Assoziiert

Assoziiert

Die Assoziiertheit ist ein Begriff aus der Teilbarkeitslehre in der Mathematik. Zwei Elemente a und b heißen assoziiert, wenn sie wechselseitig teilbar sind, wenn also „a teilt b“ und „b teilt a“ gleichzeitig erfüllt sind.

Definition

Zwei Elemente a,b eines Integritätsringes R heißen zueinander assoziiert, falls eine Einheit ε mit  b = a \cdot \epsilon existiert. Dies ist genau dann erfüllt, wenn sich a und b gegenseitig teilen, das heißt a ~|~ b ~|~ a erfüllt ist. Man schreibt auch a \sim b, oder a~ \hat{=} ~b.

Eigenschaften

Assoziiertheit ist in jedem Integritätsring eine Äquivalenzrelation. Sie ist mit der Teilerrelation verträglich, das heißt für assoziierte Elemente a,b sind die Teiler bzw. Vielfachen von a genau die Teiler bzw. Vielfachen von b.

Beispiel

Im Ring \Bbb Z der ganzen Zahlen sind a,b genau dann assoziiert, wenn a = \pm b gilt. Dies liegt daran, dass in \Bbb Z die Zahlen 1 und − 1 die einzigen Einheiten sind.


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