Optische Indikatrix

In der Optik verwendet man zur Berechnung von Doppelbrechung die Indikatrix. Dabei betrachtet man das im D-Raum aufgespannte Ellipsoid. Aus der Energieerhaltung folgt, dass der dielektrische Tensor $\varepsilon_{jk}$ symmetrisch ist. Man kann ihn auf Diagonalform bringen, so dass man nur von $\varepsilon_{j}$ ausgehen muss. Um nun in jede Richtung von D das richtige $\varepsilon_{j}$ auszurechnen verwendet man die Indikatrix.

Aus der dielektrischen Materialbeziehung ergibt sich:

$\vec D = \varepsilon_0 \vec \vec \varepsilon (\omega) \vec E \quad \Leftrightarrow \quad \vec E = \frac{1}{\varepsilon_0} \vec \vec \eta \vec D$

Deshalb ist die hauptachsentransformierte Indikatrix der inversen Dielektrizität:

$\quad \begin{bmatrix} \eta_{I,I} & 0 & 0 \\ 0 & \eta_{II,II} & 0 \\ 0 & 0 & \eta_{III,III} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\varepsilon_{I,I}} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\varepsilon_{II,II}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\varepsilon_{III,III}} \end{bmatrix}$

Im kubischen Kristallsystem sind die Hauptachsenelemente gleich, also $\varepsilon_{I,I} =\varepsilon_{II,II}=\varepsilon_{III,III}$. Der Kristall ist also optisch isotrop, die Indikatrix dadurch eine Kugelfläche. Falls nur zwei Hauptachsenelemente gleich sind, ergibt sich ein Rotationsellipsoid als Form der Indikatrix. Dies trifft für die tetragonalen, trigonalen und hexagonalen Kristallsysteme zu. Falls sich alle Hauptachsenelemente unterscheiden, erhält man einen dreiachsigen Ellipsoid. Man findet dies im triklinen, monoklinen und orthorhombischen Kristallsystem. Die ellipsoidischen Indikatrizes bedeuten, dass der Kristall optisch anisotrop ist.