Regelsystem

Blockschaltbild eines einfachen Standardregelkreises, bestehend aus der Regelstrecke 'G', dem Regler 'K' und einer negativen Rückkopplung der Regelgröße 'y' (auch: Istwert) auf den Regler. Die Regeldifferenz 'e' wird aus der Differenz zwischen der Führungsgröße 'w' (auch: Sollwert) und der Regelgröße errechnet. Der vom Regler ermittelte Stellwert 'u' wirkt auf die Strecke und damit wiederum auf die Regelgröße ein. Die Störgröße d bewirkt eine Veränderung der Regelgröße, die nicht gewünscht ist und kompensiert werden muss.

Ein Regelkreis ist ein geschlossenes rückgekoppeltes System, das mindestens aus einer Regelstrecke, einem Regler und der Rückführung besteht. Kennzeichnend für einen Regelkreis ist der geschlossene Wirkungskreis mit einer negativen Rückkopplung. Regelkreise werden auch als Regelsysteme bezeichnet insbesondere dann, wenn in einem Regelsystem mehrere Regelkreise ineinander greifen.

Regelkreise werden in der Technik verwendet, wenn die Steuergröße einer Steuerstrecke den Anforderungen bezüglich des dynamischen und statischen Verhaltens nicht genügt. Dazu wird der Regler für die Regelstrecke bzw. eines Modells der Regelstrecke so entworfen, dass der Regelkreis das gewünschte Verhalten möglichst gut annimmt. Das gewünschte Verhalten kann vielfältig sein:

Beispielsweise kann das Ziel im guten Führungsverhalten, im Störverhalten, im Folgeverhalten oder in der Stabilisierung einer instabilen Regelstrecke bestehen.

Lineare zeitinvariante Systeme eines Regelkreises werden vorzugsweise im Frequenzbereich mittels Übertragungsfunktion dargestellt. Anhand der Pole-Nullstellenverteilung der Übertragungsfunktion kann auf die Stabilität des Regelkreises bzw. auf die Dämpfung der Regelgröße geschlossen werden.

Nicht alle gewünschten Eigenschaften des Regelkreises können mit einem einschleifigen Standard-Regelkreis erfüllt werden.

Regelkreise können mehrere Ein- und Ausgänge haben oder gemischte lineare und nichtlineare Systeme enthalten. Für diese Anwendungen sind spezielle Regelkreisstrukturen erforderlich, für deren Verhalten auch andere Berechnungsverfahren wie Zustandsraumdarstellung oder numerische Simulationen mit Modellen zur Anwendung kommen.

Den Begriff des Regelkreises gebraucht man außer in der Technik auch in der Biologie, vor allem in der Zoologie, um physiologische Abläufe übersichtlich darzustellen. Als Beispiel der Regelung solcher Funktionen sei die Homoiostase des Hormonsystems genannt, die sich an der Regulation des Blutzuckerspiegels durch das Hormon Insulin besonders eindrücklich demonstrieren lässt. Es handelt sich demnach um ein nicht nur rein technisches Modell, sondern um ein allgemeines Organisationsprinzip, das auch unter Begriffen wie Selbstregulation und Systemtheorie zu verstehen ist. ^{[1] [2]}

Der geschlossene einschleifige Regelkreis

Blockschaltbild eines Regelkreises mit erweiterter Darstellung der Regelstrecke und einem Messglied in der Rückführung

Übertragungsfunktionen des geschlossenen Regelkreises

Das Übertragungsverhalten von linearen Regelkreissystemen (Lineares zeitinvariantes System, LZI-System) wird allgemein durch Differentialgleichungen (siehe auch Lineare gewöhnliche Differentialgleichung) beschrieben. Eine große Vereinfachung der Berechnung der Systeme ergibt sich dann, wenn die Lösung der Differentialgleichung nicht im Zeitbereich sondern im Bildbereich (s-Bereich) mittels Laplace-Transformation vorgenommen wird. Die Systemberechnung bezieht sich dann auf einfache algebraische Operationen. Voraussetzung ist, dass es sich bei dem System um ein LZI-System handelt und die Anfangsbedingungen Null sind.

Die Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems ist das Verhältnis der Laplace-transformierten Ausgangsgröße Xa(s) zur Laplace-transformierten Eingangsgröße Xe(s) mit s als Laplace-Operator.

Die Übertragungsfunktion $\qquad G(s) = \frac{Xa(s)}{Xe(s)}$

ist in der Regelungstechnik die die am meisten dargestellte Beschreibung für das Eingangs-Ausgangsverhalten von Regelkreisgliedern.

Durch Berechnung der Pole und Nullstellen (s-sn) der Zähler- und Nennerpolynome von G(s) ergibt sich die faktorielle Darstellung der Übertragungsfunktion, d. h. in die 3 möglichen Grundsysteme im komplexen Frequenzbereich (s-Bereich, s-Ebene):

$G_O(s) = (T\cdot s)^{\pm1};\quad G_O(s) = (T\cdot s+1)^{\pm1};\quad G_O(s) =(T^2\cdot s^2+2\cdot D\cdot T\cdot s+1)^{\pm1} \quad$

jeweils in Kombinationen im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion stehend.

(Siehe Regelstrecke #Charakterisierung der Regelstrecken)

Die Pole (Nullstellen) des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion sind gleichzeitig die Lösungen der Systems, was noch ausführlich gezeigt wird.

Liegt die Übertragungsfunktion einer Regelstrecke oder ein angenähertes Modell der Regelstrecke vor, kann relativ einfach ein passender Regler bestimmt werden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass durch eine bestimmte Kreisverstärkung sich eine hohe Stellgröße u(t) ergeben kann, die die Regelstrecke nicht verarbeiten kann. Es tritt eine Begrenzung der Stellgröße ein und die Übertragungsfunktion des offenen oder geschlossenen Regelkreises ist nicht mehr gültig.

Die Signalbegrenzung ist ein Effekt von mehreren in realistischen Regelstrecken vorkommenden nichtlinearen Systemen. Dies gilt auch für Totzeitsysteme und Systeme mit nichtlinearer Kennlinie. Sie können nicht mit der Übertragungsfunktion behandelt werden. Für Totzeit-Systeme gibt es wohl eine transzendente Übertragungsfunktion (Transzendente Zahl):

$G_{Tt}(s) = e^{-Tt\cdot s} \,$,

die sich aber nur für die Darstellung im Frequenzbereich eignet.

Ebenso sind verschiedene klassische Methoden der Stabilitätsbetrachtung für die genannten Effekte ungültig.

Anforderungen an einen Regelkreis

• Der Regelkreis muss stabil sein.

Die Stabilität des Regelkreises mit linearen zeitinvarianten Übertragungssystemen hängt von der Ordnung und den Parametern der Strecke, von der Struktur des Reglers und von den Parametern des Reglers ab.

Wird eine Steuerstrecke aus linearen zeitinvarianten Systemen in Verbindung mit einem Regler zu einem Regelkreis gestaltet, dann werden in Bezug zum Verhalten der Steuerstrecke 2 Vorteile gewonnen:

• Die Regelgröße y(t) stellt sich auf das Niveau des Sollwertes w(t) ein, Störgrößen werden minimiert,
• Die dominante Zeitkonstante der Regelgröße verringert sich ungefähr um den Faktor der Kreisverstärkung.

Bei Vorhandensein differenzierender PD-Glieder im Regler wird die Verstärkung um einen dynamischen Anteil noch zusätzlich erhöht. Dabei kann die Stellgröße u(t) sehr große Werte annehmen. Dies ergibt sich aus der Berechnung der Schließbedingung (Signalflussplan #Signalflussalgebra) des Regelkreises.

Leider kann man eine zu einer Regelstrecke umfunktionierte Steuerstrecke nicht ohne Energiezufuhr schneller machen. Dieses Beispiel zeigt den Effekt der gerätetechnischen Signalbegrenzung der Stellgröße y(t), die häufig als Schnittstelle von Steuersignalen und Steuerenergie fungiert (z. B. Stellantriebe, Ventile, usw.). Es ist Ermessenssache, ob die Leistungsschnittstelle zum Regler oder zur Regelstrecke gehört.

Sprungantwort eines Regelkreises mit verschiedenen Begrenzungen des Stellgliedes bei hoher Kreisverstärkung K

Die Übertragungsfunktion G(s) = $\tfrac{Y(s)}{W(s)}$ dieses Beispiels eines einfachen Regelkreises enthält keinen Hinweis auf eine Signalbegrenzung und ist deshalb falsch, wenn eine Signalbegrenzung vorliegt. Übertragungsfunktionen gelten nur für lineare zeitinvariante Systeme.

Man kann durchaus Signalbegrenzungen ignorieren und kommt zu einem stabilen Regelkreis. Jedoch entspricht das Übergangsverhalten der Regelgröße y(t) bei Signalbegrenzungen nicht der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises.

Ein wichtiges Verfahren der Bestimmung der Stabilität ist die Analyse des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises, ob die Pole (Nullstellen des Nenners, die die Gleichung zu Null machen) in der linken s-Halbebene liegen. Siehe Kapitel „Stabilität des geschlossenen Regelkreises“!

• Der Regelkreis soll ein gutes Führungsverhalten und Störverhalten auf weisen.

Werden keine besonderen regelungstechnischen Maßnahmen getroffen, sind dies widersprechende Anforderungen.

