Paradoxa

Ein Paradoxon oder Paradox (altgriechisch παράδοξον, von παρα~, para~ – gegen~ und δόξα, dóxa – Meinung, Ansicht), auch Paradoxie (παραδοξία) und in der Mehrzahl Paradoxa genannt, ist ein scheinbarer^[1] oder tatsächlich unauflösbarer, unerwarteter Widerspruch.

Formen des Paradoxons

Es existieren verschiedene logische Formen des Paradoxons:

1. Der performative Widerspruch - Widersprüchlichkeit als Folge der Negation von Selbstbezüglichkeit, d. h. wenn eine auf sich selbst anwendbare Aussage negiert wird. Eine solche selbstwidersprüchliche Aussage heißt in der Logik auch Antinomie. Der Nachweis eines solchen Widerspruchs ist eine Retorsion. Ein Beispiel ist das Paradoxon des Eubulides:
   • Dieser Satz ist falsch. (sagt etwas über sich selbst aus, aber: ist er nun wahr oder falsch? Er ist wahr, wenn er falsch ist und falsch, wenn er wahr ist.)
2. in der Rhetorik eine Stilfigur, die in scheinbaren Widersprüchen eine tiefere Wahrheit veranschaulichen will (z. B. Oxymoron). Beispiel: Weniger ist mehr!
3. Phänomene und Fragen, die dem menschlichen Verstand bzw. der Intuition widersprechen. Hierzu gehört beispielsweise die alte Frage nach der Endlichkeit bzw. Unendlichkeit von Raum und Zeit. Ein unendliches Universum widerspricht dem gesunden Menschenverstand („das muss doch mal irgendwo angefangen haben“) ebenso wie ein endliches („was war vorher?“). Auch unter den Phänomenen, welche die moderne Quantenmechanik thematisiert, zeigen viele diese Art von paradoxer Natur. Davon zu unterscheiden sind
4. Scheinbare Widersprüche, die sich bei genauerer Analyse auflösen. Das paradoxe an dieser Art von Paradoxa ist, dass es eigentlich keine sind. Die Analyse scheinbarer Paradoxa, beispielsweise im Rahmen eines Gedankenexperiments, hat schon oft zu wichtigen Erkenntnissen in Wissenschaft, Philosophie und Mathematik geführt. Der Widerspruch besteht dabei oft zwischen der intuitiven und der exakten Lösung. Ein Beispiel hierfür ist das Ziegenproblem, das logisch und mathematisch exakt lösbar ist, aber der Intuition vieler Menschen, ihrem „gesunden Menschenverstand“ widerspricht.

Einen unauflösbaren Widerspruch nennt man auch Aporie.

Paradoxa in der Logik, Philosophie und Religion

• performativer Widerspruch = selbstwiderlegende Aussage („ich lüge immer“)
• Paradoxa des Zenon von Elea wie beispielsweise das von Achilles und der Schildkröte oder das Pfeil-Paradoxon.
• ein Spezialfall ist das Paradoxon des Epimenides: Ein Kreter behauptet, dass alle Kreter lügen.
• Hempels Rabenparadox: Die Beobachtung eines gelben Autos bestätigt die Hypothese „Alle Raben sind schwarz“.
• Goodmans neues Rätsel der Induktion: dieselben Beobachtungen können gegensätzliche Induktionsschlüsse rechtfertigen.
• Newcombs Problem: Vor Ihnen stehen zwei Boxen. In der ersten Box sind 1000 Euro, in der zweiten Box entweder eine Million Euro oder nichts. Sie können sich entscheiden, entweder nur die zweite Box oder beide zu nehmen. Ein Wesen mit sehr hoher Vorhersehkraft, dem Sie vertrauen, hat vorhergesagt, wie Sie sich entscheiden werden. Sieht es voraus, dass Sie nur die zweite Box nehmen werden, hat es die Million Euro in die Box gelegt, im anderen Fall nicht. Nehmen Sie beide Boxen oder nur die zweite?
• Großvater-Paradoxon – (Zeitreise): Ein Zeitreisender, der in der Vergangenheit seinen Großvater umbringt, würde nicht geboren werden, und könnte daher nie seinen Großvater umgebracht haben.
• Paradoxon des Haufens (Vollständige Induktion)
• Sorites-Paradoxon (Griechische Logik)
• Barbier-Paradoxon (Paradoxon des Aristoteles): Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer von Sevilla, ausgenommen die, die sich selbst rasieren. Wer rasiert den Barbier von Sevilla?
• Gefangenendilemma
• Allmachtsparadoxon: Kann ein allmächtiger Gott einen Stein erschaffen, den er selbst nicht heben kann?
• Der Zen-Buddhismus verwendet Koans, die vielfach paradox wirken.
• Paradoxon der unerwarteten Hinrichtung: Sie werden nächste Woche überraschend hingerichtet. Wenn Sie am Samstag noch leben, ist es keine Überraschung, der Sonntag fällt also weg. Ebenso der Samstag usw.

