Pentagonalzahl

Ineinandergeschachtelte Fünfecke aus 22 Kugeln

Eine Fünfeckszahl oder Pentagonalzahl ist eine Zahl, die das Konzept der Dreiecks- und Quadratzahlen auf das regelmäßige Fünfeck erweitert. Allerdings ist das dabei entstehende Muster weit weniger symmetrisch als das der Dreiecks- und Quadratzahlen. Die n-te Fünfeckszahl entspricht der Anzahl der Kugeln, die man zum Legen eines Musters mit n regelmäßigen Fünfecken benötigt, die eine gemeinsame Ecke haben. Die ersten Fünfeckszahlen sind

0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, … (Folge A000326 in OEIS)

Bei einigen Autoren ist die Null keine Fünfeckszahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Die n-te Fünfeckszahl lässt sich mit der Formel

$\frac{n(3n-1)}2$

berechnen.

Die wichtigste Aussage über Fünfeckszahlen ist der Pentagonalzahlensatz.

Fünfeckszahlen der zweiten Art

Setzt man für n eine negative ganze Zahl ein, so bekommt man Fünfeckszahlen zweiter Art oder auch Kartenhauszahlen. Kartenhauszahlen deswegen, weil die Zahlen angeben, wieviele Karten benötigt werden, um ein Kartenhaus mit n Etagen zu bauen.

$\frac{n(3n-1)}2 = \frac{m(3m+1)}2$ für $m = -1\cdot n$ und $n \le 0$

Die Folge der Kartenhauszahlen beginnt: $0, 2, 7, 15, 26, 40, 57, \dots$ (Folge A005449 in OEIS)

Die Kartenhauszahlen lassen sich als Summe von Dreieckszahlen erzeugen:

Kartenhauszahlen als Summe von Dreieckszahlen

$2\cdot \frac{n(n+1)}{2} + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{m(3m+1)}2$

Weblinks

• Kartenhauszahlen