Mittelpunktsregel

Mittelpunktsregel
Mittelpunktsregel

Die Mittelpunktsregel (auch Rechteckregel) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Berechnung von Integralen (Numerische Quadratur). Man nimmt dabei den Mittelpunkt des Intervalls [a;b] und multipliziert den Funktionswert an dieser Stelle mit der Intervallbreite (b-a) um das Integral zu bekommen:

\int_{a}^{b}f(x) dx \approx f\left(\frac{a+b}{2} \right) \cdot (b-a).

Bei der zusammengesetzten Mittelpunktsregel wird nun das Intervall [a;b] in n Teilintervalle aufgeteilt. Anschließend führt man die Mittelpunktsregel für jedes der Teilintervalle aus und summiert die Flächen auf.

Beispiel

Es sei eine Funktion f(x) = ln x im Intervall [2;6] zu integrieren. Dazu wäre die Berechnung des Integrals \int_2^6 f(x) dx = \int_2^6 \ln x dx nötig. Die allgemeine Lösung ist:

\int \ln x dx = x \ln x - x + C

Demnach ist \int_2^6 f(x) dx = 5,3642...

Bei der Nutzung der zusammengesetzten Mittelpunktsregel mit vier Teilintervallen ergibt sich folgendes:

  1. Zerlegung des Intervalls [2;6] in vier Teilintervalle: [2;3], [3;4], [4;5] und [5;6] mit den Intervallmitten 2,5, 3,5, 4,5 und 5,5.
  2. Berechnung von: \frac{6-2}{4} \cdot (f(2,5) + f(3,5) + f(4,5) + f(5,5)) =  \frac{4}{4} (\ln 2,5 + \ln 3,5 + \ln 4,5 + \ln 5,5) \approx 0,9163 + 1,2528 + 1,5041 + 1,7047 = 5,3779
  3. Es gilt also \int_2^6 f(x) dx \approx 5,3779

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