Paradoxa in der Mathematik

• Banach-Tarski-Paradoxon: Verdopplung des Volumens eines Körpers durch neues Zusammensetzen.
• Burali-Forti-Paradoxon: Die Menge aller Ordinalzahlen ist kleiner als sie selbst.
• Cantorsche Antinomie: Die Potenzmenge der Allmenge ist nicht mächtiger als die Allmenge.
• Currys Paradox, auch als Löbs Paradox bekannt: Paradoxon durch negationsfreie Selbstbezüglichkeit: "Wenn dieser Satz wahr ist, gibt es den Weihnachtsmann". Es findet Verwendung in dem Satz von Löb, gewissermaßen die Umkehrung des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes und kann als eine negationsfreie Verallgemeinerung der Russell'schen Antinomie formuliert werden.
• Russellsche Antinomie: Paradoxon auf der Grundlage der naiven Mengenlehre: Die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten.
• Die Grelling-Nelson-Antinomie: Ist das Wort „heterologisch“ autologisch oder heterologisch?
• Skolem-Paradox: Ein Ausdruck, der eine überabzählbar große Menge beschreibt, ist bereits in einer abzählbar großen Domäne erfüllbar.

Paradoxa in der Spieltheorie, Wirtschaft und Statistik

• Condorcet-Paradoxon: Die Mehrheit bevorzugt die Option A gegenüber B, und B gegenüber C. Dennoch möchte die Mehrheit lieber C als A.
• Stage migration: Eine Person, die von einem Ort in einen anderen Ort zieht, erhöht in beiden Orten das Durchschnittseinkommen.
• Simpson-Paradoxon: Eine Gruppe, die in allen Disziplinen die beste Erfolgsquote hat, ist in der Gesamtbetrachtung nicht am besten.
• Giffen-Paradoxon: Je teurer das Brot ist, desto mehr wird gekauft.
• Sankt-Petersburg-Paradoxon: Der zu erwartende Gewinn ist unendlich und doch ist man nur zu einem geringen Einsatz bereit.
• Bertrand-Paradoxon: Zwei konkurrierende Anbieter können keinen Profit machen.
• Braess-Paradoxon: Durch Kapazitätserhöhung in einem Netz kann sich die Leistungsfähigkeit verringern.

Paradoxa in politischen Systemen

Bei diesen Paradoxa handelt es sich zum Bespiel um durchaus reale, aber als widersinnig empfundene Folgen eines politischen Systems.

• Ostrogorski-Paradox: Wahlergebnisse hängen entscheidend vom Wahlverfahren ab.
• Alabama-Paradoxon: Die Erhöhung aller Sitze im Parlament führt bei manchen Parteien zu einer Verringerung.
• Negatives Stimmgewicht: Zusätzliche Wähler einer Partei verringern deren Sitze im Parlament