• Der Regelkreis soll sich robust verhalten.

Unter „robust“ versteht man den Einfluss der schleichenden Änderungen der Parameter von Regler und Regelstrecke auf auf die Dynamik des Regelkreises. Diese durch innere und äußere Umwelteinflüsse wie z. B. Alterung, Reibung, Korrosion entstehenden Parameteränderungen müssen innerhalb eines zugelassenen Toleranzbereiches liegen. Das Verhalten der Robustheit wird auch mit Einfluss der „inneren Störgrößen“ eines Regelkreises bezeichnet.

Diese dargestellten Anforderungen sind nur durch einen Kompromiss der Regelerparameter zu erfüllen. Bei hohen Anforderungen z. B. an das Führungsverhalten und / oder Störverhalten sind aufwendigere Reglerstrukturen erforderlich.

Führungsverhalten eines Regelkreises

Der Regelkreis soll ein gutes Führungsverhalten haben, d. h. nach Vorgabe einer Führungsgröße W(s) bzw. Führungsgrößenänderung (Sollwertänderung) wird ein bestimmtes dynamisches Verhalten erwünscht, mit dem die Regelgröße sich dem Sollwert der Führungsgröße annähert. Neben dem dynamischen Verhalten interessiert die stationäre Genauigkeit. Typisches Eingangs-Testsignal ist der Einheitssprung. (Siehe Tabelle Regelstrecke #Testsignale)

Unter dem Begriff Sollwert versteht man einen bestimmten Wert der Führungsgröße. Ist die Führungsgröße eine zeitabhängige Größe, muss der Regelkreis bzw. die Regelgröße ein gutes Folgeverhalten zeigen. Typisches Eingangs-Testsignal ist die Anstiegsfunktion. (Siehe Tabelle Regelstrecke #Testsignale)

Standardmäßig setzt sich der geschlossene Regelkreis G(s) (siehe Signalflussplan #Signalflussalgebra) aus den Übertragungsfunktionen des Reglers Gr(s) und der Strecke Gs(s) zusammen. Hat die messtechnische Erfassung der Regelgröße ein Zeitverhalten, das berücksichtigt werden muss, dann erhält der Zweig der Rückführung der Regelgröße die messtechnische Einrichtung mit der Übertragungsfunktion Gm(s).

• Die Führungs-Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises lautet gemäß der Schließbedingung mit negativer Kopplung (Gegenkopplung):

$G(s)= \frac {{Y(s)}}{{W(s)}} = \frac {{Gs(s)\cdot G_R(s)}} {{1 + G_R(s) \cdot G_S(s) \cdot G_M(s)}}\,$

Ist das Zeitverhalten von Gm(s) vernachlässigbar, dann lautet die Übertragungsfunktion:

$G(s)= \frac {{Y(s)}}{{W(s)}} = \frac {{G_S(s)\cdot G_R(s)}} {{1 + G_R(s) \cdot G_S(s))}}\,$

oder in der Zusammenfassung von G_R(s) * G_S(s) = G_O(s) als offener Regelkreis:

$G(s)= \frac {{Y(s)}}{{W(s)}} = \frac {{G_O(s)}} {{1 + G_O(s)}}\,$

Störverhalten eines Regelkreises

Der Regelkreis soll ein gutes Störverhalten zeigen. Der Einfluss der Störgröße soll gering sein. Der Angriffsort der Störgrößen ist häufig die Regelgröße. Der Angriffsort kann aber auch innerhalb der Regelstrecke oder am Eingang der Regelstrecke liegen. Für die Beschreibung des Störverhaltens f(t) müssen der Angriffspunkt und der Störsignalverlauf der Störgröße bekannt sein. Der ungünstigste Fall des Störsignals d(t) liegt vor, wenn es sprungartig additiv auf den eingeschwungenen Zustand der Regelgröße y(t) wirkt. Die Polarität der Störung kann positiv oder negativ sein. Je nach der Dynamik des Regelkreises wird die Störabweichung mehr oder weniger schnell ausgeregelt. Besitzt der offene Regelkreis ein I-Glied, wird eine konstante Störgröße im stationären Zustand vollständig ausgeregelt.

• Die Störgröße d(t) wirkt auf die Regelgröße y(t)

Die Übertragungsfunktion bezieht sich auf das Verhältnis der Ausgangsgröße (Regelgröße Y(s)) zur Eingangsgröße an Y (Störgröße D(s)).

Stör-Übertragungsfunktion G_D(s) für die auf die Regelgröße Y(s) wirkende Störung:

$G_D(s) = \frac {{Y(s)}}{{D(s)}} = \frac 1{{1+G_R(s)\cdot G_S(s)}} = \frac 1{1+Go(s)}$

Wie man sieht, ist das Nennerpolynom der Störübertragungsfunktion identisch mit dem Nennerpolynom der Führungs-Übertragungsfunktion. Das bedeutet, das Einschwingverhalten der Regelgröße y(t) ist für die gleiche Änderung der Führungsgröße und der Störgröße identisch.

Sprungantwort eines Regelkreises mit einer additiv wirkenden Störgröße am Streckeneingang

• Die Störgröße d(t) wirkt auf den Eingang u(t) der Regelstrecke

Die Übertragungsfunktion bezieht sich auf das Verhältnis der Ausgangsgröße (Regelgröße Y(s)) zur Eingangsgröße an U (Störgröße D(s)).

Störübertragungsfunktion für die auf den Eingang der Regelstrecke wirkende Störung:

$G_D(s) = \frac {{Y(s)}}{{D(s)}} = \frac {{G_S(s)}}{{1+G_R(s)\cdot G_S(s)}}$

Der entscheidende Unterschied zur Führungs-Übertragungsfunktion und Störungs-Übertragungsfunktion mit Angriff der Störgröße auf die Regelgröße ist die Tatsache, dass das Störsignal bei Angriff auf den Streckeneingang die ungekürzte Regelstrecke durchläuft, d. h. die Pole- Nullstellenkompensation (Kürzung der Übertragungsfunktionen der PT1-Glieder der Strecke gegen PD-Glieder des Reglers) hat keine Wirkung. Deshalb gilt auch nicht das Superpositionsprinzip zwischen Regler und Regelstrecke des offenen und geschlossenen Regelkreises.

Ein sprungartiges Störsignal wird je nach den Verzögerungen der Regelstrecke stärker als eine sprungartige Führungsgrößen-Änderung gedämpft.

Regelkreise, bei denen die Störgröße am Eingang oder innerhalb der Regelstrecke wirkt, erfordern eine andere optimale (höhere) Kreisverstärkung für das Störverhalten als für das Führungsverhalten. Eine höhere Kreisverstärkung – als für das optimale Führungsverhalten notwendig – führt zu einer Erhöhung der Schwingneigung der Regelgröße y(t) für zeitlich schnelle Führungs-Eingangsgrößen.

Ist das Führungsverhalten bei Führungsgrößen-Änderungen nicht so wichtig, kann mittels einer Anstiegsbegrenzung des Sollwertes der Führungsgröße das Überschwingen der Regelgröße y(t) begrenzt werden.

Ist ein optimales Führungs- und Störverhalten gefordert, müssen spezielle Reglerstrukturen eingesetzt werden.

Fazit: Das Superpositionsprinzip zwischen den Systemen des Reglers und der Regelstrecke gilt hier nicht, weil Kürzungen (Pol-Nullstellenkompensation) im Produkt G_O(s) = G_R(s) * G_S(s) möglich wären, nicht aber im Zähler G_S(s) der Störungsübertragungsfunktion. Falls es technisch möglich wäre, Systeme des Reglers in die Strecke zu verlagern, würden Fehler entstehen. In einem am Rechner simulierten Modellregelkreis ist das zu beachten.

Wichtige Begriffe der Dynamik des einschleifigen Regelkreises

• Regelkreis-Gesamtverstärkung (auch Kreisverstärkung, P-Verstärkung)

Unter der Kreisverstärkung K des offenen Regelkreises wird das Produkt aller Faktoren der einzelnen Übertragungssysteme verstanden. Bei Reglern mit einem I-Glied in der Paralleldarstellung z. B. beim PID-Regler beträgt die Gesamtverstärkung des Regelkreises K = K_PID * 1 / Tn.

Soweit möglich, werden Verzögerungsglieder der Regelstrecke durch PD-Glieder des Reglers kompensiert.

Um den offenen Regelkreis schließen zu können, muss erst die Gesamtverstärkung des offenen Regelkreises ermittelt werden, die den Verlauf der Regelgröße bei Sollwert-Änderungen oder Angriff einer Störgröße entscheidend beeinflusst. Für die Ermittlung der Gesamtverstärkung des offenen Regelkreises gibt es eine Reihe von Stabilitätsverfahren, die je nach Verhalten der Regelstrecke mit mehr oder weniger Einschränkungen verbunden sind:

• Einschwingen (auch Übergangsverhalten, Transientes Verhalten)

Das Einschwingen (Überschwingen) eines Ausgangssignals eines Übertragungssystems als Folge einer Eingangssignaländerung ist ein dynamischer Vorgang f(t), bei dem die Ausgangsgröße des Systems im Falle eines stabilen Systemverhaltens sich bis zu einem stationären Zustand bewegt.

