Assoziiert

Die Assoziiertheit ist ein Begriff aus der Teilbarkeitslehre in der Mathematik. Zwei Elemente a und b heißen assoziiert, wenn sie wechselseitig teilbar sind, wenn also „a teilt b“ und „b teilt a“ gleichzeitig erfüllt sind.

Definition

Zwei Elemente a,b eines Integritätsringes R heißen zueinander assoziiert, falls eine Einheit ε mit $b = a \cdot \epsilon$ existiert. Dies ist genau dann erfüllt, wenn sich a und b gegenseitig teilen, das heißt $a ~|~ b ~|~ a$ erfüllt ist. Man schreibt auch $a \sim b$, oder $a~ \hat{=} ~b$.

Eigenschaften

Assoziiertheit ist in jedem Integritätsring eine Äquivalenzrelation. Sie ist mit der Teilerrelation verträglich, das heißt für assoziierte Elemente a,b sind die Teiler bzw. Vielfachen von a genau die Teiler bzw. Vielfachen von b.

Beispiel

Im Ring $\Bbb Z$ der ganzen Zahlen sind a,b genau dann assoziiert, wenn $a = \pm b$ gilt. Dies liegt daran, dass in $\Bbb Z$ die Zahlen 1 und − 1 die einzigen Einheiten sind.