Pi-Theorem

Das Buckinghamsche Π-Theorem (sprich: Pi-Theorem) nach Edgar Buckingham (1867–1940) ist ein grundlegendes Theorem der Ähnlichkeitstheorie und der Dimensionsanalyse.

Es beschreibt, wie eine physikalisch sinnvolle Gleichung mit n dimensionsbehafteten Größen in eine Gleichung mit n-m dimensionslosen Größen umgeschrieben werden kann, wobei m die Anzahl der verwendeten unabhängigen Grundgrößen ist. Weiterhin ist es durch das Buckinghamsche Π-Theorem möglich, dimensionslose Kennzahlen zu einem Problem aus den Ausgangsgrößen zu ermitteln, auch wenn der exakte Zusammenhang in Form einer Gleichung noch nicht bekannt ist.

Ermittlung der Einflussgrößen

Die Ermittlung der Einflussgrößen, die ein physikalisches Problem beschreiben, stellt die Schwierigkeit bei der Anwendung des Buckinghamschen Π-Theorems dar. In dieser Phase ist Intuition und/oder physikalischer Sachverstand erforderlich. Bei einer konsistenten Wahl der Einflussgrößen ist eine Umwandlung in n - m dimensionslose Größen jedoch immer möglich. Dabei können auch Naturkonstanten (bspw. die Lichtgeschwindigkeit) eine Rolle spielen.

Eine Umwandlung der dimensionsbehafteten Einflussgrößen in dimensionslose Kenngrößen ist nur möglich, wenn jede Grunddimension in mindestens zwei dimensionsbehafteten Einflussgrößen des physikalischen Systems vorkommt. Diese Voraussetzung ist notwendig aber nicht hinreichend. Falls sich herausstellt, dass eine Umwandlung nicht möglich ist, bedeutet dies, dass entweder zu viele, zu wenig oder die falschen Einflussgrößen gewählt wurden. Ungeachtet dessen können bei einer geglückten Umwandlung jedoch auch wichtige Einflussgrößen vergessen und überflüssige Größen verwendet worden sein.

Beispiele

Reibungsfreies Pendel

Pendel (reibungsfrei)

Man kann für kleine Auslenkungen ($\varphi\leq$ 5°) die Pendellänge l, die Erdbeschleunigung g, sowie die Masse m als die drei wesentlichen beschreibenden Größen für die Schwingungsdauer t eines Pendels annehmen (n=4). Es sollen die Grunddimensionen L Länge (SI-Einheit: m), M Masse (SI-Einheit: kg) und T Zeit (SI-Einheit: s) verwendet werden (m=3). Es gilt damit für die Grunddimensionen der Einflussgrößen: l Dimension L; g Dimension L/T²; m Dimension M; t Dimension T.

Der Produktansatz

(1) $\Pi = l^{x_1} \cdot g^{x_2} \cdot m^{x_3} \cdot t^{x_4}$

kann nur dimensionslos werden, wenn

(2) $L^{x_1} \cdot (L/{T^2})^{x_2} \cdot M^{x_3} \cdot T^{x_4} = 1$

und somit

(3) Länge: $x_1 + x_2 \; = \; 0$

(4) Masse: $x_3 \; = \; 0$

(5) Zeit: $-2 \cdot x_2 + x_4 = 0$

gilt. Wegen (1) und (4) ist die Masse entgegen der obigen Annahme ohne Bedeutung für die Schwingungsdauer. Dies ist ein erstes Ergebnis des Buckinghamschen Π-Theorems. Da x₁, x₂ und x₄ lediglich durch die zwei Gleichungen (3) und (5) bestimmt werden, kann eine beliebige der drei Unbekannten frei (aber ungleich 0) gewählt werden (bspw. x₄ = 1). Dann gilt:

(6) x₄ = 1 und x₁ = − x₂ = − 1 / 2.

Zur Beschreibung des gesuchten Zusammenhangs genügt wegen n-m = 1 eine einzige und dimensionslose Größe. Diese wird mit (1) und (6) zu:

(7) $\Pi = \sqrt{g / l} \cdot m^0 \cdot t = \sqrt{g / l} \cdot t$.

Da keine weiteren dimensionslosen Größen beteiligt sind, muss als Ergebnis des Buckinghamschen Π-Theorems

(8) $\sqrt{g / l} \cdot t = const$

gelten. Die unbekannte Proportionalitätskonstante kann mit einem einzigen Versuch zu const = 6,283... bestimmt werden, und man erhält

(9) $t = 6{,}283... \cdot \sqrt{l / g}$

als Schwingungsdauer. Man beachte, dass dieser Zusammenhang ohne Verwendung der zugrunde liegenden Differentialgleichung der Bewegung des Pendels ermittelt wurde. Eine Lösung dieser Differentialgleichungen liefert das analoge Ergebnis

(10) $t = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{l / g}$.