Unter Einschwingzeit wird hier der Zeitintervall zwischen Start der Eingangssignal-Änderung und der abgeschlossenen dynamischen Änderung des Ausgangssignals verstanden, dem Beginn des stationären Zustandes des Ausgangssignals. Meist wird das Abklingen der Signaländerung mit einem Toleranzwert von kleiner ca. 10 % bis 5 % als abgeschlossen definiert.

Unter der Überschwingzeit versteht man den Zeitraum des dynamischen Vorgangs vom Erreichen des Sollwertes bis zum Abklingen. Die Werte des Erreichens und des Abklingens der Schwingung werden häufig einem Toleranzbereich von ±10 % bis ±5 % zugeordnet.

• Sollwertfolge

Die Regelgröße folgt dem Sollwert (Festwertregelung). Die Regelgröße stellt sich nach der Einschwingzeit auf das Niveau des Sollwertes ein.

Ist ein I-Anteil im Regelkreis vorhanden, wird die Regelabweichung e(t) bei einer konstanten Störgröße nach der Einschwingzeit zu Null.

Folgeverhalten eines Regelkreises mit 2 I-Gliedern

• Folgeverhalten

Mit Folgeregelung bezeichnet man das Regelverhalten, wenn die Führungsgröße w(t) als eine zeitliche Folge gesteuert wird. Unter einem guten Folgeverhalten versteht man eine geringe Differenz zwischen der Regelgröße und der Führungsgröße nach dem Einschwingvorgang.

Handelt es sich bei w(t) um ein kontinuierliches Zeitverhalten (konstante Geschwindigkeit), ergibt sich bei einem Regelkreis ohne oder mit einem I-Anteil ein Folgefehler.

Für einen Regelkreis mit 2 I-Gliedern mit konstanter Anstiegsgeschwindigkeit der Führungsgröße w(t) folgt die Regelgröße y(t) nach dem Einschwingen der Führungsgröße ohne Regelabweichung.

• Sollwertfolge mit Vorfilter

Enthält der Regelkreis keinen I-Anteil, ergibt sich eine bleibende Regelabweichung. Mit einem sogenannten Vorfilter für die Führungsgröße w(t) kann die bleibende Regelabweichung durch einen Korrekturfaktor für den Sollwert korrigiert werden.

Das Vorfilter kann auch eine Anstiegsbegrenzung des Sollwertes enthalten. Dies ist nützlich, wenn zur Störunterdrückung des Regelkreises mit Angriffspunkt auf den Eingang der Regelstrecke eine zu hohe Kreisverstärkung gewählt wurde, die das Führungsverhalten bei Sollwertsprüngen verschlechtert. Die Anstiegsbegrenzung verhindert schnelle Änderungen der Regelgröße y(t).

• Trajektorienfolge:

(Trajektorie in der Mathematik: Bahnkurve, z. B. Signalverlauf f(t) als Lösung einer Differentialgleichung)

Die Trajektorienfolge ist ein Begriff der Folgeregelung, bei der die Führungsgröße w(t) als Funktion der Zeit gesteuert wird. Die Trajektorienfolge ist also eine zeitgesteuerte oder zeitabhängige Führungsgröße w(t).

In der Zustandsraum-Darstellung findet der Begriff Trajektorienfolge häufig Anwendung.

• Trajektorenfolge mit Anpassung an das dynamische System:

Inneres Modell-Prinzip: Ein Regelkreis kann den Folgefehler einer Führungsgröße vollständig unterdrücken, wenn er ein „inneres Modell“ des Führungssignals enthält. Das bedeutet, dass der offene Regelkreis mit dem Regler und der Regelstrecke das Führungsgrößenmodell beinhalten muss, für das die Sollwertfolge erreicht werden soll.

• Trajektorienfolge mit Vorsteuerung

Die Grundstruktur des Regelkreises wird um den Funktionsblock Gv(t) der Vorsteuerung erweitert. Die Führungsgröße verzweigt sich zum Regelkreis-Eingang und zur Vorsteuerung. Die Ausgangsgröße der Vorsteuerung wirkt additiv auf den Eingang der Regelstrecke u(t). Je nach Regelstrecke und Geschwindigkeit der Trajektorienfolge sind in Gv(s) differenzierende Funktionen enthalten.

• Störsignal beliebiger Form mit Anpassung an das dynamische System

Inneres Modell-Prinzip: Das Modell der Störung wird in den Regler integriert.

Ein Regelkreis kann ein Störsignal vollständig unterdrücken, wenn er ein „inneres Modell“ des Störsignals enthält.

• Störgrößenaufschaltung

Wenn die Störgröße unmittelbar gemessen werden kann, ist es möglich, sie je nach Angriffsort in den Regelprozess einzubeziehen und zu kompensieren.

Greift eine positive Störung auf die Regelgröße y(t) an, kann sie vom Eingangssignal u(t) der Regelstrecke subtrahiert werden.

Greift eine positive Störung auf das Eingangssignal u(t) der Regelstrecke an, kann sie direkt von der Regelabweichung e(t) subtrahiert werden.

Damit wird die Schnelligkeit des Ausregelns der Störung verbessert und die Stabilität des Führungsverhaltens nicht verändert. Die Störgrößenaufschaltung ist deshalb dem „Inneren Modell-Prinzip“ vorzuziehen.

• Großsignalsignalverhalten

Unter Großsignalverhalten wird hier verstanden, dass ein Regler für einen Regelkreis für eine maximale Führungsgröße ausgelegt wird. Ein Einheits-Eingangssprung = 1 bedeutet in diesem Fall ein 100 %-Signal. Erlaubt eine PT2-Strecke den Einsatz eines P-Reglers (abhängig von den Zeitkonstanten) mit z. B. einer P-Verstärkung von K = 50, dann ist die Ausgangsgröße des Reglers anfangs 50 und nach der Einschwingzeit statisch bei 0,98. Lässt die Regelstrecke eine Eingangsgröße u(t) von 50 = 5000 % nicht zu sondern begrenzt diesen Wert, dann wird die Sprungantwort der Regelgröße y(t) im Einschwingvorgang verzerrt und verzögert abgebildet. Der Effekt der Zunahme der Stellgröße wird noch verstärkt, wenn der Regler ein PD-Glied enthält.

Bei Reglern mit PI- und PID-Verhalten zeigt sich dieser Effekt nicht so stark, weil durch das I-Verhalten eine große Kreisverstärkung durch die zusätzliche Phasendrehung des Systems nicht möglich ist. Beim PI-Regler wird der Signalanstieg des PD-Gliedes durch das I-Glied vollständig kompensiert. Beim PID-Regler trägt ein PD-Glied zum Signalanstieg bei.

Fazit: Die Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems oder eines Regelkreises bestimmt nur dann das dynamische Verhalten der Ausgangsgröße, wenn keine Signalbegrenzungen innerhalb der Systemkette vorliegen. Die Übertragungsfunktion ist bei Signalbegrenzungen ungültig!

• Gütekriterien (Regelgüte, Integralkriterien, Güte des Regelverhaltens)

Man versteht darunter ein Maß für die zeitliche Abweichung der Sprungantwort der Regelabweichung y(t) zur Sprungfunktion der Führungsgröße w(t) über den vollen Einschwingvorgang durch Integration.

Bei diesen Integralkriterien wird die Regelabweichung w(t) – y(t) für die Dauer des Einschwingvorgangs auf verschiedene Arten integriert. Unterschieden wird die:

• Lineare Regelfläche
• Quadratische Regelfläche
• Betragsregelfläche: (Integration des Betrages der Regelabweichung)
• ITAE-Kriterium: Durch Multiplikation mit der Zeit werden die kleinen Schwingamplituden stärker berücksichtigt.

Diese seit Anfang des 20. Jahrhunderts bekannten Kriterien haben nur noch eine geringe Bedeutung für den Regelkreis-Entwurf. Mit den richtigen Werkzeugen ausgestattet, kann der Konstrukteur einer Regeleinrichtung durch Simulation den geschlossenen Verlauf der Regelgrößen-Sprungantwort grafisch betrachten. Dabei kann der Regelkreis mit Hinblick auf das Führungs-, Stör- und Robustheitsverhalten sowie der Anschluss weiterer gerätetechnischer Einrichtungen optimiert werden.

• Modell der Regelstrecke und des Regelkreises

Unter dem Modell (Modellbildung) einer Regelstrecke oder eines Übertragungssystems versteht man das abstrakte Abbild einer meist technischen (evtl. physikalischen, chemischen, biologischen) Einrichtung. Das Modell wird analytisch über Grundgleichungen oder experimentell als mathematisches Modell gewonnen.

Die Modellierung einer Regelstrecke im Zeitbereich geschieht experimentell in der einfachsten Form durch eine grafische Aufzeichnung der Sprungantwort mit anschließender Analyse, wenn mathematisch möglich durch Aufstellen von Differentialgleichungen oder durch Aufstellung eines Zustandsraummodells.

(Siehe Regelstrecke #Experimentelle Systemidentifikation von Regelstrecken nach der Sprungantwort)

Die Modellierung im Frequenzbereich ist die Darstellung des Regelstreckenmodells als Übertragungsfunktion.

Nichtlineare Systeme können weder durch gewöhnliche Differentialgleichungen noch durch Übertragungsfunktionen beschrieben werden. Eine beschränkte Darstellung ist allenfalls im Zustandsraum (Regelstrecke #Grundlagen der Regelstrecke im Zustandsraum, Zustandsraumdarstellung) möglich bzw. durch numerische zeitdiskretisierte Verfahren.

