Oktales Zahlensystem

Das Oktalsystem (von lateinisch octo acht) ist ein Stellenwertsystem mit der Basis 8 (daher auch Achtersystem genannt). Es kennt acht Ziffern zur Darstellung einer Zahl: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7.

Seine Ursprünge finden sich im Schweden des 17. Jahrhunderts; als Urheber kommen König Karl XII., der Wissenschaftler Emanuel Swedenborg oder der Erfinder Christopher Polhem in Frage.

oktal	0	1	2	3	4	5	6	7	10	11	12	13	14	15	16	17	20
dezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
binär (dual)	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111	10000
hexadezimal	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10

Zählen im Oktalsystem

Beim Zählen im Oktalsystem ist zu beachten, dass nach 7 nicht die 8 folgt, sondern eine Stelle weiter links erhöht werden muss. Im Oktalsystem gilt: 7 + 1 = 10. Die Anwendung dieser Regel wird im Folgenden verdeutlicht:

0	1	2	3	4	5	6	7
10	11	12	13	14	15	16	17
20	21	22	23	24	25	26	27
...	...	...	...	...	...	...	...
70	71	72	73	74	75	76	77
100	...	...	...	...	...	...	107
110	...	...	...	...	...	...	117
...	...	...	...	...	...	...	...
770	...	...	...	...	...	...	777

Anwendungen

Anwendung in der Computertechnik: Jede Ziffer einer Oktalzahl kann durch drei Bit dargestellt werden. Umgekehrt kann aus einer Binärzahl durch Gruppierung von jeweils drei Bit leicht eine Oktalzahl erzeugt werden. Oktalzahlen werden heute noch bei der Darstellung von Dateizugriffsrechten unter Unix verwendet, wo je drei Bit die Rechte einer Benutzerklasse darstellen (siehe chmod). Als noch Datenworte von 24 Bit Länge gebräuchlich waren, deren Wertebereich genau dem einer achtstelligen Oktalzahl entsprach, wurden Oktalzahlen zur Eingabe und Ausgabe von Bitmustern verwendet, da sie für den Menschen übersichtlicher sind als Dualzahlen und weil die Umwandlung vom und ins Binärsystem einfach ist. Für die jetzt üblichen Datenwortlängen 16, 32 und 64 ist das Hexadezimalsystem für Eingabe und Ausgabe das geeignetere.

Anwendung in der Luftfahrt: Der Transpondercode (Squawk) in jedem Flugzeug arbeitet mit Oktalzahlen.

Kennzeichnung

Oktalzahlen werden häufig durch ein nachgestelltes "o" gekennzeichnet. In den Programmiersprachen C, Java und Python (Versionen bis 2.x) wird eine "0" (Null) vorangestellt, um eine Oktalzahl von einer Dezimalzahl zu unterscheiden (was zu schwer zu entdeckenden Flüchtigkeitsfehlern führen kann: 0715 ist ungleich 715). Bei Python 3000 wird zur besseren Unterscheidung eine Null und ein o vorangestellt (z. B. 0o715). In TeX wird eine Oktalzahl durch ein vorangestelltes Hochkomma gekennzeichnet.

In der Mathematik wird oft auch die Basis des Zahlensystems an die Zahl angefügt, z.B. 172₍₈₎ = 122₍₁₀₎.

Beispiel: 172o = 172₍₈₎ (Mathematik) = 0172 (in C oder Java) = '172 (TeX).

Umwandlung von Dezimalzahlen in Oktalzahlen

Eine (natürliche) Dezimalzahl kann in eine Oktalzahl umgewandelt werden, indem sie wiederholt durch die Basis 8 geteilt wird und die dabei entstehenden Divisionsreste notiert werden. Zum Beispiel werden für die Dezimalzahl 122₍₁₀₎ drei Rechenschritte benötigt:

122 : 8 = 15 Rest 2

 15 : 8 =  1 Rest 7

  1 : 8 =  0 Rest 1

Die Divisionsreste von unten nach oben gelesen ergeben die Oktalzahl 172₍₈₎.

