Peanokurve

Peanokurve

Die Peano-Kurve (nach Giuseppe Peano) ist eine raumfüllende Kurve (FASS-Kurve).

Sie ist definiert als der Grenzwert einer Folge von Kurven, die schrittweise konstruiert werden können.

Im zweidimensionalen Fall ist ein Beispiel für eine Peanokurve das folgende: Man beginnt mit der Unterteilung eines Quadrats in neun gleich große Quadrate, die in einer S-Kurve durchlaufen werden. Im nächsten Schritt wird jedes dieser Quadrate wieder unterteilt und die entstehenden Quadrate in S-Kurven durchlaufen, die als neue Kurve zusammengehängt werden:

Bild:Peano curve shaded.svg

Skaliert man die Kurven auf dieselbe Größe, erhält man als erste vier Schritte:

Bild:Peano curve.png

Setzt man dieses Verfahren der Rekursion fort, erhält man eine Folge von Kurven, die punktweise konvergiert.

Als Grenzwert erhält man die Peano-Kurve, auf der jeder Punkt des Ausgangsquadrat liegt und die unendlich lang ist.

Dieses Verfahren lässt sich leicht auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Auch liefert eine stetige surjektive Abbildung f\colon I\to I^2 (mit I = [0,1]) wiederum stetige und surjektive Abbildungen f\times\operatorname{id}_{I^{n-1}}\colon I^n\to I^{n+1}, und durch Verkettung erhält man eine stetige Surjektion I\to I^n für jede natürliche Zahl n.

Weitere Peano-Kurve

Es existiert auch noch eine weitere, flächenfüllende Kurve, die als Peano-Kurve bekannt ist. Ihre Struktur entspricht der Cantor-Diagonalisierung. Dabei wird eine Strecke zwischen zwei Punkten durch das Gebilde der ersten Stufe ersetzt.

Image:peano_1.GIF Image:peano_2.GIF
Peano-Kurve der ersten Stufe Peano-Kurve der zweiten Stufe

Siehe auch

Weblinks


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  • Peano — Peano,   Giuseppe, italienischer Mathematiker und Logiker, * Spinetta (bei Cuneo) 27. 8. 1858, ✝ Turin 20. 4. 1932; Schüler von A. Genocchi, dessen Analysisvorlesungen er in Buchform herausbrachte, 1890 Professor in Turin. Peano trat zuerst als… …   Universal-Lexikon

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