Stabilität des geschlossenen Regelkreises

Die verschiedenen klassischen grafischen Verfahren der Stabilitätsbestimmung beziehen sich meist darauf, im offenen Regelkreis – bestehend aus der Regelstrecke und dem Regler – festzustellen, ob der geschlossene Regelkreis stabil ist. Schon das Vorhandensein einer Totzeit, die häufig in den Regelstrecken vorkommt, lässt einige dieser Verfahren versagen.

Ein einfaches Verfahren der Bestimmung der Stabilität im Frequenzbereich (s-Bereich) bezieht sich auf die Lage der Pole und Nullstellen des geschlossenen Regelkreises in der s-Ebene. Wenn der Übertragungsfaktor, die Pole und Nullstellen des geschlossenen Regelkreises bekannt sind, ist das Verhalten des Regelkreises vollständig beschrieben. Dieses Verfahren eignet sich aber auch nur für lineare zeitinvariante Systeme ohne Totzeit.

Liegt eine Begrenzung der Stellgröße vor, kann lediglich festgestellt werden, ob der Regelkreis stabil ist. Dabei wird vorausgesetzt, dass die Stellgrößenbegrenzung mindestens einen ca. 2 bis 3-fachen Wert der maximalen Führungsgröße zulässt.

Allgemein gilt, die klassischen grafischen Verfahren dienen sehr gut dem mathematisch-regeltechnischem Verständnis. Eine Alternative zu den derzeitigen technischen Möglichkeiten, bei der fast jeder Büro-Arbeitsplatz mit einem Personal-Computer (PC) ausgestattet ist, sind sie nicht. Die einfachste Methode, die Auswahl und Parametrierung eines Reglers optimal vorzunehmen, ist die Simulation eines Regelkreises – also eines Modells aus Regler und Regelstrecke – durch numerische Behandlung zeitdiskretisierter Übertragungssysteme.

Beispiel der Darstellung der internen Stabilität durch die Lage der Pole in der linken und rechten s-Halbebene

In Verbindung mit logischen Operatoren (Logischer Operator) und Tabellen können auch gemischte LZI- und nichtlineare zeitunabhängige Systeme berechnet werden.

Es gibt verschiedene Definitionen und Begriffe der Stabilität:

Interne Stabilität

Ein Übertragungssystem ist intern stabil, wenn der Nenner der Übertragungsfunktion nur Pole in der linken s-Halbebene hat:

Bedingung: Wenn die Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems oder eines Regelkreises bekannt ist.

Externe Stabilität (BIBO-Stabilität)

Ein Übertragungssystem gilt als extern stabil, wenn ein beschränktes Eingangssignal an dem System auch ein beschränktes Ausgangssignal hervorruft. (Siehe BIBO-Stabilität)

Bedingung: Wenn die Hardware eines Übertragungssystems bzw. eines Regelkreises oder eines genauen Modells mit dem Eingangs- und Ausgangssignal vorliegt:

Beispiel für die Darstellung der externen Stabilität (BIBO-Stabilität) bei verschiedenen Systemen

Stabilität in Abhängigkeit der Kenngrößen der Regeleinrichtung

Dazu gibt es eine Vielzahl von mathematischen und grafischen Verfahren.

Bedeutung der Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems

Das Übertragungsverhalten eines Übertragungssystems im Frequenzbereich wie auch im Zeitbereich wird von den Koeffizienten und dem Grad der Übertragungsfunktion bestimmt. Die Produktdarstellung einer Übertragungsfunktion in nicht mehr aufspaltbare Grundsysteme F(s) erfordert die Bestimmung der Pole und Nullstellen des Zählerpolynoms (Polynom) und des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion.

Die Pole des Nennerpolynoms sind gleichzeitig die Lösung der Systems. Die Pole bestimmen unter anderem die Stabilität des Systems. Wegen der Wichtigkeit der Begriffe Pole und Nullstellen ist deren Verhalten in den folgenden Kapiteln dargestellt.

Die allgemeine Darstellung einer Übertragungsfunktion als eine rational gebrochene Funktion eines Übertragungssystems mit dem Ausgangssignal Xa(s) und dem Eingangssignal Xe(s) lautet:

$G(s) = \frac{X_a(s)}{Xe(s)}=\frac{b_0+b_1\cdot s+b_2\cdot s^2+b_3\cdot s^3\cdots +b_m\cdot s^m}{a_0+a_1\cdot s+a_1\cdot s^2+a_3\cdot s^3\cdots +a_n\cdot s^n}$

Das Übertragungsverhalten F(s) eines Übertragungssystems wird bestimmt von:

• der Struktur der Übertragungsfunktion, d. h. Grad des Zähler- und des Nennerpolynoms,
• den Koeffizienten der Polynome

Die Polynomdarstellung – im Gegensatz zur Produktdarstellung – der Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems ergibt sich:

• durch die Laplace-Transformation einer gewöhnlichen Differentialgleichung, die das Übertragungssystem beschreibt, oder
• wenn die Übertragungsfunktion eines offenen Regelkreises Go(s) in Produktdarstellung der Schließbedingung unterzogen wird mit

$G(s) = \frac{{G_O(s)}}{{1+G_O(s)}} \,$

Den Nenner der Übertragungsfunktion $G_N(s) = 1+G_O(s) = 0 \,$

bezeichnet man als „charakteristische Gleichung“ oder auch als „charakteristisches Polynom“. Das charakteristische Polynom ist identisch mit dem Nennerpolynom des geschlossenen Regelkreises.

Die Kenntnis der Nullstellen eines Polynoms ist sehr wichtig für die Überführung des Polynoms in die Produktdarstellung und für die Beurteilung der Stabilität eines Übertragungssystems wie folgt:

• Definition Nullstellen und Pole

Bei der Übertragungsfunktion als eine rational gebrochene Funktion werden die Nullstellen eines Zählerpolynoms, die die Gleichung zu Null machen, mit Nullstellen s0n bezeichnet. Die Nullstellen des Nennerpolynoms, welche die Gleichung zu Null machen, bezeichnet man mit Polen sn. Bei der Betrachtung des offenen zum geschlossenen Kreis werden die Pole mit Wurzeln swn bezeichnet.

• Die Bestimmung der Pole und Nullstellen der Polynome einer Übertragungsfunktion erlaubt die Produktdarstellung.

$G(s) = \frac {{(s-sn_1)(s-sn_2)(s-sn_3)...}} {{[(s-s_1)(s-s_2)(s-s_3)...}}$

• Die Pole der charakteristischen Gleichung sind gleichzeitig die Lösung der Systems.

Beispiel:

Die Normalform der Produktdarstellung wird so umgeformt, dass der Faktor vor dem Laplace-Operator s verschwindet:

$G(s) = \frac 1{{(0,2\cdot s+1)\cdot (0,4\cdot s+1)}} = \frac {12,5}{(s+5)\cdot (s+2,5)} \,$

Pole: s₁ = - 5; s₂ = - 2,5;

Laplace-Rücktransformation: $g(t) = \frac {12,5 \cdot (e^{-2,5\cdot t} - e^{-5\cdot t})}{5-2,5}\qquad \,$ (Impulsantwort)

• Die Pole einer Übertragungsfunktion – im Gegensatz zu den Nullstellen – treten im Zeitbereich nur im Exponenten der e-Funktionen auf.

• Die Nullstellen einer Übertragungsfunktion beeinflussen nicht die Stabilität des Systems und nicht die Geschwindigkeit der Systembewegung. Sie haben aber einen erheblichen Einfluss auf die Amplitude der Systemantwort.

• Für den geschlossenen Regelkreis muss die Übertragungsfunktion aus Stabilitätsgründen immer einen Pol mehr aufweisen, als Nullstellen vorhanden sind.

• Für die Bestimmung der Pole und Nullstellen von Polynomen kann man sich fertiger Rechenprogramme für Polynome bis 4.Ordnung bedienen. Derartige Programme findet man auch im Internet unter dem Suchbegriff „Nullstellen von Polynomen“.

Bedeutung der Pole und Nullstellen für die Stabilität des Regelkreises

• Nur negative Pole eines Übertragungssystems bedeuten, dass das System stabil ist. 1 Pol im Ursprung (s=0) bedeutet Grenzstabilität. 2 Pole im Ursprung (s1=0; s2 = 0) bedeutet Instabilität.
• Liegt ein negativer Pol einer Übertragungsfunktion nahe am Ursprung (Imaginäre Achse) und weit von den Nullstellen entfernt, so ist sein Einfluss groß. Ein kleiner Wert des Betrages des Pols bedeutet eine große Zeitkonstante.
• Liegt ein negativer Pol einer Übertragungsfunktion in der Nähe oder direkt auf einer negativen Nullstelle, so heben sie sich in ihrer Wirkung weitgehend auf. (Pol- Nullstellenkompensation).
• Als Polpaare bezeichnet man die konjugiert komplexen Pole eines Schwingungssystems 2.Ordnung (PT2-Glied), die einen realen und imaginären Anteil enthalten. Sie entstehen natürlich in speichernden technischen Systemen durch Energieaustausch (z. B. Feder-Massesystem) einer Regelstrecke oder durch reale Pole innerhalb eines offenen Regelkreises, der mit einer bestimmten kritischen Kreisverstärkung K geschlossen wird. Weitere zusätzliche Pole, die in der linken s-Halbebene links von den Polen s1 und s2 entfernt liegen, haben wenig Einfluss.
• Polpaare mit negativem Realteil und Imaginärteil verursachen im Zeitbereich einen gedämpften oszillierenden Signalverlauf
• Polpaare mit verschwindendem kleinen Imaginärteil gegenüber dem negativem Realteil verursachen im Zeitbereich einen aperiodischen Signalverlauf
• Polpaare mit verschwindendem kleinem Realteil gegenüber dem Imaginärteil verursachen im Zeitbereich einen rein sinusförmig schwingenden Signalverlauf
• Pole oder Polpaare mit positivem Realteil verursachen im Zeitbereich Instabilität durch monoton zunehmenden Signalverlauf bzw. zunehmend schwingende Signalamplitude
• Instabile Pole in der rechten s-Halbebene im offenen Regelkreis dürfen nicht durch positive Nullstellen kompensiert werden, anderenfalls entsteht Instabilität.
• Pol-Nullstellenkompensation

Ist das mathematische Modell der Regelstrecke bekannt, d. h. die Übertragungsfunktion der Regelstrecke ist bekannt, können sämtliche Verzögerungsglieder

$Gs(s) = \frac 1{{T\cdot s+1}} \,$ der Strecke durch PD-Glieder

$Gr(s) = Tv\cdot s+1 \,$ des Reglers kompensiert werden, wenn die Zeitkonstanten identisch sind.

