Normale Untergruppe

Ein Normalteiler oder eine normale Untergruppe ist in der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine spezielle Untergruppe einer Gruppe, mit deren Hilfe Faktorgruppen der Gruppe gebildet werden können, wodurch die Strukturuntersuchung von Gruppen absteigend auf weniger komplexe Gruppen zurückgeführt werden kann.

Eine Untergruppe N einer Gruppe G heißt Normalteiler der Gruppe, $N\triangleleft G$, wenn sie invariant unter Konjugation ist, so dass für beliebige Elemente n in N und beliebige Gruppenelemente g in G das Element gng ^{− 1} stets immer noch zu N gehört. Äquivalent zur Forderung der Invarianz unter Konjugation ist die Forderung der Existenz eines Gruppenhomomorphismus', dessen Kern die Untergruppe ist. Alle denkbaren Homomorphismen aus einer Gruppe lassen sich im Wesentlichen beschreiben, wenn deren Normalteiler bekannt sind.

Der französische Mathematiker Évariste Galois erkannte im neunzehnten Jahrhundert als erster die Wichtigkeit des Konzeptes „Normalteiler“ für die Untersuchung von nicht kommutativen Gruppen.

Äquivalente Definitionen

Die folgenden Bedingungen für eine Untergruppe N sind untereinander äquivalent und jede kann dazu verwendet werden, zu definieren, wann die Untergruppe N ein Normalteiler ist:

1. Für jedes g in G gilt gNg ^{− 1} = N.
2. Die linken und rechten Nebenklassen von N stimmen überein.
3. Für jedes g in G gilt gN = Ng.
4. Die Menge N ist die Vereinigung von Konjugationsklassen der Gruppe G.
5. Es existiert ein Gruppenhomomorphismus aus G, dessen Kern N ist.

Formal ist die Bedingung 1. schwächer als 2. und 3. schwächer als 4. Aus diesem Grund verwendet man oft die Bedingungen 1. oder 3. um zu beweisen, dass eine Untergruppe ein Normalteiler ist, die Bedingungen 2. und 4. dagegen, um Eigenschaften von Normalteilern zu beweisen.

Bemerkungen

Jede Gruppe besitzt sich selbst und die nur aus dem neutralen Element bestehende Eins-Untergruppe als Normalteiler. Gruppen, die außer der Eins-Gruppe und sich selbst keine Normalteiler besitzen, heißen einfach. Das Klassifikationsproblem für endliche Gruppen kann im Wesentlichen auf die Klassifikation der einfachen endlichen Gruppen zurückgeführt werden, die im zwanzigsten Jahrhundert vollständig gelungen ist.

Jede Untergruppe einer kommutativen Gruppe ist Normalteiler der Gruppe, und viele Aussagen über Normalteiler sind für kommutative Gruppen trivial. Das Zentrum und die Kommutatorgruppe einer Gruppe sind stets Normalteiler.

Die Normalteilerrelation ist nicht transitiv, d. h. aus $A \triangleleft B$ und $B \triangleleft C$ folgt im Allgemeinen nicht $A \triangleleft C$.

Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler in G, wenn ihr Normalisator ganz G ist. Eine Untergruppe ist immer Normalteiler in ihrem Normalisator.

Alle charakteristischen Untergruppen einer Gruppe sind Normalteiler der Gruppe, weil die Konjugation von Gruppenelementen ein Automorphismus ist. Die Umkehrung trifft im allgemeinen nicht zu.

Eine Untergruppe von Index 2 ist immer ein Normalteiler. Ist U eine Untergruppe, (G:U) = p der Index von U und ist p die kleinste Primzahl, welche die Ordnung von G teilt, so ist U ein Normalteiler.

Normalteiler, Gruppenhomomorphismen und Faktorgruppe

Jeder Normalteiler N einer Gruppe G ist Kern eines Gruppenhomomorphismus π aus der Gruppe, d. h. das Bild von N unter π ist das neutrale Element. Als Homomorphismus π kann die kanonische surjektive Projektion

$\begin{alignat}{2} \pi:&\quad & G &\rightarrow G/N\\ & & g &\mapsto g\cdot N \end{alignat}$

von G auf die Faktorgruppe G / N gewählt werden, die jedem Gruppenelement g jene Nebenklasse von N zuordnet, in der g liegt.

Faktorgruppe

Die Nebenklassen von Normalteilern N bilden mit dem Komplexprodukt eine Gruppe, die Faktorgruppe G / N von G nach N.