Paradoxa in der Physik

Der britische Mathematiker und Physiker Roger Penrose unterscheidet in der Physik Paradoxa von Puzzles. ^[2] Bei Puzzles oder "Z-Rätseln", wie er sie auch nennt, handele es sich um „verblüffende, aber experimentell unmittelbar belegbare Quantenwahrheiten über die Welt, in der wir leben.“ Dazu gehöre unter anderem das sogenannte Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon: Von einem Ort werden zwei Teilchen in entgegengesetzter Richtung ausgesendet. Beide Teilchen treffen jeweils auf einen Detektor. Trotz des großen Abstandes der Detektoren kann das Messergebnis des einen Detektors unmittelbar und ohne Zeitverzug die Messung des anderen beeinflussen. Penrose sieht in solchen Phänomenen keine Paradoxien: Letztlich beschreiben diese Phänomene keinen echten Widerspruch, sondern lediglich eine zwar unanschauliche, aber doch belegbare physikalische Wahrheit. Die Paradoxa oder "X-Rätsel", wie Penrose sie auch nennt, seien zwar quantenphysikalisch ebenso ein „wahrer Bestandteil dieser Welt, erscheinen aber so unplausibel und paradox, dass wir uns sträuben, sie als 'wirklich' wahr hinzunehmen“. Das bekannteste X-Rätsel sei das Paradoxon von Schrödingers Katze: Schrödingers Gedankenspiel von einer in einem verschlossenen Kasten gefangenen Katze, deren Schicksal von der Zufälligkeit eines radioaktiven Zerfallsprozess abhängt. Nach der klassischen Quantenmechanik befände sich diese Katze, solange niemand den Kasten öffnet, in einem merkwürdigen Überlagerungszustand aus "tot" und "lebendig".

Weitere physikalische Paradoxa:

• Bellsches Raumschiffparadoxon
• Eierkocherparadoxon: Für mehr Eier wird weniger Wasser benötigt.
• Gibbssches Paradoxon: Zunahme der Entropie auch bei der Mischung einphasiger Stoffe.
• Hydrostatisches Paradoxon: In einem mit Wasser gefülltem Gefäß, das sich nach oben hin verjüngt, kann die Druckkraft größer sein, als die Gewichtskraft des gesamten Wassers.
• Hydrodynamisches Paradoxon: Nähert man unter Wasser einen Schlauch senkrecht an die Gefäßwand, so stößt das ausströmende Wasser den Schlauch nicht ab, er wird zur Wand gezogen. Allgemein: Gegenstände, die an Strömungszonen von Gasen bzw. Flüssigkeiten angrenzen, werden in sie hineingezogen.
• Maßstabsparadoxon
• Myonen-Paradoxon: Myonen, resultierend aus kosmischer Höhenstrahlung, sind auf der Erde messbar, obwohl sie eigentlich nach wenigen hundert Metern Flug nach ihrer Entstehung bereits zerfallen sein müssten. Erklärbar durch die relativistische Zeitdilatation.
• Pfeil-Paradoxon nach Zenon von Elea
• Spiegelparadoxon: Im Spiegelbild ist rechts und links vertauscht, aber nicht oben und unten.
• Unendlichkeitsmaschine: Ein mechanisches Getriebe, dessen Ausgang feststeht.
• Zwillingsparadoxon: Fliegt ein Zwilling mit einem schnellen Raumschiff zu fernen Sternen, so sieht der zurückbleibende Bruder, dass Uhren auf dem Raumschiff langsamer gehen. Der fliegende Bruder sieht dagegen die Uhren auf der Erde langsamer gehen. Kehrt der fliegende Bruder zur Erde zurück, erweist er sich als der weniger gealterte.

Paradoxa in der Astronomie

Die Paradoxien, die beim Nachdenken über das Universum entstehen, haben eine lange Tradition, da sie sich - anders als viele andere wissenschaftlichen Paradoxien - auch schon dem Laien erschließen. Dazu gehört zunächst die Frage nach der räumlichen und zeitlichen Endlichkeit bzw. Unendlichkeit des Universums. Der gesunde Menschenverstand kann sich weder das eine noch das andere richtig vorstellen: Wenn das Universum endlich ist - was kommt dahinter? Wenn es einen Anfang hatte - was war vorher? Aber auch ein unendliches Universum kann sich der gesunde Menschenverstand nicht vorstellen. Dies gilt unabhängig davon, wie die Physik diese Fragen löst. Der niederländische Künstler M. C. Escher hat dieses Paradoxon so formuliert: „Wir können uns nicht vorstellen, dass irgendwo hinter den fernsten Sternen am Nachthimmel der Raum ein Ende haben könnte, eine Grenze, jenseits derer „nichts“ mehr ist. Der Begriff 'leer' sagt uns wohl noch etwas, denn ein Raum kann leer sein, jedenfalls in unserer Vorstellung, aber unsere Einbildungskraft ist unfähig, den Begriff 'nichts' im Sinne von 'raumlos' zu erfassen.“

Weitere Paradoxa aus der Astronomie:

• Olberssches Paradoxon: In einem ewigen, unendlichen, unveränderlichen und gleichmäßig mit Sternen gefüllten Universum ist der Himmel so hell wie die Oberfläche der Sonne.
• Fermi-Paradoxon: Möglichkeit auf außerirdische Lebensformen zu treffen.