Die Richtigkeit dieser Darstellung ergibt sich für die Betrachtung im Frequenzbereich durch Anwendung des Bode-Diagramms oder im Zeitbereich durch Anwendung der inversen Laplace-Transformation mit einem definierten Eingangs-Testsignal.

Die Pol- Nullstellenkompensation bei Übertragungssystemen mit Signalbegrenzungen verzerren und verzögern das Übergangsverhalten der Regelgröße y(t).

Einfluss nichtlinearer Übertragungssysteme auf den geschlossenen Regelkreis

Nichtlineare Übertragungssysteme wie Totzeitglieder, Signalbegrenzungen und Systeme mit nichtlinearer Kennlinie können nicht durch lineare gewöhnliche Differentialgleichungen (Gewöhnliche Differentialgleichung) beschrieben werden. Deshalb können sie auch nicht wie LZI-Systeme behandelt werden. Je nach Größe bzw. Einfluss dieser Systeme kann die Regelgröße y(t) erheblich von einem gewünschten Verhalten abweichen, wenn diese Einflüsse nicht berücksichtigt werden. Möchte man für einen einschleifigen Regelkreis mit nichtlinearen Systemen den geschlossenen Verlauf der Regelgröße y(t) als Funktion der Führungsgröße oder Störgröße über die ganze Einschwingzeit betrachten, dann eignet sich dafür die Anwendung von numerischen zeitdiskreten Verfahren mit Hilfe im Handel verfügbarer Rechenprogramme oder mit eigenen Programmen durch Benutzung von Differenzengleichungen. Dies gilt auch für die Berechnung von Kombinationen von LZI-Systemen mit logischen Operatoren für die Behandlung der nichtlinearen Systeme.

• Totzeitsysteme

können mit der Übertragungsfunktion nur im Frequenzbereich behandelt werden.

Die sogenannte transzendente Übertragungsfunktion

$G_{Tt} = e^{-Tt\cdot s} \,$

eignet sich nur für z. B. grafische Stabilitätsverfahren wie das Bode-Diagramm oder die Ortskurve des Frequenzgangs.

• Signalbegrenzung der Stellgröße

Sie ist die häufigste nichtlineare Form von Übertragungssystemen und positioniert sich meist in der Schnittstelle des Stellgliedes zwischen Regler-Ausgang und Regelstrecken-Eingang. Wie im Artikel Regler #PID-Regler bereits dargestellt, verhalten sich die klassischen Regler der analogen Bauweise durch Operationsverstärker völlig anders als digitale Regler nach dem zeitdiskreten Verfahren.

Typische Begrenzung der Analogregler:

Operationsverstärker z. B. mit einer Versorgungsspannung von ± 15 V betrieben, werden häufig im aktiven Arbeitsbereich von ± 10 V betrieben. Ein 100 % -Signal von 10 V kommt bereits bei 13 V in die Begrenzung.

Weiterer Nachteil: Ein PD- oder PID-Regler benötigt eine sogenannte parasitäre RC-Zeitkonstante, weil beim Differenzieren nur eine begrenzte Energie am Operationsverstärker-Ausgang mit der Standard-RC-Beschaltung zur Verfügung steht.

Eine typische parasitäre Zeitkonstante beträgt Tpar = 0,1 * Tv beträgt.

Numerische digitale Regler haben kein Problem mit großen Amplituden, weil nur Zahlenwerte berechnet werden. Für die Realisierung der gerätetechnischen Einrichtung der Stellgröße gilt wie für alle Regler, wenn Signalbegrenzungen auftreten, ist die Übertragungsfunktion des Regelkreises ungültig.

Sprungantwort eines Regelkreis mit PID-Regler und Wind-Up-Korrektur

• Wind-Up-Effekt

Der Wind–Up-Effekt bezieht sich auf Regler mit PI- oder PID-Verhalten. Die Stellgröße u, die auch im Eingang der Regelstrecke liegen kann, ist begrenzt (siehe Regelstrecke #Nichtlineare Regelstrecken), aber der zugehörige I-Anteil des Reglers kann noch höhere Werte annehmen. Verringert sich die Stellgröße während des Regelvorgangs unterhalb der Begrenzung, hat der I-Anteil einen zu hohen Wert angenommen, der z. B. bei einer Überschwingung der Regelgröße verspätet abgebaut wird. Die Regelgröße erreicht verspätet den Wert des Sollwertes.

Dieser Effekt tritt bei allen Reglern mit I-Verhalten auf.

Abhilfe geschieht durch die Wind-Up-Korrektur durch Absperrung des I-Gliedes, wenn die Stellgröße in die Begrenzung geht. Dies bedeutet, der Ausgang des I-Gliedes kann sich nur ändern, wenn die Stellgröße wieder innerhalb eines linearen Arbeitsbereiches wirkt.

Diese Wind-Up-Korrektur gilt nur für Regler in Parallelstruktur. In der Produktdarstellung eines z. B. PID-Reglers arbeiten die PD-Glieder nicht, wenn das I-Glied abgesperrt ist.

Die bessere Entwurfsstrategie des PID-Reglers mit Stellgrößenbegrenzung in der Produktdarstellung ist:

• Reihenfolge der Systeme des Reglers: I-Glied – PD-Glied 1 – PD-Glied 2 – Stellgrößenbegrenzung: damit kleinere Zahlenwerte entstehen
• Bei Begrenzungen ist die Pol-Nullstellenkompensation nur ein Anhaltspunkt, Vorhaltezeit Tv gegenüber dominanter Zeitkonstante T erhöhen
• Kreisverstärkung evtl. halbieren

Es ist aber einfacher, die Dimensionierung des Regelkreises durch einen Regler in Produktdarstellung vorzunehmen und die Parameter des Reglers in Paralleldarstellung umzurechnen und zu realisieren.

PID-Regler in Produktdarstellung:

$G_{PID-PRO}(s) = \frac {K_R\cdot (Tv1\cdot s+1)\cdot (Tv2\cdot s+1)}{s}$

PID-Regler in Paralledarstellung:

$G_{PID-PAR}(s) = \frac {K_{PID}\cdot (Tv\cdot Tn\cdot s^2+Tn\cdot s+1)}{Tn\cdot s}$

Umrechnung des PID-Reglers von der Produktdarstellung in die Paralleldarstellung:

$Tn = Tv1 + Tv2; \qquad Tv = \frac {Tv1\cdot Tv2}{Tv1 + Tv2} \qquad K_{PID} = Kr \cdot Tn$

• Zeitunabhängige Systeme mit nichtlinearer Kennlinie

In der Regel wird Linearität in einem bestimmten Bereich um den Arbeitspunkt eines nichtlinearen Systems vorausgesetzt. Muss ein nichtlineares System in einem weiten Kennlinienbereich berücksichtigt werden, können Systeme mit nichtlinearer Kennlinie, wie in Artikel Regelstrecke beschrieben, durch spezielle mathematisch aufwendige Verfahren behandelt werden.

Bei Kombinationen von gemischten linearen und nichtlinearen Systemen wird aus Gründen der Einfachheit nur die Simulation des Regelkreises mittels numerischer zeitdiskretisierter Verfahren empfohlen. Der so bestimmte Regler wird als programmierbarer digitaler Regler ausgeführt.

Kurzbeschreibung bekannter grafischer Stabilitätsverfahren

Stabilitätsbedingung mit der Ortskurve des Frequenzgangs

Die Frequenzganggleichung (Frequenzgang) des offenen Kreises wird nach Realteil und Imaginärteil aufgelöst und in ein Koordinatensystem eingetragen. Die senkrechte Achse zeigt die Daten der Imaginärteile, die waagerechten Achse die Realteile. Nach Nyquist lautet die Stabilitätsbedingung:

Wird beim Durchlaufen der Ortskurve des offenen Regelkreises Fo(jω) in Richtung steigender Werte von ω der kritische Punkt (-1; j0) auf der linken (negativen) Seite der Achse der Realteile nicht umschlungen bzw. berührt, ist der geschlossene Regelkreis stabil. Aus praktischen Erwägungen sollte der kritische Punkt (-1,j0) auf (-0,5;j0) verlegt werden, um eine gewisse Stabilitätsreserve zu erzielen.