Konkret heißt dies: Die Faktorgruppe besteht aus den Nebenklassen $G/N=\{g\cdot N| g\in G\}$. Deren Produkt ist durch das Komplexprodukt $(gN)\cdot (hN)= \{x\cdot y|x\in gN, y\in hN\}$ definiert. Genau dann, wenn N ein Normalteiler der Gruppe ist, entsteht als Komplexprodukt von zwei beliebigen Nebenklassen wieder eine Nebenklasse von N und es gilt $(gN)\cdot (hN)= (gh)N$. Genau dann lässt sich dieses Komplexprodukt also stets durch Multiplikation zweier Repräsentanten der Nebenklassen und anschließende Nebenklassenbildung bestimmen.

Isomorphiesätze

→ Hauptartikel: Isomorphiesatz

Der Kern $\operatorname{ker} (\varphi)$ eines beliebigen Gruppenhomomorphismus $\varphi$ ist stets ein Normalteiler der abgebildeteten Gruppe. Es gilt der Satz:

Ist $\varphi: G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus, dann induziert $\varphi$ einen Isomorphismus $G/\operatorname{ker} (\varphi) \cong \varphi (G)$.

Diese Aussage wird oft als Erster Isomorphiesatz (für Gruppen) bezeichnet. Ist dabei der Homomorphismus $\varphi$ surjektiv, dann ist die Faktorgruppe nach dem Kern isomorph zur Gruppe H, da H dann mit dem Bild $\varphi(G)$ übereinstimmt.

Sind U und N Untergruppen der Gruppe G und ist N sogar ein Normalteiler von G, dann gilt

$U/(U\cap N)\cong (N\cdot U)/N$.

Diese Aussage wird häufig als Zweiter Isomorphiesatz (für Gruppen) bezeichnet.

Normalteiler- und Untergruppenverband

Die Normalteiler einer Gruppe G bilden ein Mengensystem, das sogar ein Hüllensystem ist. Dieses Hüllensystem ist ein vollständiger Verband, der Normalteilerverband. Hier bedeutet dies konkret:

1. Die Schnittmenge von Normalteilern von G ist ein Normalteiler,
2. Zu jeder Teilmenge T von G existiert ein eindeutig bestimmter kleinster Normalteiler $\mathcal{N}(T)$, der diese Menge enthält. (Diese Operation $\mathcal N$ ist hier die Hüllenoperation). Spezialfälle: Der triviale Normalteiler {e}, der nur das neutrale Element e der Gruppe enthält, ist $\mathcal{N}(\emptyset)$, $\mathcal{N}(G)=G$ selbst ist Normalteiler. Hieraus folgt die Vollständigkeit des Verbandes.

Darüber hinaus ist der Normalteilerverband ein modularer Unterverband des Untergruppenverbandes.

In den folgenden beiden Abschnitten muss bei den betrachteten Produktgruppen zwischen äußeren und inneren Produkten unterschieden werden, obwohl die beiden Versionen stets die gleiche algebraische Struktur haben (isomorph sind). Die formalen Unterschiede zwischen inneren und äußeren Produkten werden im Artikel über das Semidirekte Produkt und im vorliegenden Artikel am Ende des Abschnitts über das semidirekte Produkt erläutert.

Komplementäre Normalteiler und inneres direktes Produkt

Im allgemeinen gibt es im Normalteilerverband keine Komplementärobjekte. Hat ein Normalteiler N₁ jedoch ein Komplementärobjekt N₂, das heißt, gilt für die Normalteiler $N_1\cap N_2=\{e\}$ und $\mathcal{N}(N_1\cup N_2)=G$, dann ist die Gruppe G als (inneres) direktes Produkt dieser Normalteiler darstellbar: $G\cong N_1\times N_2$, das heißt, jedes Gruppenelement $g\in G$ hat eine eindeutige Darstellung als Produkt $g=n_1\cdot n_2$ von Elementen $n_1\in N_1$ und $n_2\in N_2$. Umgekehrt ist jeder Faktor H_j eines (äußeren) direkten Produktes $G=H_1\times H_2 \cdots \times H_n$ (isomorph zu einem) Normalteiler der Produktgruppe G und das Produkt aus den übrigen Faktoren ist isomorph zu einem dazu komplementären Normalteiler.

Eine Verallgemeinerung dieser Aussage: Für zwei Normalteiler, die eine triviale Schnittmenge haben, d. h. $N_1\cap N_2=\{e\}$, gilt:

• Ihre Elemente kommutieren untereinander, ohne dass natürlich einer der beiden Normalteiler kommutativ sein müsste:

$n_1\cdot n_2 = n_2\cdot n_1\quad \text{falls}\; n_1\in N_1,\, n_2\in N_2$.