Paradoxa in der Medizin und Biologie

• Paradoxon des Plankton: Beim Zusammenleben verschiedener Arten muss eine ökologische Divergenz (ökologische Nische) existieren. Diese ist beim Phytoplankton offensichtlich weitestgehend nicht vorhanden.
• Graysches Paradoxon: Die Strömungseigenschaften eines schnellen Wales sind besser, als die durch die reine Körperform der Tiere möglich ist. Verbesserungen treten durch verschiedene Optimierungen der Hautstruktur auf.
• Levinthal-Paradox: Problem aus der Molekularbiologie, wie eine Aminosäurekette in kurzer Zeit ihren korrekt gefalteten Zustand als Protein findet.
• Paradoxe Wirkung bei Arzneimitteln und Stimulanzien: zum beabsichtigten Effekt genau entgegengesetzte Wirkung (z.B. Schlafmittel bewirkt Schlaflosigkeit) ^[3]

Paradoxa in den Geowissenschaften

Eine Vielzahl historischer und aktueller Paradoxa in den Geowissenschaften und resultierende wissenschaftliche Kontroversen gelten als eine wesentliche Triebkraft der wissenschaftlichen Erkenntnis in dem Bereich.^[4] Einige Beispiele:

• Paradoxon der schwachen, jungen Sonne: Eine vor 3,8 Mrd. Jahren um 25 % geringeren Strahlungsleistung der jungen Sonne ist eigentlich unvereinbar mit Hinweisen auf flüssiges Wasser und Leben zu der Zeit.
• Schneeball Erde: Anscheinend unvereinbare Ablagerungen von eiszeitlichen und tropischen Sedimenten auf vielen Kontinenten lassen eine weitverbreitete und abrupt verschwundene globale Vereisung annehmen.
• Messinische Salinitätskrise: Schwer zu deutende Flachwassersedimente am Ozeanboden.

Sprachlich-rhetorische Paradoxa

• Die Grelling-Nelson-Antinomie

In der Umgangssprache wird oft die widersprüchliche Wirkung von Paradoxa als rhetorische Stilfigur verwendet.

• Stärker als der Stärkste.
• Dümmer als der Dümmste.
• Das ist so wahr, dass es nur falsch sein kann.
• Wer sein Leben gewinnen will, der wird es verlieren.
• Das Leben ist der Tod, und der Tod ist das Leben.
• Der Mensch ist frei geschaffen, ist frei und würd er in Ketten geboren!
• Je mehr es sich verändert, desto mehr bleibt es das gleiche
• Im Rückschritt liegt der Fortschritt
• Nichts ist absolut!
• Wenn jemand den Sinn des Lebens erklärte, hätte das Leben seinen Sinn verloren!
• Die Ewigkeit ist lange, besonders gegen Ende hin!
• Niemand hat das Recht, zu gehorchen. (Hannah Arendt)
• ...mit ohne Ketchup.
• Das einzig Beständige ist die Veränderung
• Umsonst ist der Tod und der kostet das Leben.
• Das Weizenkorn muss sterben um zu leben.

Ideologische Paradoxien

Gesellschaftliche Ideologien enthalten in der Praxis oft paradoxe Elemente, vor allem wenn sie mit absolut gesetzten Werten wie Freiheit oder Gleichheit operieren. Beispiele: So werden, um eine "freiheitliche" Ordnung aufrecht zu erhalten, Maßnahmen eingesetzt, die die Freiheit einschränken (z. B. McCarthy-Ära in den USA oder auch die aktuellen Debatten um die Einschränkung von Bürgerrechten im Anti-Terror-Kampf). Umgekehrt wurden in kommunistischen Ideologien, um das Ideal der "Gleichheit" zu erhalten, Systeme etabliert, in denen einige deutlich „gleicher“ waren als andere. Praktisch alle politischen Ideologien, in denen "der Zweck die Mittel heiligt" beinhalten diese Paradoxie: In der Durchsetzung bestimmter Werte für die Zukunft werden die gleichen Werte in der Gegenwart geopfert.