Stabilitätsbedingung im Bode-Diagramm mit dem vereinfachten Stabilitätskriterium von Nyquist

Im Gegensatz zur Ortskurve des Frequenzgangs werden beim Bode-Diagramm Betrag und Phasenwinkel in 2 getrennten Diagrammen aufgetragen, als Amplitudengang und Phasengang. Das Bode-Diagramm hat einen logarithmischen Maßstab. Beim Amplitudengang ist der Betrag F(jω) auf der Ordinate, die Kreisfrequenz ω auf der Abszisse aufgetragen. Beim Phasengang ist der Phasenwinkel (linear) auf der Ordinate, die Kreisfrequenz ω auf der Abszisse (logarithmisch) aufgetragen.

Die Vorteile dieses Verfahrens sind das unmittelbare Einzeichnen der Asymtoten als Geraden des Amplitudengangs, die bequeme Multiplikation durch logarithmische Addition, das direkte Ablesen der Zeitkonstanten und das schnelle Erkennen der Stabilität des geschlossenen Regelkreises. Bei regulären Systemen ist der Phasengang aus dem Amplitudengang berechenbar und muss nicht unbedingt gezeichnet werden.

Das Stabilitätskriterium ist aus dem Stabilitätskriterium von Nyquist abgeleitet:

Ein geschlossener Regelkreis ist stabil, wenn die nacheilende Phasenverschiebung vom Ausgangs- zum Eingangssignal des offenen Kreises bei der Verstärkung = 1 nicht weniger als −180° beträgt. Die Dämpfung des geschlossenen Kreises wird umso günstiger, je größer der Phasenabstand zu der −180° -Linie beträgt. Diesen Abstand, der oberhalb der – 180°-Linie liegt, nennt man Phasenrand und sollte bei etwa 50° ±10° liegen.

Stabilität mit der Wurzelortskurve

Begriffsklärung: Bei der Betrachtung des offenen zum geschlossenen Regelkreises werden die Nullstellen des Nenners der rational gebrochenen Funktion anstatt mit Polen mit Wurzeln bezeichnet.

Die Wurzelortskurve (siehe auch Wurzelortskurvenverfahren) ist eine grafische Darstellung der Lage der Pol- und Nullstellen der komplexen Führungs-Übertragungsfunktion Fo(s) eines offenen Regelkreises. In Abhängigkeit eines Parameters, meist die Kreisverstärkung des offenen Regelkreises, lässt sich durch die Wurzelortskurve auf die Lage der Pole des geschlossenen Regelkreises schließen. Das dynamische Verhalten des geschlossen Regelkreises ist von der Polverteilung abhängig, die wieder von der Wahl der Parameter des Reglers bestimmt wird.

Die graphische Darstellung erfolgt in der s-Ebene (s = Ϭ + j*ω), der Realteil Ϭ wird auf der Abszisse, der imaginäre Teil j*ω auf der Ordinate aufgetragen. Für die relativ aufwendige Konstruktion der Wurzelortskurve gibt es mehrere Regeln. Wenn alle Pole und Nullstellen in der linken Halbebene liegen (-)Ϭ, ist der geschlossene Regelkreis stabil. Befinden sich ein Pol oder mehrere Pole in der rechten Halbebene (+) Ϭ, ist das System instabil. Das Wurzelortsverfahren lässt sich nicht auf Systeme mit Totzeiten anwenden.

Hurwitz-Kriterium

Die Stabilitätsprüfung wurde von Routh und Hurwitz entwickelt, ist aber durch Hurwitz (Hurwitz-Kriterium) bekannt geworden. Es genügt für die Untersuchung der Stabilität die Kenntnis der homogenen Differentialgleichung oder die charakteristische Differentialgleichung. Die charakteristische Differentialgleichung ist identisch mit dem gleich Null gesetzten Nennerpolynom der Führungsübertragungsfunktion G(s) oder der Störübertragungsfunktion Gz(s):

$a_n\cdot s^n +.....+a_3\cdot s^3+a_2\cdot s^2+a_1\cdot s+a_0 = 0 \,$

Bedingungen für das Stabilitätskriterium:

• Die Übertragungsfunktion des geschlossenen Kreises G(s) muss bekannt sein
• Das Stabilitätskriterium liefert Aussagen über die Stabilität des geschlossenen Kreis auch ohne explizite Berechnung der Polstellen
• Für die Stabilität des Systems ist erforderlich, dass alle Koeffizienten a vorhanden sein müssen und ein gleiches Vorzeichen haben.
• Die „Hurwitz“-Determinanten Di müssen alle > 0 sein
• Ein Totzeitglied im Regelkreis kann nicht behandelt werden

Regelung im Zustandsraum

Die durch Umwandlung von Differentialgleichungen n-ter Ordnung in n-gekoppelte Differentialgleichungen 1. Ordnung umgewandelten Variablen werden Zustandsgrößen genannt. Je nach Höhe der Ordnung der Differentialgleichung werden alle Zustandsgrößen einem Zustandsregler zugeführt, der auf den Eingang des Zustandsraummodells wirkt (siehe Regelstrecke#Grundlagen der Regelstrecke im Zustandsraum) (Zustandsraumdarstellung).

Bewertung bekannter Stabilitätsverfahren für den Reglerentwurf

Für eine realistische Regelstrecke bestehend aus linearen zeitinvarianten Systemen in Verbindung mit Systemen, die sich nicht mit linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen (Gewöhnliche Differentialgleichung) beschreiben lassen, ergeben sich für die Parametrierung der Regler folgende Einschränkungen für die angegebenen Stabilitätsverfahren: Abkürzungen bzw. Bezeichnungen der Übertragungssysteme:

• LZI = Lineare zeitinvariante Systeme (Lineares zeitinvariantes System)
• LZV = Lineare zeitvariante Systeme
• Tt = Totzeitglied (Totzeit (Regelungstechnik))
• Begr = Begrenzung eines Signals
• NK = Nichtlineare Kennlinie (Nichtlineares System)
• MIMO = Mehrgrößensysteme, (MIMO: Multiple Input Multiple Output)

Stabilitätsverfahren für den Reglerentwurf	. LZI .	. LZV .	.. Tt ..	BEGR	.. NK..	MIMO	Bemerkungen
Stabilität nach Einstellanweisungen (Ziegler-Nichols und andere)	Ja	-	-	-	-	-	Für Grobeinstellung bedingt geeignet
Bode-Diagramm + Nyquist	Ja	-	Ja	-	-	-	Phasenrandempfehlung: ca. 50°
Ortskurve des Frequenzgangs	Ja	-	-	-	-	-	Kritischer Punkt: (-1; j0) Abstand
Hurwitz-Kriterium	Ja	-	-	-	-	-	Alle Koeffizienten a müssen vorhanden sein und ein gleiches Vorzeichen haben. Die „Hurwitz“-Determinanten Di müssen alle > 0 sein.
Verallgemeinertes Nyquist-Kriterium	Ja	-	Ja	-	-	-	Aus Übertragungsfunktion Go(s) wird bestimmt: np = Anzahl der Pole mit positivem Realteil, ni = Anzahl der Pole auf der imaginären Achse. Winkeländerung Δφstab = π (np + ni/2) = stabil.
Wurzelortsverfahren	Ja	-	-	-	-	-	Wurzelortskurve in linker s-Halbebene
Inverse Laplace-Transformation	Ja	-	-	-	-	-	Geschlossener Verlauf Xa(t), Aufwendige Berechnung bei Schwingverhalten
	-	-	-	-	-	-
Zustandsraum Zustandsstabilität	Ja	Ja	1)	Ja	Ja	Ja	Gute mathematische Kenntnisse erforderlich
Numerische zeitdiskrete Verfahren Käufliche Programme oder Differenzengleichungen	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja	Ja	Geschlossener Verlauf der Ausgangsgröße Xa(n*Δt) n = Schritt; Δt = Diskretisierte Zeit Systemparameter sind beliebig zu ändern

1) Gilt nur für zeitdiskrete Verfahren im Zustandsraum-Modell!

Reglerentwurf für lineare zeitinvariante Systeme

Die wichtigste Aufgabe des Reglers aus der Sicht des Führungsverhaltens ist die Regelgröße optimal – d. h. schnell und möglichst schwingungsfrei – auf das Niveau des Sollwertes zu bringen.

Liegt die Beschreibung der Regelstrecke als lineares zeitinvariantes Übertragungssystem Gs(s) in Produktdarstellung vor, kann relativ einfach ein geeigneter Regler G_R(s) bestimmt werden. Zur Vereinfachung des offenen Regelkreises

G_O(s) = G_S(s) * G_R(s) werden PT1-Glieder der Strecke gegen PD-Glieder des Reglers gekürzt (Pol- Nullstellenkompensation).

Mit Hilfe der Gleichung für das Schließen des Regelkreises G(s) = G_O(s) / (1+G_O(s)) ergibt sich die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises in Polynomdarstellung.

Dank der bekannten Ergebnisse der Systemanalyse von Übertragungssystemen lassen sich relativ einfach die Polynome der Übertragungsfunktionen von Regelstrecken oder Regelkreisen auf 3 faktorielle Grundformen mittels der Nullstellenverfahren (Bestimmung der Nullstellen von Polynomen) darstellen (Siehe Artikel Regelstrecke #Charakterisierung der Regelstrecken).

