Nash-Cournot-Gleichgewicht

Das Cournot-Oligopol (Begriff aus der Volkswirtschaftslehre, siehe auch Oligopol) ist eine modellhafte Marktsituation, die von Antoine-Augustin Cournot zuerst beschrieben und analysiert wurde. Sie taucht in der Literatur auch unter den Namen Cournot-Dyopol und Nash-Cournot-Gleichgewicht auf. Im Cournot-Oligopol wird das Verhalten zweier oder mehrerer Konkurrenten auf einem unvollkommenen Markt beschrieben, auf dem die Angebotsmenge die „strategische Variable“ darstellt. Das Cournotsche Oligopolmodell stellt ein einfaches und grundlegendes Modell in der Markt- und Preistheorie dar, das sich dadurch auszeichnet, dass es die Marktsituationen des Monopols und des Polypols als Grenzfälle mit einschließt.

Grundmodell: Cournot-Duopol

Ausgangssituation

Man betrachte einen Markt mit folgenden Eigenheiten:

• Es gibt auf dem Markt nur zwei Anbieter, I und J.
• Die angebotenen Produkte dieser beiden Anbieter sind von identischer Beschaffenheit und Qualität.
• Die Nachfrager sind zu jedem Zeitpunkt über die Angebotspreise der Anbieter informiert und versuchen, beim billigsten Anbieter zu kaufen.
• Die Nachfrage folgt einer bekannten linearen Preis-Absatz-Funktion ( Preis = K - Angebotsmenge ).
• Beide Anbieter haben identische und konstante Grenzkosten (=Bereitstellungskosten je Einheit des Produkts), es gibt keine Fixkosten.
• Jeder der beiden Anbieter hat zu jedem Zeitpunkt Kenntnis über seinen eigenen Angebotspreis und den seines Konkurrenten und kann unendlich schnell auf Preisänderungen reagieren. Weiterhin kennt jeder Anbieter zu Beginn des Marktes die Ausgangssituation in vollem Umfang, insbesondere auch die Grenzkosten seines Konkurrenten.
• Beide Anbieter wollen ihren Gewinn ( = ( Verkaufspreis - Grenzkosten ) $\cdot$ Angebotsmenge ) maximieren und wissen, dass ihr Gegenüber dies ebenfalls will. (Rationalitätsannahme)
• Die Angebotsmengen werden von den beiden Anbietern vor Beginn des Marktes festgesetzt und können während der betrachteten Zeitspanne nicht geändert werden. Nicht verkaufte Waren sind nach Ende des Marktes wertlos. Änderungen des Angebotspreises sind jederzeit beliebig möglich. Die Anbieter werden ihre Preise solange variieren, bis die Nachfrage genau dem Angebot entspricht - d. h. sie wählen schließlich genau denjenigen Preis, zu dem sie alles verkauft bekommen. Somit ist die Angebotsmenge die „strategische Variable“, deren Wahl das Marktergebnis (und somit auch den Marktpreis) determiniert.
• Beide Anbieter entscheiden simultan über ihre Angebotsmengen, ohne dass sie Kenntnis von der Angebotmenge des Konkurrenten haben.

Mathematische Herleitung des Marktergebnisses

• Die Nachfragefunktion sei p = a − b(x_i + x_j) mit p = Marktpreis, x_i,x_j = Angebotsmengen der Anbieter I und J, a und b seien Konstanten > 0.
• Die Gewinnfunktionen der Anbieter seien G_n = px_n − cx_n, mit G_n = Gewinn des Anbieters n (I oder J), x_n sei die Angebotsmenge des Anbieters n und c seien die variablen Kosten je Mengeneinheit (Grenzkosten).

Die Nachfragefunktion lässt sich in die Gewinnfunktionen der Anbieter einsetzen, indem man p ersetzt:

G_i = (a − bx_i − bx_j)x_i − cx_i und G_j = (a − bx_i − bx_j)x_j − cx_j.

Nun werden die Gewinnfunktionen abgeleitet, G_i nach x_i und G_j nach x_j:

$\frac{\partial G_i}{\partial x_i} = a - 2 bx_i - bx_j - c = 0 \iff x_i=\frac{a-bx_j-c}{2b}$ , analog kommt man auf $x_j=\frac{a-bx_i-c}{2b}$.

Ein Gleichgewicht ist dann erreicht, wenn beide Gleichungen erfüllt sind, also kann man einsetzen:

$x_i=\frac{a-b\frac{a-bx_i-c}{2b}-c}{2b} \iff x_i^*=\frac{a-c}{3b}$, analog erhält man $x_j^*=\frac{a-c}{3b}$.

