Octogon

Octogon

regelmäßiges Achteck

Ein Achteck (griech. octogon) ist ein Polygon mit acht Ecken und acht Seiten.

Mathematische Zusammenhänge

Oft ist mit einem Achteck ein regelmäßiges Achteck gemeint, bei dem alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind. Konstruieren kann man ein regelmäßiges Achteck, indem man bei einem Quadrat auf alle Seiten Mittelsenkrechten konstruiert und die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten mit dem Umkreis mit den Ecken verbindet. Die Summe aller Innenwinkel eines regulären Achtecks beträgt 1080° und ergibt sich aus der Formel:

 \sum \alpha = (n - 2) \cdot 180^\circ = 6 \cdot 180^\circ = 1080^\circ

Der Winkel im regulären Achteck beträgt

 \alpha = \frac{(n - 2)}{n} \cdot 180^\circ = \frac{3}{4} \cdot 180^\circ = 135^\circ
Konstruktion eines regelmäßigen Achtecks

Formel für die Flächenberechnung

Zerlege das regelmäßige Achteck in 8 gleichschenklige Dreiecke. Der einmalige Winkel im Dreieck beträgt 360°/8 = 45°. Die beiden gleichen Winkel des Dreieckes betragen 67,5°. Die Höhe halbiert das gleichschenklige Dreieck. Es entsteht durch Einzeichnen der Höhe ein rechtwinkliges Dreieck mit den Winkeln 67,5°, 22,5° und 90°. Folgende Lösungsansätze gehen von diesem rechtwinkligen Dreieck aus, dabei gilt:

  • a ist die Seitenlänge des Achtecks
  • a' ist die halbe Seitenlänge des Achtecks
  • r ist der Radius des Inkreises
  • R ist der Radius des Umkreises
  • A ist die Fläche des Achtecks
  • A' ist die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks

Gegeben sei der Radius des Innenkreises r:
Der gesuchte Schenkel (Gegenkathete zum spitzen Winkel) lässt sich durch den Tangens von 22.5° ermitteln:

a' = r \cdot \tan 22{,}5^\circ

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

A' = \frac{1}{2} \cdot a' \cdot r = \frac{1}{2} \cdot (r \cdot \tan 22{,}5^\circ) \cdot r = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \tan 22{,}5^\circ

Das gleichschenklige Dreieck hat die doppelte Fläche des rechtwinkligen Dreiecks, das Achteck die achtfache Fläche des gleichschenkligen Dreiecks:

Formel 1: A = 2 \cdot 8 \cdot A' = 16 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \tan 22{,}5^\circ \right) = 8 \cdot r^2 \cdot \tan 22{,}5^\circ

Gegeben sei die Seitenlänge a des Achtecks:
Analog zur obigen Betrachtung lässt sich der Radius r des Inkreises mit Hilfe des Tangens von 22.5° ermitteln, a' sei die Hälfte von a:

Formel 2: r = \frac{a'}{\tan 22{,}5^\circ}

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

A' = \frac{1}{2} \cdot a' \cdot r = \frac{1}{2} \cdot a' \cdot \frac{a'}{\tan 22{,}5^\circ} = \frac{a'^2}{2 \cdot \tan 22{,}5^\circ}

Setzt man A' in die Formel für die Gesamtfläche (siehe Formel 1) ein, erhält man

A = 8 \cdot 2 \cdot A' = 16 \cdot \frac{a'^2}{2 \cdot \tan 22{,}5^\circ} = \frac{8 \cdot a'^2}{\tan 22{,}5^\circ} = \frac{2 \cdot a^2}{\tan 22{,}5^\circ}


Gegeben sei der Radius R des Umkreises:
Das Verhältnis a' zu R entspricht dem Sinus des spitzen Winkels:

a' = R \cdot \sin 22{,}5^\circ

Der Radius r des Inkreises beträgt (siehe Formel 2)

r = \frac{a'}{\tan 22{,}5^\circ} = \frac{R \cdot \sin 22{,}5^\circ}{\tan 22{,}5^\circ} = R \cdot \cos 22{,}5^\circ

Die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks erhält man durch

A' = \frac{1}{2} \cdot a' \cdot r = \frac{1}{2} \cdot (R \cdot \sin 22{,}5^\circ) \cdot (R \cdot \cos 22{,}5^\circ) = \frac{R^2 \cdot \sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ}{2}

Setzt man A' in die Formel für die Gesamtfläche (siehe Formel 1) ein, erhält man

A = 8 \cdot 2 \cdot A' =  16 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ \right) = 8 \cdot R^2 \cdot \sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ

bzw. mit den Additionstheoremen für die Winkelfunktionen

A = 4\cdot R^2 \cdot \sin 45^\circ


Allgemeine Formeln für regelmäßige n-Ecke
Aus den obigen Ansätzen lassen sich folgende Formeln für n-Ecke herleiten:

Bei gegebenem Radius r des Inkreises gilt: A = n \cdot r^2 \cdot \tan \left( \frac{180^\circ}{n} \right)


Bei gegebener Seitenlänge a des n-Ecks gilt: A = \frac{n \cdot a^2}{4 \cdot \tan \left( \frac{180^\circ}{n} \right)}

Siehe auch


Wikimedia Foundation.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Octogon — est le nom d une société écran (l’Octogon Trust, société créée par le marchand d armes Rudolf Ruscheweyh (de), porteur de valise d un système financier dont la base est la villa Octogon[1]) qui aurait permis le financement occulte de l Union …   Wikipédia en Français

  • octogon — OCTOGÓN, Ă, octogoni, e, s.n., adj. 1. s.n. Poligon cu opt laturi. 2. adj. Octogonal. – Din fr. octogone. Trimis de oprocopiuc, 02.05.2004. Sursa: DEX 98  OCTOGÓN adj. v. octogonal …   Dicționar Român

  • Octogōn — (v. gr.), das Achteck …   Pierer's Universal-Lexikon

  • octogon — etc., obs. forms of octagon, etc …   Useful english dictionary

  • octògon — oc|tò|gon Mot Pla Nom masculí …   Diccionari Català-Català

  • octogón — I. adj. m., pl. octogóni; f. sg. octogónã, pl. octogóne II. s. n., pl. octogoáne …   Romanian orthography

  • House Octogon — (Будапешт,Венгрия) Категория отеля: Адрес: 1067 Будапешт, Eötvös Street 11/A., Венгри …   Каталог отелей

  • Pensiunea Octogon — (Dumbrava Roşie,Румыния) Категория отеля: 3 звездочный отель Адрес: Dumbravei nr 7 …   Каталог отелей

  • Rudolf Ruscheweyh — (* 31. Dezember 1905 in Erfurt; † 15. Januar 1954 in Schaan, Liechtenstein) war ein niederländisch liechtensteinischer Waffenhändler, Geheimdienstmitarbeiter und Parteispender.[1] Inhaltsverzeichnis 1 Aktivitäten als Waffenhändler 1.1 …   Deutsch Wikipedia

  • octogonal — OCTOGONÁL, Ă, octogonali, e, adj. (Despre poligoane) Care are opt laturi; octogon (2). – Din fr. octogonal. Trimis de RACAI, 21.10.2003. Sursa: DEX 98  OCTOGONÁL adj. (geom.) (înv.) octogon. (Poli gon octogonal.) Trimis de siveco, 05.08.2004.… …   Dicționar Român

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”