Eine dieser 3 Grundformen ist das PT2-Schwingungsglied, das immer bei regulären Systemen ab 2 PT1-Gliedern mit zunehmenden Kreisverstärkung des geschlossenen Regelkreises entsteht. Aus dem gewünschten Dämpfungsgrad D des Schwingungsgliedes kann die Kreisverstärkung K errechnet werden. Der Wert des Dämpfungsgrades D entscheidet, ob die Sprungantwort der Regelgröße aperiodisch (D > 1), gedämpft schwingend (D < 1) oder zunehmend schwingend (D < 0) verläuft.

Bei Regelstrecken mit nichtregulären Systemen (instabiles PT1-Glied) oder instabile Regelstrecken mit 2 I-Gliedern wird der geschlossene Regelkreis mit einem geeigneten Regler mit steigender Kreisverstärkung stabil.

Prinzipielle Methode der Parametrierung für eine LZI-Regelstrecke

• Die Übertragungsfunktion einer Regelstrecke kann als Polynom im Nenner und Zähler vorliegen. Sie kann in die Produktdarstellung überführt werden durch Berechnung der Pole und Nullstellen.
• Dominante PT1-Glieder der Regelstrecke können durch PD-Glieder des Reglers – soweit vorhanden – kompensiert werden, d. h. gleiche Zahlenwerte mit gleichem Vorzeichen der Pole und Nullstellen haben damit keine Wirkung mehr. Für die Stabilität des Regelkreises ist jeweils 1 Pol mehr erforderlich als Nullstellen innerhalb der Übertragungsfunktion vorhanden sind.
• Die Dynamik des Reglers muss auf das Verhalten der Regelgröße angepasst werden. Ist eine Regelabweichung zugunsten schnellerer Dynamik erlaubt, kann auf ein I-Glied des Reglers verzichtet werden.
• Damit der Regelkreis geschlossen werden kann, muss die Kreisverstärkung K bestimmt werden.

Bei fehlendem I-Glied im offenen Regelkreis ist zu prüfen, ob infolge der höheren Kreisverstärkung die Stellgröße y(t), die sehr hohe Werte annehmen kann, technisch realisiert werden kann. Wenn nicht, gilt die Übertragungsfunktion des offenen und des geschlossenen Regelkreises nicht für das Großsignalverhalten. Für diesen Fall ist das Übergangsverhalten der Regelgröße nach einer Eingangssignal-Änderung verzerrt und verlangsamt.

• Mit der Schließbedingung des Regelkreises G(s) = G_O(s) / (1+G_O(s)) kann ein geschätzter Wert für K eingesetzt werden. Damit entsteht ein Nennerpolynom höheren Grades, entsprechend der Anzahl der Pole des offenen Regelkreises. Der Unterschied zum offenen Regelkreis besteht darin, dass das Nennerpolynom des geschlossenen Regelkreises ab einer bestimmten Kreisverstärkung TP2-Schwingungsglieder der Normalform

$G(s) = \frac 1{T^2\cdot s^2 + 2\cdot D\cdot T\cdot s + 1}$

enthält. Durch Einsetzen von verschiedenen Werten der Kreisverstärkung K kann der gewünschte Dämpfungsgrad D bestimmt werden.

Weitere evtl. vorhandene, von dem Polpaar des Schwingungsgliedes entfernte Pole im s-Diagramm haben wenig Einfluss auf den Signalverlauf der Regelgröße f(t). Evtl. vorhandene Nullstellen haben nur Einfluss auf die Amplitude des Schwingungsgliedes.

Sprungantwort eines Regelkreises mit instabiler Regelstrecke mit 2 I-Gliedern. Siehe Tabelle Typ 4!

Tabelle der Übertragungsfunktionen des offenen und geschlossenen Regelkreises

Die nachstehend aufgeführte Tabelle mit der Spalte „Offener Regelkreis“ bezieht sich auf das Produkt der Übertragungsfunktionen Regelstrecke und Regler Go(s) = Gs(s) * Gr(s) des offenen Regelkreises, bei dem bereits eine Pole- Nullstellenkompensation vorgenommen worden ist und dominante PT1-Glieder kompensiert wurden.

Aus dem Artikel Regler #PID-Regler kann man entnehmen, dass z. B. ein PID-Regler in Produktdarstellung aus 2 PD-Gliedern und einem I-Glied besteht. Für die Parametrierung des Reglers ist die Produktdarstellung vorzuziehen, weil die Reglerparameter aus der Übertragungsfunktion direkt ablesbar sind. Der Übersichtlichkeit halber sind alle Faktoren der einzelnen Übertragungselemente in der Kreisverstärkung K zusammengefasst.

Die in der Spalte der Übertragungsfunktionen des offenen Regelkreises aufgeführten Beispiele gelten für viele Anwendungen. Sind die Parameter der Strecke bekannt, kann durch Einsetzen von K die Dämpfung des geschlossenen Regelkreises berechnet werden. Weniger routinierte Anwender ersparen sich die Umrechnungsarbeit.

Typ	Offener Regelkreis Go(s) = (mit Pole-Nullstellenkompensation)	Geschlossener Regelkreis G(s) =	Kennwerte geschlossener Regelkreis
1	PT1-Glied + I-Glied: $\frac K{s\cdot (T\cdot s+1)}$ Pole: s1 = 0; s2 < 0	$\frac 1{\frac T{K}\cdot s^2+\frac 1{K}\cdot s+1}$ Polynom: $a_2\cdot s^2+a_1 \cdot s+1 = 0 \,$	$D = \frac {a_1}{2\cdot \sqrt {a_2}}= \frac {0,5}{\sqrt {K\cdot T}} \qquad Te = \frac{2\cdot T\cdot \pi}{\sqrt{1-D^2}}$ D = Dämpfungsgrad, Te = Periodendauer der gedämpften Schwingung
2	2 PT1-Glieder: $\frac K{(T1\cdot s+1)(T2\cdot s+1)}$ Pole: s1<0; s2<0	$\frac K{(K+1)(a_2\cdot s^2+a_1\cdot s+1)}$ Koeffizienten: a2 = T1 * T2 / (K+1); a1 = (T1+T2) / (K+1)	$D=\frac {a_1}{2\cdot \sqrt {a_2}}= \frac {0,5\cdot (T1+T2)}{\sqrt {T1\cdot T2\cdot (K+1)}} \qquad$ Für K--> 0 = D > 1; Für K --> ∞ = D > 0
3	2 PT1-Glieder + I-Glied: $\frac K{s\cdot (T1\cdot s+1)(T2\cdot s+1)}$ Pole: s1 = 0; s2 < 0; s3 < 0	$\frac 1{a_3\cdot s^3+a_2\cdot s^2+a_1\cdot s+1}$ Koeffizienten: a3 = T1 * T2 / K; a2 = (T1+T2) / K; a = 1 / K	Wenn Zahlenwerte vorliegen, kann das Polynom gelöst werden. Wenn keine konjugiert komplexen Pole auftreten: $G(s) = \frac 1{(s-s_3)(s-s_2)(s-s_1)}$ Bei einem konjugiert komplexen Polpaar: $s_{2;3} = -\sigma \pm j\cdot \omega$ Rückführung s2;3 in das Polynom: x²+ p*x + q = 0 p = 2 * | REAL |; q = (REAL)² + (IMAG)²
4	2 I-Glieder + PD-Glied: $\frac{K*(T_v*s+1)}{s^2}$ Pole: s1 = 0; s2 = 0	$\frac {T_v\cdot s+1}{\frac 1{K}\cdot s^2+T_v\cdot s+1}$	$D = \frac {T_v}{2\cdot \sqrt {\frac 1{K}}} \qquad K_{GRENZ} = \frac {4\cdot D^2}{T_v^2}$ Damit keine konjugiert komplexen Pole entstehen, muss K >> Kgrenz sein!
5	Instab. PT1-Glied + I-Glied + PD-Glied: $\frac{K\cdot (T_v\cdot s+1)}{s\cdot (T\cdot s-1)}$ Pole: s1 = 0; s2 > 0; Positive Pole dürfen nicht kompensiert werden!	$\frac {T_v\cdot s+1}{\frac {T_1}{K}\cdot s^2+(T_v-\frac 1{K})\cdot s+1}$	Ein Instabiles PT1-Glied kann nur mit einem PI-Regler geregelt werden. Mit steigender Verstärkung wird der Regelkreis stabiler mit aperiodischem Verhalten! Bedingung: (Tv - 1 / K) > 0; Empfehlung: (Tv - 1 / K) >> 0

Entwurf eines Reglers durch Polzuweisung in der s-Ebene

Das nachfolgend beschriebene Entwurfsverfahren besteht darin, dass Pole und Nullstellen einer Übertragungsfunktion eines geschlossenen Regelkreises in bestimmte Bereiche des Pol-Nullstellen-Diagramms (siehe auch Polvorgabe im Zustandsraum) zugewiesen werden, um bestimmte Güteanforderungen festzulegen. Dabei wird vorausgesetzt, dass ein dominantes Schwingungsglied (PT2-Glied) vorliegt, evtl. vorhandene zusätzliche Pole weit genug vom dominanten Polpaar entfernt in der linken s-Halbebene liegen und deshalb wenig Einfluss haben.