Umwandlung von Oktalzahlen in Dezimalzahlen

Um eine (natürliche) Oktalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multiplizieren. Der Exponent der Basis entspricht der Stelle der Ziffer, wobei der am weitesten rechts stehenden Stelle die Null zugeordnet wird. Beispiel für 172₍₈₎ (wobei die Notation der Berechnung im Dezimalsystem erfolgt):

$1 \cdot 8^2 + 7 \cdot 8^1 + 2 \cdot 8^0 = 122$

Die Anzahl der Multiplikationen kann durch die Verwendung des Horner-Schemas verringert werden:

$(1 \cdot 8 + 7) \cdot 8 + 2 = 122$

Darstellung rationaler und reeller Zahlen

Wie bei allen Stellenwertsystemen lassen sich beliebige rationale oder reelle Zahlen im Oktalsystem darstellen. Als Trennzeichen zwischen dem ganzzahligen und dem gebrochenen Anteil der Zahl dient im deutschsprachigen Raum üblicherweise das Komma. Die Werte der Ziffern hinter dem Trennzeichen werden mit 8 ^{− i} multipliziert, wobei i die Position hinter dem Komma angibt.

Beispiel für die Umwandlung von 34,56₍₈₎ ins Dezimalsystem (wobei die Notation der Berechnung im Dezimalsystem erfolgt):

$3 \cdot 8^1 + 4 \cdot 8^0 + 5 \cdot 8^{-1} + 6 \cdot 8^{-2} = 28,71875$

In der umgekehrten Richtung erfolgt die Umwandlung des gebrochenen Anteils einer Dezimalzahl in die Oktaldarstellung durch fortwährende Multiplikation mit 8, wobei jeweils der ganzzahlige Anteil des Ergebnisses eine Oktalziffer liefert. Zum Beispiel werden für die Dezimalzahl 0,3984375₍₁₀₎ drei Rechenschritte benötigt:

8 · 0,3984375 = 3,1875

8 · 0,1875    = 1,5

8 · 0,5       = 4,0

Die gesuchte Oktalzahl ist daher 0,314₍₈₎.

Natürlich kann es vorkommen, dass dieser Prozess nicht abbricht und sich daher eine unendliche Oktalbruchdarstellung ergibt. Auch eine periodische Darstellung ist möglich, wie das folgende Beispiel der Umwandlung von 0,2₍₁₀₎ zeigt:

8 · 0,2 = 1,6

8 · 0,6 = 4,8

8 · 0,8 = 6,4

8 · 0,4 = 3,2

8 · 0,2 = ...

Nun wiederholen sich die Zeilen, und die gesuchte Oktalzahl ist daher $0,14631463\ldots_{(8)} = 0,\overline{1463}_{(8)}$.

Jede rationale Zahl r hat eine endliche oder unendliche periodische Oktalbruchentwicklung. Ist $r = \frac{p}{q}$, wobei p eine ganze und q eine natürliche Zahl ist, und ist dieser Bruch gekürzt (also p und q teilerfremd), dann hat r genau dann eine endliche Oktalbruchentwicklung, wenn q eine Zweierpotenz ist.

Wie bei Stellenwertsystemen üblich ist die Darstellung rationaler Zahlen nicht immer eindeutig; z. B. hat die Eins neben der Darstellung 1 auch die folgende als periodischer Oktalbruch:

$1 = 0,777\ldots_{(8)} = 0,\overline{7}_{(8)}$.

Weblinks

• Online-Umrechner für Dezimal-/Oktalzahlen (JavaScript, GPL)
• Octomatics: Ein oktalbasiertes Zahlensystem, welches einfaches, visuelles Rechnen ermöglicht.
• Umrechnung von Zahlensystemen Ein weiterer Umrechner, der den Rechenweg mit anzeigt.