Wie bei vielen Paradoxien entsteht der Widerspruch auch hier durch die Anwendung eines Prinzips (Freiheit, Gleichheit) auf sich selbst bzw. auf die Bedingungen, die dieses Prinzip ermöglichen sollen.

Psychologische Paradoxien

Zu den psychologischen Paradoxien gehören Fälle, in denen Menschen sich genau entgegen der "Logik" verhalten. Dazu gehört die sogenannte "Sei-spontan-Paradoxie", wie es häufig in Beziehungen zum Ausdruck kommt: Die Erwartung, dass mein Gegenüber seine Entscheidungen gefälligst frei und selbständig treffen soll – und genau damit seine Unselbständigkeit unter Beweis stellen würde. Der Wunsch „Sag mir doch öfter mal spontan, dass du mich liebst!“ ist, sobald ausgesprochen, nicht mehr erfüllbar. („Ich liebe dich“ – „Das sagst du jetzt nur wegen meiner Bitte neulich!“).

In den sogenannten paradoxen Interventionen werden psychologische Paradoxien wiederum gezielt eingesetzt, insbesondere dann, wenn das Gegenüber (ein Kind zum Beispiel) ein trotziges Verhalten zeigt und auf Aufforderungen bewusst mit dem Gegenteil reagiert. Entsprechend wird in der paradoxen Intervention eine Erwartung geäußert, deren Gegenteil eigentlich erreicht werden soll.

Ein weiteres Beispiel für psychologische Paradoxien sind die sogenannten "gemischten Botschaften", wenn zwischen dem was gesagt wird und der Art wie es gesagt wird, ein Widerspruch besteht. Beispiel: die "angebaggerte" Frau, die "Nein" sagt, dabei aber freundlich lächelt. In langdauernden Beziehungen können so die von Gregory Bateson beschriebenen sogenannten Double-Bind-Kommunikationsstrukturen entstehen, wenn also z.B. einer der Partner (insbesondere in Eltern-Kind-Beziehungen) dem anderen seine Zuneigung immer mit unbewegter Mimik, emotionsloser Stimme und ohne Körperkontakt versichert.

Auch das ästhetische Paradox der Hässlichkeit lässt sich den psychologischen Paradoxa zuordnen: Das Phänomen, dass z. B. auch ein Bild mit einem "hässlichen" Motiv auf einer höheren Ebene als schön empfunden werden kann.

Interessant für die Wirtschaftswissenschaften sind paradoxe, der objektiven Logik widersprechende ökonomische Entscheidungen, wie sie u.a. von Allais und Ellsberg untersucht wurden.

Paradoxien als ästhetisches Motiv in der Wissenschaft

Die Aufzählung der Paradoxien in den verschiedenen Wissenschaften belegt, dass das Erkennen und Lösen von Paradoxien ein bedeutendes Motiv wissenschaftlicher Arbeit sein kann. ^[5] Der Mathematiker Roger Penrose drückte es einmal so aus: „Paradoxien empfinde ich als ausgesprochen reizvoll. Sie sehen so etwas und versuchen zu verstehen, wie um Himmels willen könnte das einen Sinn ergeben?! Selbst das ist paradox: Ich habe viel für Paradoxien übrig, und gleichzeitig will ich sie aus der Welt schaffen!“ ^[6] Der wissenschafts-ästhetische Reiz von Paradoxien zeigt sich auch daran, dass sich Künstler wie M. C. Escher von den Paradoxien in der Mathematik und Physik inspirieren ließen. So gab es zeitweise einen engen Austausch zwischen Penrose und Escher: So hat Penrose sich als Mathematiker mit geometrisch „unmöglichen“ Formen befasst. Von ihm stammt unter anderem der berühmte Tribar. Escher wiederum hat diese Gedanken aufgegriffen und in seinen Grafiken umgesetzt. Auch für andere Wissenschaftler und Denker wie Bertrand Russell, Gregory Bateson oder Arthur Koestler waren Paradoxien in ihren unterschiedlichen Facetten ein zentrales Thema.