Im Gleichgewicht bieten also beide Anbieter die gleiche Menge an. Diese Menge wird beim Vergleich verschiedener Modelle für oligopolistische Marktsituationen „Cournot-Menge“ genannt.

In die Preis-Absatz-Funktion eingesetzt ergibt sich als Marktpreis $p = a-b(x_i+x_j) = \frac{a+2c}{3}$.

Anmerkung: Das mathematische Modell kann sowohl mit einfacherer als auch mit allgemeinerer Ausgangssituation (durch Normierung bestehender oder Hinzunahme zusätzlicher Variablen) aufgestellt werden. In Lehrbüchern existieren vielerlei anderer Darstellungen, die i. A. Verallgemeinerungen oder Spezialfälle der hier genannten Formulierung sind.

Verbale Erläuterung des Ergebnisses

Die beiden Konkurrenten wissen voneinander, dass sie die Handlungsmöglichkeiten des jeweils anderen in ihre Kalkulation miteinbeziehen. Deshalb versuchen sie, die Angebotsmenge zu wählen, die die "beste Antwort" auf die antizipierte Angebotsmenge des Konkurrenten darstellt. Die einzige Kombination von Angebotsmengen, bei denen beide jeweils die "beste Antwort" auf die Angebotsmenge des Gegners sind, sind oben beschriebenen Mengen. Wählt einer der Anbieter die Cournot-Menge, so ist es für den Gegner, auch wenn ihm die Mengenentscheidung seines Gegners bekannt ist, optimal, ebenfalls die Cournot-Menge zu wählen. Wählte er mehr als die Cournot-Menge, würde er über den sinkenden Marktpreis mehr verlieren, als er über den steigenden Absatz gewinnen würde. Wählte er weniger, würde er über die gesunkene Absatzmenge mehr verlieren, als er über den dann höheren Marktpreis gewänne. Es handelt sich also um ein stabiles Gleichgewicht, das ein Nash-Gleichgewicht darstellt, also J.F. Nashs Anforderungen an ein stabiles Gleichgewicht in strategischen Entscheidungssituationen genügt.

Verallgemeinerung auf das Oligopol

Wir betrachten nun einen Markt mit $n \in \mathbb{N}$ Anbietern und setzen zur Vereinfachung b = 1. Die Preis-Absatz-Funktion lautet nun:

$p = a - \sum_{i=1}^n x_i$ , die Gewinnfunkion eines Anbieters i lautet:

$G_i = (a-(x_i+\sum_{j=1; j\neq i}^n x_j))x_i-cx_i$ , deren Ableitung nach x_i ist:

$\frac{\partial G_i}{\partial x_i} = a - 2 x_i - \sum_{j=1; j\neq i}^n x_j - c = 0 \iff x_i=\frac{a-\sum_{j=1; j\neq i}^nx_j-c}{2}$.

Daraus und aus der Überlegung, dass in einem Gleichgewicht gleicher Spieler die Mengen der Spieler gleich sein müssen, kann man die Gleichgewichtsangebotsmengen herleiten:

$x_i=\frac{a-(n-1)x_i-c}{2} \iff x_i=\frac{a-c}{n+1}$ .

Setzt man in diese Gleichung die Anbieterzahl n=2 ein, ergibt sich die oben errechnete Cournot-Duopol-Menge; bei einer Anbieterzahl von n=1, einem Monopol also, erhält man die Cournot-Monopol-Menge, die Cournot in seiner Preistheorie des Monopols (Cournotscher Punkt) beschrieben hat. Für eine gegen unendlich gehende Anbieterzahl konvergiert das Modell gegen das von der Theorie vorhergesagte Marktergebnis des Polypols.

Die folgende Tabelle liefert einen Überblick über die Marktergebnisse bei verschiedenen Anbieterzahlen (mit a=1 und b=1):

Anbieterzahl und Marktergebnisse

Anbieterzahl	1	2	3	...	unendlich
Angebotsmenge je Anbieter	$\frac{1-c}{2}$	$\frac{1-c}{3}$	$\frac{1-c}{4}$	...	nahe 0
Gesamtangebotsmenge	$(1-c)\cdot \frac{1}{2}$	$(1-c)\cdot \frac{2}{3}$	$(1-c)\cdot \frac{3}{4}$	...	$(1-c)\cdot 1$
Marktpreis	$c+\frac{1-c}{2}$	$c+\frac{1-c}{3}$	$c+\frac{1-c}{4}$	...	c

Man erkennt,

• dass der Absatz des einzelnen Anbieters mit zunehmender Anbieterzahl schwindet.
• dass sich die Marktversorgung (Gesamtangebotsmenge) mit zunehmender Anbieterzahl verbessert.
• dass der Marktpreis mit steigender Anbieterzahl in Richtung Grenzkosten sinkt.

