tabelle entnehmen. Bei einer Signifikanz von 5% ist u(\tfrac{\alpha}{2}) beispielsweise 1,960.

Die Nullhypothese (dass die beiden Zahlenreihen zur selben Grundgesamtheit gehören) wird abgelehnt, wenn beim einseitigen Test U1 < U bzw. U2 < U ist und beim zweiseitigen Test min(U) < U ist.

Es gibt auch Tabellen, aus denen man in Abhängigkeit von n1 und n2 den kritischen U-Wert entnehmen kann. Die folgende Tabelle ist gültig für \alpha=5\% (zweiseitig) und \tfrac{\alpha}{2}=2,5\% (einseitig).

Kritische U-Werte für den Mann-Whitney-Test

zweiseitig α = 0,05
einseitig \tfrac{\alpha}{2} = 0,025
n1 n2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 -
2 - -
3 - - -
4 - - - 0
5 - - 0 1 2
6 - - 1 2 3 5
7 - - 1 3 5 6 8
8 - 0 2 4 6 8 10 13
9 - 0 2 4 7 10 12 15 17
10 - 0 3 5 8 11 14 17 20 23
11 - 0 3 6 9 13 16 19 23 26 30
12 - 1 4 7 11 14 18 22 26 29 33 37
13 - 1 4 8 12 16 20 24 28 33 37 41 45
14 - 1 5 9 13 17 22 26 31 36 40 45 50 55
15 - 1 5 10 14 19 24 29 34 39 44 49 54 59 64
16 - 1 6 11 15 21 26 31 37 42 47 53 59 64 70 75
17 - 2 6 11 17 22 28 34 39 45 51 57 63 69 75 81 87
18 - 2 7 12 18 24 30 36 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99
19 - 2 7 13 19 25 32 38 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 113
20 - 2 8 14 20 27 34 41 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112 119 127
21 - 3 8 15 22 29 36 43 50 58 65 73 80 88 96 103 111 119 126 134
22 - 3 9 16 23 30 38 45 53 61 69 77 85 93 101 109 117 125 133 141
23 - 3 9 17 24 32 40 48 56 64 73 81 89 98 106 115 123 132 140 149
24 - 3 10 17 25 33 42 50 59 67 76 85 94 102 111 120 129 138 147 156
25 - 3 10 18 27 35 44 53 62 71 80 89 98 107 117 126 135 145 154 163
26 - 4 11 19 28 37 46 55 64 74 83 93 102 112 122 132 141 151 161 171
27 - 4 11 20 29 38 48 57 67 77 87 97 107 117 127 137 147 158 168 178
28 - 4 12 21 30 40 50 60 70 80 90 101 111 122 132 143 154 164 175 186
29 - 4 13 22 32 42 52 62 73 83 94 105 116 127 138 149 160 171 182 193
30 - 5 13 23 33 43 54 65 76 87 98 109 120 131 143 154 166 177 189 200
31 - 5 14 24 34 45 56 67 78 90 101 113 125 136 148 160 172 184 196 208
32 - 5 14 24 35 46 58 69 81 93 105 117 129 141 153 166 178 190 203 215
33 - 5 15 25 37 48 60 72 84 96 108 121 133 146 159 171 184 197 210 222
34 - 5 15 26 38 50 62 74 87 99 112 125 138 151 164 177 190 203 217 230
35 - 6 16 27 39 51 64 77 89 103 116 129 142 156 169 183 196 210 224 237
36 - 6 16 28 40 53 66 79 92 106 119 133 147 161 174 188 202 216 231 245
37 - 6 17 29 41 55 68 81 95 109 123 137 151 165 180 194 209 223 238 252
38 - 6 17 30 43 56 70 84 98 112 127 141 156 170 185 200 215 230 245 259
39 0 7 18 31 44 58 72 86 101 115 130 145 160 175 190 206 221 236 252 267
40 0 7 18 31 45 59 74 89 103 119 134 149 165 180 196 211 227 243 258 274

Literatur

  • Sidney Siegel: Nichtparametrische statistische Methoden. Fachbuchhandlung für Psychologie, Eschborn bei Frankfurt am Main, 2. Ausgabe, 1985)
  • Wilcoxon, Frank (1945): Individual Comparisons by Ranking Methods. Biometrics Bulletin 1: 80–83.
  • Mann, Henry/Whitney, Donald (1947): On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other. Annals of mathematical Statistics 18: 50-60.

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