Potenzproduktansatz

Der Potenzproduktansatz wird oft zur Annäherung von funktionalen Zusammenhängen in physikalischen Systemen verwendet.

Für die Funktion f wird ein Potenzproduktansatz der Form

$f(x_1, \dots, x_n)=\prod_{k=1}^{n} x_k^{\alpha_{k}}$

gewählt. Dabei kennzeichnen die x_k die im Experiment veränderbaren Größen. Durch Variation dieser Größen im Experiment lassen sich die freien Parameter α_k bestimmen.

In der Praxis können die Messwerte z. B. auf Logarithmenpapier aufgetragen werden. Der jeweilige Exponent lässt sich leicht aus der Steigung der Ausgleichsgeraden ermitteln.

Beispiel

Mit Fallversuchen soll der Zusammenhang der Fallzeit t von der Höhe und vom Gewicht des fallenden Körpers aufgeklärt werden. Die Funktion f aus dem Potenzproduktansatz entspricht dieser Fallzeit t. Die Höhe h und des Gewicht M entsprechen den variablen Größen x₁ und x₂.

$t(h, M) = c^{\alpha_{0}} \cdot h^{\alpha_{1}} \cdot M^{\alpha_{2}}$

c ist hier keine variable Größen, sondern dient der Skalierung. Durch Anpassung der Exponenten α_k an das Ergebnis erhält man die Gleichung

$t(h, M) = c^{1} \cdot h^{\frac{1}{2}} \cdot M^{0} = c \cdot h^{\frac{1}{2}}$

Grenzen

Für die Parameter α_k muss sinnvoll gerundet werden, um ein physikalisches Modell des Experimentes zu bilden. Ein Wert von z. B. 0,498 für α₁ wäre dafür wenig hilfreich.

Der Potenzproduktansatz scheitert an vielen Stellen jedoch, da das korrekte physikalische Modell sich damit nicht abbilden lässt. Verschiedene, sich widersprechende Strahlungsgesetze, die z. T. auf Potenzproduktansätzen beruhen (Stefan-Boltzmann-Gesetz), werden z. B. erst durch das plancksche Strahlungsgesetz zusammengeführt, welches keinem Potenzproduktansatz genügt.