• Ihr Supremum im Verband der Normalteiler stimmt mit ihrem Komplexprodukt überein, das wiederum zu ihrem (äußeren) direkten Produkt isomorph ist:

$\mathcal{N}(N_1\cup N_2)=N_1\cdot N_2\cong N_1\times N_2$

Beide Aussagen treffen im allgemeinen für Untergruppen, die keine Normalteiler sind, nicht zu. Zum Beispiel schneiden sich in der freien Gruppe über zwei Elementen $F=\langle a,b \rangle$ die beiden unendlichen zyklischen Untergruppen $A=\langle a \rangle$ und $B=\langle b \rangle$ in der Einsgruppe. Die Gruppe $A\times B$ (äußeres direktes Produkt) ist aber zu keiner Untergruppe von F isomorph. Das Komplexprodukt $A\cdot B$ ist keine Untergruppe von F, da z. B. $ab\in A\cdot B$ ist, aber $(ab)^2=abab\not\in A\cdot B$.

Inneres semidirektes Produkt

Ist nur N ein Normalteiler und H eine nicht notwendig normale Untergruppe der Gruppe G und schneiden sich die beiden in der Einsgruppe, gilt also $N\cap H =\{e\}$, dann gilt:

• Das Komplexprodukt $U=N\cdot H$ ist eine (nicht notwendig normale) Untergruppe von G.
• Jedes Element von $u\in U$ ist als Produkt $u=n\cdot h$ von Elementen $n\in N$ und $h\in H$ eindeutig darstellbar.
• Natürlich ist der Normatlteiler N von G stets normal in U. Die Untergruppe H < U ist genau dann normal in U, wenn die Elemente von N und H untereinander kommutieren (s. o.).

In der beschriebenen Situation ($N\triangleleft G,\; H&amp;lt;G,\; N\cap H =\{e\}$) bezeichnet man das Komplexprodukt $U=N\cdot H$ als (inneres) semidirektes Produkt der Untergruppen N und H. Das äußere semidirekte Produkt besteht, wie in dem genannten Artikel ausgeführt, aus dem kartesischen Produkt zweier Gruppen (hier N und H) zusammen mit einem Homomorphismus $\theta : H\rightarrow \operatorname{Aut}(N)$ von H in die Gruppe der Automorphismen von N. Das äußere semidirekte Produkt wird dann häufig als $A=N\times_\theta H$ geschrieben. Von den technischen Details interessiert in unserem Zusammenhang nur, dass durch θ die Rechenregel (Relation):

$(e_N,h)\cdot (n,e_H)=(\theta(h)(n),h)$

auf dem kartesischen Produkt $N\times H$eingeführt wird. ( θ(h)(n) bedeutet hier, der Automorphismus θ(h) wird auf n angewandt, es gilt hier wie im folgenden immer $n\in N, h\in H$). Diese Rechenregel ermöglicht es, alle Produkte (durch Durchschieben der Elemente von H nach rechts) auf die Standardform $(n, e_H)\cdot (e_N, h)$ zu bringen. In unserem Fall eines inneren Produkts entspricht dem die Rechenregel

$h\cdot n = h\cdot n\cdot (h^{-1}\cdot h)= (h\cdot n \cdot h^{-1})\cdot h =\theta(h)(n)\cdot h$,

das heißt H operiert auf N durch Konjugation, $\theta(h)\in \operatorname{Aut}(N)$ ist der durch diese Konjugation definierte Automorphismus des Normalteilers N. Im Sinne dieser Überlegungen ist das Komplexprodukt U (hier ein inneres semidirektes Produkt) isomorph zu dem äußeren semidirekten Produkt $A=N\times_\theta H$.

Jedes direkte Produkt ist auch ein spezielles semidirektes, U wie hier beschrieben ist genau dann das (innere) direkte Produkt von N und H, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen zutrifft:

• $H\triangleleft U$,
• $\forall n\in N\, \forall h\in H:\; nh=hn$,
• $\forall h\in H:\; \theta(h)=\operatorname{Id}_N$.

Siehe auch

Normalteiler spielen eine tragende Rolle bei der Klassifikation der (endlichen) Gruppen, einen Überblick über die Methoden gibt der Artikel Reihe (Gruppentheorie). Besonders interessant sind Gruppen, deren Normalteilerverband bestimmte Besonderheiten aufweist. Dazu zählen z. B. die auflösbaren Gruppen und die nilpotenten Gruppen.

Für endliche Gruppen lässt sich oft anhand der Gruppenordnung entscheiden, ob gewisse Untergruppen, die p-Untergruppen und besonders die Sylowgruppen Normalteiler sind. Die wichtigsten Sätze hierzu sind die Sylow-Sätze.

Eine Verallgemeinerung des Begriffs Normalteiler ist der Subnormalteiler.

Literatur

• Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9.

Weblinks

• Normalteiler auf Mathepedia
• Eric W. Weisstein: Normal Subgroup auf MathWorld (englisch)
• Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics (engl.)
• Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year(engl.)