- Pareto-optimal
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In der Mathematik und im Operations Research bezeichnet man mit Pareto-Optimierung (nach Vilfredo Pareto; auch mehrkriterielle Optimierung oder multikriterielle Optimierung) das Lösen eines Optimierungsproblems mit mehreren Zielen, also eines mehrkriteriellen oder multikriteriellen Problemes.
In der Volkswirtschaftslehre bezeichnet ein pareto-optimales Gleichgewicht eine Verteilung knapper Güter, in der kein Beteiligter besser gestellt werden kann, ohne einen anderen schlechter zu stellen. Ein Wechsel hin zu einer nach Maßgabe dieses Kriteriums „besseren“ Verteilung wird entsprechend als Pareto-Optimierung bezeichnet; die Menge der durch Pareto-Optimierung erreichbaren Zustände als Pareto-Optimum.
Inhaltsverzeichnis
Überblick mit technischem Schwerpunkt
Bei vielen Optimierungsaufgaben lassen sich mehrere, voneinander grundsätzlich unabhängige Zielsetzungen definieren, zum Beispiel bei Kraftmaschinen der Wirkungsgrad, die maximale Leistung und der Schadstoffausstoß. Es ist hier oft nicht möglich, alle Ziele gemeinsam zu optimieren, man kann sich zum Beispiel in der Situation befinden, dass man die maximale Leistung nur erhöhen kann (eine Verbesserung), wenn gleichzeitig der Wirkungsgrad sinkt (eine Verschlechterung).
Das übliche Vorgehen zur Behandlung solcher Aufgaben ist es, die interessierenden Ziele als Teilziele aufzufassen und sie mittels Gewichtungsfaktoren zu einer gemeinsamen Zielfunktion zusammenzufassen. Man erhält auf diese Weise ein einfaches Problem. Dies löst man mit einem der unter Operations Research genannten Verfahren und bestimmt eine optimale Lösung für die gemeinsame Zielfunktion.
Bei nicht ineinander umrechenbaren Zielgrößen, wie etwa im gegebenen Beispiel, sind die anzusetzenden Gewichtungsfaktoren willkürlich und in bestimmten Rahmen subjektiv. Hierdurch ergibt sich auch eine entsprechende Willkürlichkeit beim Auffinden der gesuchten "besten" Lösung des Optimierungsproblems. Eine sinnvolle Vorgehensweise ist in solchen Fällen die separate Optimierung für alle möglichen Kombinationen von Gewichtungsfaktoren. Dabei wird man in der Regel nicht eine einzelne beste Lösung finden, da die Zielkriterien meist miteinander in Konflikt stehen (wie oben die maximale Leistung und der Wirkungsgrad).
Da keine eindeutig beste Lösung definiert ist, bestimmt man eine Menge von Lösungen des Optimierungsproblems, bei der eine Verbesserung eines Zielfunktionswertes nur noch durch Verschlechterung eines anderen erreicht werden kann, also die Menge optimaler Kompromisse. Diese Lösungsmenge bezeichnet man als Pareto-Menge oder Pareto-Optimum des zugrunde liegenden Paretooptimierungsproblems, deren Elemente als pareto-optimal. Es ist zu beachten, dass die Pareto-Menge im Allgemeinen nicht vollständig durch die Variation von Gewichtungsfaktoren bestimmt werden kann.
Ist die Pareto-Menge des gegebenen Optimierungsproblems erst einmal gefunden, so können subjektive Einschätzungen über die Wichtigkeit der einzelnen Teilziele (verschiedene Gewichtungsfaktoren) angegeben werden. Die Paretomenge enthält dann für beliebige relative Teilzielgewichtungen jeweils mindestens eine Lösung, die bei dieser Gewichtung optimal ist.
Dimension und Visualisierung
Bei einem Optimierungsproblem mit n Zielen wird die Pareto-Menge eine (n-1)-dimensionale Hyper-Grenzfläche darstellen. (Bei einem linearen Optimierungsproblem ist diese Grenzfläche ein Ausschnitt einer Hyperebene.) Das Pareto-Optimum eines zwei-kriteriellen Problems (z. B. Leistung versus Drehmoment einer Kraftmaschine) ist eine streng monoton fallende, nicht notwendigerweise stetige Grenzlinie in einem Leistungs-Wirkungsgrad-Diagramm darstellen.
Spätestens bei vierdimensionalen Problemen hört jegliche direkte Visualisierungsmöglichkeit auf. Stattdessen muss der Lösungsraum durch Hilfsmittel wie etwa das Sterndiagramm interaktiv ertastet werden.
Siehe auch
Literatur
- Matthias Ehrgott: Multicriteria Optimization. Lecture Notes in Economic and Mathematical Systems 491, Springer Verlag, 2000.
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