Paradoxien in der Populärkultur

Im Monty-Python-Film 'Das Leben des Brian' findet sich folgendes Paradoxon: Brian wird, zu seinem Unwillen, von einer wachsenden Menschenmenge für den Messias gehalten. Um sie von diesem Glauben abzubringen hält er eine kleine Ansprache:

Brian: Ihr habt das ganz falsch verstanden. Ihr braucht mir nicht zu folgen. Ihr braucht niemandem zu folgen! Ihr müsst selber denken! Ihr seid lauter Individuen.

Die Menge (einstimmig): Ja, wir sind lauter Individuen!

Brian: Ihr seid alle verschieden.

Die Menge (einstimmig): Ja, wir sind alle verschieden!

Worauf aus der Menge eine einzelne Stimme sagt: Ich nicht.

In dem Roman 'Per Anhalter durch die Galaxis' von Douglas Adams wird der Babelfisch, mit dessen Hilfe man alle Sprachen des Universums verstehen kann, als Beweis für die Nichtexistenz Gottes angeführt. Auf die Unwahrscheinlichkeit der Entstehung des Babelfischs durch pure Evolution wurden kluge Denker aufmerksam und bewiesen mit Hilfe dieses Fisches, dass es Gott nicht geben kann:

„Ich weigere mich zu beweisen, dass ich existiere“ sagt Gott, „Denn ein Beweis ist gegen den Glauben, und ohne Glauben bin ich nichts.“

„Aber,“ sagt der Mensch, „der Babelfisch ist doch eine unbewusste Offenbarung, nicht wahr? Er hätte sich nicht zufällig entwickeln können. Er beweist, dass es dich gibt, und darum gibt es dich, deiner eigenen Argumente zufolge, nicht. Quod erat demonstrandum.“

„Ach du lieber Gott“ sagt Gott, „daran habe ich nicht gedacht“ und löste sich prompt in ein Logikwölkchen auf.

„Na, das war ja einfach“ sagt der Mensch, und beweist, weil's gerade so schön war, dass Schwarz gleich Weiß ist und kommt wenig später auf einem Zebrastreifen ums Leben.

Siehe auch

• Antinomie, Aporie, Tautologie, Dilemma, Koan, Henne-Ei-Problem
• Sophismus (Rhetorik)
• Dialektik

Quellen

1. ↑ Meyers Lexikon online, http://lexikon.meyers.de/meyers/Paradoxon
2. ↑ Roger Penrose (1995): Schatten des Geistes, S. 297 f.
3. ↑ http://medikamente.onmeda.de/glossar/P/paradoxe+Reaktion.html
4. ↑ Ueli Briegel, Wenjiao Xiao: Paradoxes in Geology, Elsevier 2001, ISBN 9780444505606.
5. ↑ Gábor Paál: Was ist schön? Ästhetik und Erkenntnis. Würzburg 2003, S. 194-206. ISBN 3826024257
6. ↑ zit. ebda. S. 205

Literatur

• Raymond M. Smullyan: Das Buch ohne Titel - Eine Sammlung von Paradoxa und Lebensrätseln. Vieweg, Wiesbaden, 1983, ISBN 3528084855.
• Roland Hagenbüchle, Paul Geyer (Hrsg.): Das Paradox. Eine Herausforderung des abendländischen Denkens. Würzburg: Königshausen & Neumann, 2002, ISBN 3-8260-2345-5
• R.M. Sainsbury: Paradoxien. Reclam, Stuttgart, 1993, ISBN 3-15-018135-6
• Paul Geyer (Hrsg.): Das Paradox, Stauffenburg-Colloquium, 21, Stauffenburg-Verl., Tübingen 1992, ISBN 3-923721-78-1, bes. Heinrich Plett: Das Paradoxon als rhetorische Kategorie. S. 89-104
• Michael Clark: Paradoxes from A to Z. Routledge, London 2007, ISBN 0-415-42082-2

Weblinks

• Barry Hartley Slater: „Logical Paradoxes“ in der Internet Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
• Andrea Cantini: „Paradoxes and Contemporary Logic“ in der Stanford Encyclopedia of Philosophy (englisch, inklusive Literaturangaben)
• http://www.fh-fulda.de/~grams/dnkfln.htm