Die Deutung der Proportionalitätskonstante als const = 2π ($\approx 6{,}283...$) kann weder das Buckinghamsche Π-Theorem noch der Versuch liefern.

Zusammenfassung

Verfahren	Ergebnisse
Buckinghamsches Π-Theorem	$t = const \cdot \sqrt{l / g}$
Buckinghamsches Π-Theorem und ein Versuch	$t = 6{,}2... \cdot \sqrt{l / g}$
Viele Versuche	$t = 6{,}283... \cdot \sqrt{l / g}$
Lösung der Differentialgleichung	$t = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{l / g}$

Federpendel

Feder-Masse-Pendel

Geht man zur Berechnung der Schwingungsdauer t eines Federpendels mit der Masse m und der Federkonstate c als wesentliche Parameter aus, kann der folgende Ansatz verwendet werden:

$\Pi = m^{x_1} \cdot c^{x_2} \cdot t^{x_3}$

Da in diesem Ansatz nur die Dimensionen Masse M und Zeit T vorkommen,

$M^{x_1} \cdot { \left( \frac {M}{T^2} \right) }^{x_2} \cdot {T}^{x_3} = 1$

lassen sich lediglich zwei Gleichungen:

(1) Masse: $x_1 + x_2 \; = 0$

(2) Zeit: $-2 \cdot x_2 + x_3 = 0$

für die drei Unbekannten x₁,x₂,x₃ ableiten. Mit der Annahme $x_3 \; = 1$ folgen $x_2 = x_3/2 = \; 1/2$ und $x_1 = \; -x_2 = \; -1/2$. Setzt man die Ergebnisse für x₁,x₂,x₃ in den Ansatz ein, erhält man

$\Pi = t \cdot \sqrt{c / m} = const$

und damit

$t \sim \sqrt{m / c}$.

Rotierender Ring

Rotierender Ring

Für die Spannungen σ, die in einem rotierenden Ring entstehen, wird eine Abhängigkeit von der Rotationsgeschwindigkeit ω, dem Radius r und der Dichte ρ angenommen (n=4). Der sich daraus ergebende Ansatz

$\Pi = \sigma^{x_1} \cdot \rho^{x_2} \cdot \omega^{x_3} \cdot r^{x_4}$

kann nur dimensionslos werden, wenn für die hier verwendeten m=3 Grunddimensionen (L Länge, M Masse, T Zeit)

${ \left( \frac {M}{T^2 \,L} \right) }^{x_1} \cdot { \left( \frac{M}{L^3} \right)}^{x_2} \cdot {\left( \frac{1}{T} \right) }^{x_3} \cdot L^{x_4} = 1$

und somit

(1) Masse: $x_1 + x_2 \; = \; 0$

(2) Zeit: $-2 x_1 - x_3 \; = \; 0$

(3) Länge: $-x_1 - 3 x_2 + x_4\; = \; 0$

gilt. Für die vier Unbekannten (x₁,x₂,x₃,x₄) stehen nur 3 Gleichungen zur Verfügung. Das Gleichungssystem wird mit der willkürlichen Annahme x₁ = 1 eindeutig. Aus (1) und (2) folgen x₂ = − 1 und x₃ = − 2. Mit (3) kann x₄ = − 2 bestimmt werden.

Das Π-Theorem besagt also:

$\sigma^{1} \cdot \rho^{-1} \cdot \omega^{-2} \cdot r^{-2} = const \quad\Rightarrow\quad \sigma = const \cdot \rho \cdot \omega^2 \cdot r^2$.

Die Spannung σ hängt also linear von der Dichte und quadratisch von der Winkelgeschwindigkeit und dem Radius ab. Die unbekannte Proportionalitätskonstante kann nicht mit dem π-Theorem bestimmt werden.

Literatur

• Buckingham, E.: On physically similar systems; illustrations of the use of dimensional equations. Phys. Rev. 4, 345-376 (1914).
• Buckingham, E.: The principle of similitude. Nature 96, 396-397 (1915).
• Buckingham, E.: Model experiments and the forms of empirical equations. Trans. A.S.M.E. 37, 263-296 (1915).
• Spurk, J. H.: Dimensionsanalyse in der Strömungslehre, Springer-Verlag, (1992).

Siehe auch

• Ähnlichkeitstheorie im Kontext physikalischer Vorgänge und Allometrie in der Biologie
• Ähnlichkeitsmechanik
• Dimension (Größensystem)
• Dimensionsanalyse Dort ist die Bildung über Matrizen zu finden.