Interpretation des Oligopolmodells

Einige weitere Ergebnisse des Modells (bzw. von Erweiterungen des Modells):

• Die Gesamtmenge der Unternehmensgewinne ist maximal bei einem Anbieter (Monopol). Schon bei zwei Anbietern sinkt die Summe der Unternehmensgewinne beträchtlich, und diese teilt sich auch noch auf zwei Anbieter auf. Schon bei 4-5 Anbietern sinkt der Gewinn je Unternehmen auf einen kleinen Bruchteil des Monopolgewinnes. Bei unendlich vielen Anbietern sinken die Unternehmensgewinne auf Null.
• Die Konsumentenrente (Maß für die Wohlstandgewinne der Konsumenten durch den Markt) entspricht im Monopolfall dem Unternehmensgewinn des Monopolisten. Mit steigender Anbieterzahl nimmt sie zu, und zwar stärker als die Unternehmensgewinne abnehmen. Der volkswirtschaftlich günstigste Fall (Summe aus Unternehmensgewinnen und Konsumentenrente ist maximal) ist das Polypol (unendlich viele Anbieter).
• Sind die Grenzkosten der Unternehmen unterschiedlich, unterscheiden sich die Gewinne der Unternehmen. Es kann dabei vorkommen, dass der Marktpreis (vor allem bei hoher Anbieterzahl) unter die Grenzkosten einzelner Unternehmen sinkt. Diese stellen den Verkauf ein und verlassen den Markt. Für ein einzelnes Unternehmen kann es deshalb auf zweierlei Weise günstig sein, seine Grenzkosten zu senken: Erstens steigt die Spanne zwischen Marktpreis und Kosten durch die gesunkenen Kosten selber und dadurch der Gewinn. Zweitens ist es bei gestiegener Gewinnspanne für diesen Unternehmer optimal, seine Angebotsmenge auf dem Markt etwas zu erhöhen. Dadurch sinkt der Marktpreis, u.U. weshalb konkurrierende Unternehmen ihre Angebotsmenge senken oder ganz aus dem Markt ausscheiden könnten. Sind infolgedessen weniger Anbieter auf dem Markt, verteilt sich der Gewinn auf weniger Unternehmen.
• Haben die Unternehmen für die Marktteilnahme jeweils Fixkosten zu tragen, kann es sein, dass die Unternehmensgewinne nicht ausreichen, um die Fixkosten zu decken. Sind den Unternehmen die Fixkosten nicht schon bereits vorher entstanden (versunkenen Kosten), wird nur eine begrenzte Zahl an Unternehmen den Markt betreten. In diesem Fall ist es auch volkswirtschaftlich optimal, dass nicht unendlich viele Unternehmen auf dem Markt tätig sind, da ab einer gewissen Anbieterzahl der Anstieg der Konsumentenrente bei einer Erhöhung der Anbieterzahl nicht mehr ausreicht, die sinkenden Unternehmensgewinne auf dem Markt und die Fixkosten des zusätzlichen Unternehmens zu decken. Es sind Extremfälle denkbar (und auch realistisch), in denen es aus Gründen sehr hoher Fixkosten volkswirtschaftlich optimal ist, wenn nur ein Unternehmen den gesamten Markt bedient (also Monopolist ist).

Weitere Oligopolmodelle

Es gibt für einige andere Marktsituationen sehr bekannte Grundmodelle:

• der Stackelberg-Wettbewerb (nach Heinrich von Stackelberg), in dem die Marktteilnehmer ihre Mengenentscheidungen nicht simultan, sondern nacheinander treffen,
• der Bertrand-Wettbewerb (nach Joseph Bertrand), in dem der Preis und nicht die Menge die strategische Variable ist.
• das Kreps-Scheinkman-Modell (nach David M. Kreps und J. Scheinkman), in dem Preis- und Mengenwettbewerb durch Entscheidungen über den Aufbau von Produktionskapazitäten kombiniert werden.
• das Hotelling-Standortmodell (nach Harold Hotelling), das sich mit Preisunterschieden aufgrund von räumlichen Entfernungen oder Produktdifferenzierung beschäftigt.

Literatur

Primärliteratur

Cournot, Augustin A.(1838): Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses

Sekundärliteratur

• Wilhelm Pfähler/Harald Wiese: Unternehmensstrategien im Wettbewerb - Eine spieltheoretische Analyse. Spinger Verlag Heidelberg, zweite Auflage 2006, ISBN 3-540-28000-6.