Quadrierbarkeit

Das Jordan-Maß ist ein Begriff aus der Maßtheorie. Dieser geht auf Marie Ennemond Camille Jordan zurückgeht, welcher ihn im Jahr 1890 entwickelte. Mit dem Jordan-Maß kann man beschränkten Teilmengen des $\R^n$ einen Inhalt zuordnen und erhält einen Integralbegriff, der dem riemannschen Integralbegriff analog ist.

Definition

Eine Menge $A\subset \R^2$ (mit blauem Rand) wird einmal durch Teilmengen (wie die Menge mit grünem Rand) und einmal durch Obermengen (wie die Menge mit lila Rand) aus $\mathcal J^2$ angenähert.

Seien

$J^n := \{ ]a,b[ : a,b \in \R^n , a \leq b \}$

und

$\mathcal{J}^n := \{ \bigcup_{k=1}^m I_k: I_1, \ldots , I_m \in J^n,\ \text{disjunkt}\}$

Mengensysteme.

Eine Menge $A \subset \R^n$ heißt Jordan-messbar, wenn A beschränkt ist und

$\sup\{\lambda^n(M) : M \in \mathcal{J}^n, M \subset A\} = \inf\{\lambda^n(N): N \in \mathcal{J}^n, N \supset A\}$

gilt. Dabei bezeichnet λⁿ das Lebesgue-Prämaß, welches für $a = (a_1, \ldots , a_n), b = (b_1, \ldots , b_n) \in \R^n$ durch

$\lambda^n\left(]a,b[\right) = \prod_{j=1}^n(b_j - a_j)$

definiert ist. Das Jordan-Maß von A ist dann durch $i^n(A):=\sup\{\lambda^n(M) : M \in \mathcal{J}^n, M \subset A\}$ gegeben. Gilt iⁿ(A) = 0, wird A Jordan-Nullmenge genannt.

Eigenschaften

1. Ist $A \subset \R^n$ Jordan-messbar, so ist A auch Lebesgue-messbar, und es gilt λⁿ(A) = iⁿ(A).
2. Eine Menge $A \subset \R^n$ ist genau dann Jordan-messbar, wenn A beschränkt ist und der Rand von A eine Jordan-Nullmenge ist.
3. Eine beschränkte Menge $A \subset \R^n$ ist genau dann Jordan-messbar, wenn $\lambda^n(A^\circ) = \lambda^n(\overline{A})$ ist. Dann gilt auch $i^n(A) = \lambda^n(A^\circ) = \lambda^n(\overline{A})$.
4. Eine kompakte Menge $A \subset \R^n$ ist genau dann eine Lebesgue-Nullmenge, wenn A eine Jordan-Nullmenge ist.

Beispiele

• Der Einheitskreis im $\R^n$ ist Jordan-messbar, da er beschränkt und sein Rand eine Jordan-Nullmenge ist.
• Die Menge $A=[0,1]\cap \Q$ ist nicht Jordan-messbar, da für den Rand $\partial A=[0,1]$ gilt und das Jordan-Maß von $\partial A$ demnach 1 ist. A ist allerdings Lebesgue-messbar mit Lebesgue-Maß 0.

Literatur

• Wolfgang Walter: Analysis II. Springer 1991, 2. Auflage, ISBN 3-540-54566-2, S. 224-226.

Weblinks

• Jordaninhalt und quadrierbare Mengen
• Quadrierbare Mengen im MitschriebWiki