- Peanokurve
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Die Peano-Kurve (nach Giuseppe Peano) ist eine raumfüllende Kurve (FASS-Kurve).
Sie ist definiert als der Grenzwert einer Folge von Kurven, die schrittweise konstruiert werden können.
Im zweidimensionalen Fall ist ein Beispiel für eine Peanokurve das folgende: Man beginnt mit der Unterteilung eines Quadrats in neun gleich große Quadrate, die in einer S-Kurve durchlaufen werden. Im nächsten Schritt wird jedes dieser Quadrate wieder unterteilt und die entstehenden Quadrate in S-Kurven durchlaufen, die als neue Kurve zusammengehängt werden:
Skaliert man die Kurven auf dieselbe Größe, erhält man als erste vier Schritte:
Setzt man dieses Verfahren der Rekursion fort, erhält man eine Folge von Kurven, die punktweise konvergiert.
Als Grenzwert erhält man die Peano-Kurve, auf der jeder Punkt des Ausgangsquadrat liegt und die unendlich lang ist.
Dieses Verfahren lässt sich leicht auf höhere Dimensionen verallgemeinern. Auch liefert eine stetige surjektive Abbildung (mit I = [0,1]) wiederum stetige und surjektive Abbildungen , und durch Verkettung erhält man eine stetige Surjektion für jede natürliche Zahl n.
Weitere Peano-Kurve
Es existiert auch noch eine weitere, flächenfüllende Kurve, die als Peano-Kurve bekannt ist. Ihre Struktur entspricht der Cantor-Diagonalisierung. Dabei wird eine Strecke zwischen zwei Punkten durch das Gebilde der ersten Stufe ersetzt.
Peano-Kurve der ersten Stufe Peano-Kurve der zweiten Stufe Siehe auch
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