Aufgabe eines Reglers ist nun, die zugewiesene Lage der Pole zu erfüllen.

Es wird davon ausgegangen, es handelt sich im Idealfall um die Führungsübertragungsfunktion 2.Ordnung mit konjugiert komplexen (Komplexe Zahl) Polen. Die allgemeine Darstellung der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises als PT2-Glied lautet:

$G(s) = \frac 1{T_2\cdot s^2 + T_1\cdot s +1}$; mit T1 = 2*D*T und T2 = T²

Der Dämpfungsgrad (Dämpfung) D lautet:

$D = \frac {T_1}{2\cdot \sqrt{T_2}}$

Die Überschwingzeit Tm ist definiert als die Zeit vom Start des Eingangssprungs w(t) bis zum Scheitelwert der ersten Halbwelle der Überschwingung der Regelgröße y. Tm ist damit ein Maß für die Schnelligkeit der Regelung.

$T_m = \frac {\pi\cdot \sqrt{T_2}}{\sqrt{1-D^2}}$

Darstellung der zulässigen Lage der konjugiert komplexen Pole eines geschlossenen Regelkreises für gegebene Dämpfungsgrade

Zur Bestimmung der Pole

$s_{1;2} = - \sigma \pm j\cdot \omega \,$

wird das Nennerpolynom der Übertragungsfunktion umgeformt:

$Polynom = s^2 + \frac {T_1}{T_2}\cdot s +\frac 1{T_2} \qquad = s^2 +p\cdot s +q = 0$

$Pole: \quad s_{1;2} = - \frac p2 \pm j\cdot \sqrt {\frac {p^2}{4} -q}$

Die Größen -Ϭ, ± j * ω und D haben folgende Einflüsse auf das Schwingungsverhalten der Regelgröße:

• Dämpfungsgrad D

D bestimmt die Höhe der Überschwingweite ü einer Sprungantwort. Die Überschwingweite ü ist definiert als Größe des Scheitelwertes der 1. Schwingamplitude zum stationären Wert der Regelgröße y(t)

$\ddot u = \frac {e^{-\pi\cdot D}}{\sqrt{1-D^2}}$

• Realteil Ϭ des Polpaares

Die Lage des Realteils Ϭ des Polpaares in der linken negativen s-Halbebene hat keinen Einfluss auf die Schwingfrequenz, bestimmt aber die Dämpfung der Regelgröße y(t).

Mit steigendem Betrag des Realteils bei konstantem Imaginärteil erhöht sich der Wert der Dämpfung D, vermindert sich die Überschwingung ü und damit die Überschwingamplitude. Die Schwingfrequenz bleibt konstant. Deshalb ist auch die Überschwingzeit Tm ungefähr konstant.

• Imaginärteil j * ω des Polpaares

Die Größe des Betrages des Imaginärteils bei konstantem Betrag des Realteils bestimmt die Größe der Amplituden der Überschwingungen und damit die Überschwingweite ü.

Mit steigendem Imaginärteil und konstantem Realteil des Polpaares verkleinert (verschlechtert) sich der Wert der Dämpfung D, vergrößert sich die Überschwingweite ü und verkleinert sich die Überschwingzeit Tm.

Bei konstantem Betrag des Imaginärteils und änderndem Realteil ist die Schwingfrequenz konstant bei unterschiedlichen Amplituden.

Mit cos φ = D und φ = arccos D

kann ein Winkelbereich in der linken s-Halbebene festgelegt werden, der eine konstante Dämpfung D für den Betrag des Imaginäteils vorgibt. Für D = 0,707 beträgt φ = 45°

Mit steigender Größe des Betrages des Realteils auf der realen Achse und des Imaginärteils entlang des Winkelstrahls φ wird die Regelung schneller bei konstanter Dämpfung. Die Ursache ist darin begründet, dass große Realteile der Polpaare kleine Zeitkonstanten bedeuten.

Sind die Absolutbeträge Ϭ und j*ω gleich, dann beträgt die Dämpfung D immer 1 / WURZEL(2) = 0,707. Dies bedeutet eine Überschwingweite ü von ca. 5 %.

Bei Polpaaren mit dem Verhältnis der Absolutbeträge Ϭ = X und j*ω = 1,73 * X beträgt der Dämpfungsgrad D = 0,5. Dies bedeutet eine Überschwingweite ü = 16 %

Sprungantwort der Regelgröße durch Parametrierung des Reglers durch Polzuweisung für einen zugelassenen Dämpfungsbereich

Strategie der Polzuweisung für einen gegebenen offenen Regelkreis:

Ausgangssituation: Es liegt eine Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises vor und die Anzahl der verfügbaren PD-Glieder (Nullstellen) des Reglers für die Pol- Nullstellenkompensation sind verbraucht. Die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises 2. oder höherer Ordnung (mit I-Anteil) ist gegeben. Der geschlossene Regelkreis soll bezüglich des Führungsverhaltens optimal schnell und überschwingungsarm regeln. Weil in diesem Fall nur der Parameter der Kreisverstärkung K zur Verfügung steht, ist es Ermessensache, ob man einer guten Dämpfung D oder einer kurzen Überschwingzeit Tm den Vorrang gibt.

• In der linken s-Halbebene senkrecht zur realen Achse kann ein Wert Ϭ eingetragen werden, der eine Mindest-Systemgeschwindigkeit repräsentiert. Dieser Absolutwert für Ϭ ist abhängig von der Größe der Zeitkonstanten der PT1-Glieder des offenen Regelkreises. Der Betrag dieses Wertes sollte nicht unterschritten werden. Für einen gegebenen offenen Regelkreis und einen gegebenen Dämpfungsbereich ist der Spielraum für eine Mindestsystemgeschwindigkeit gering. Parameter ist nur die Kreisverstärkung K.
• In der linken s-Halbebene werden symmetrisch zur realen Achse 2 Winkelstrahlen ± φ für die gewünschte Dämpfung eingetragen. Es empfiehlt sich ein Winkelbereich z. B. für einen unteren und oberen Dämpfungswert D festzulegen, also 4 Winkelstrahlen.
• Der offene Regelkreis wird mit dem Parameter der Kreisverstärkung K der Schließbedingung unterzogen. Für verschiedene Werte von K werden die Pole bestimmt. Dazu bedient man sich am einfachsten mit einem Rechenprogramm zur Ermittlung von Nullstellen aus Polynomen.

Für die Pole, deren Imaginär-Anteile ±j*ω innerhalb des zulässigen oberen und unteren Winkelbereichs konstanter Dämpfung liegen, kann die zugehörige Kreisverstärkung gewählt und festgelegt werden.

Fazit: Der Reglerentwurf mit Hilfe der Polzuweisung ist eine sehr interessante Methode. Die leider etwas aufwendige Bestimmung der Pole bei Polynomen 3. und 4. Ordnung kann bei Anwendung eines Rechners erheblich vereinfacht werden. Wenn aber ein Rechner zur Verfügung steht, dann kann bei Anwendung von Simulationen mit digitalen zeitdiskreten Rechenprogrammen erheblich einfacher der geschlossene Verlauf der Regelgröße y in Abhängigkeit eines Test-Eingangssignal berechnet und graphisch dargestellt werden.

Reglerentwurf mit der inversen Laplace Transformation

Ist die Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems gegeben, kann mittels der inversen Laplace-Transformation mit einem definierten Eingangs-Testsignal der Verlauf der der Ausgangsgröße bzw. die Regelgröße errechnet werden. Dabei bedient man sich einer Transformationstafel, welche für eine gegebene Übertragungsfunktion

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}$

die zugehörige Spalte f(t) die Gleichung im Zeitbereich wiedergibt.

Ist bei der Übertragungsfunktion G(s) das transformierte Eingangssignal Xe(s) nicht berücksichtigt,

Xa(s) = G(s) * Xe(s) bzw. Y(s) = G(s) * W(s)

ergibt sich für die Rücktransformation f(t) immer die Impulsantwort des Übertragungssystems. Dies erklärt sich dadurch, dass der transformierte Delta-Impuls Xe(s) = 1 ist.

Üblich ist der Einsatz von transformierten Testsignalen (Regelstrecke #Testsignale) der

• Sprungfunktion $X_e\sigma(s) = {\frac 1s}$; mit dem Einheitssprung 1 und der

• Anstiegsfunktion: $X_{ea}(s) = \frac c{s^2} ;$ $\qquad$ $\qquad$ Gradient: $c = \frac {\Delta \,x_{ea}(t)}{\Delta\, t}$

Fazit: Die Anwendung gilt nur für lineare zeitinvariante Systeme und fordert bei gedämpft schwingenden Systemen viel Rechenarbeit.

Reglerentwurf mittels Einstellregeln (Heuristische Verfahren)

Die von Ziegler-Nichols bereits in den 1940-ger Jahren experimentell durchgeführten Einstellregeln beziehen sich auf die Sprungantwort einer Regelstrecke und definieren sie durch Anlegen einer Tangente am Wendepunkt als Strecke mit einem PT1-Glied und einem Totzeitglied. 1952 wurden von Chiem, Hrones und Reswick die Einstellregeln (Faustformelverfahren (Automatisierungstechnik)) erweitert für aperiodisches Verhalten der Sprungantworten der Regelgröße und für gedämpft schwingendes Verhalten mit 20 % Überschwingungen. Zusätzlich erfolgt für beide Gruppen noch die Aufteilung in Führungsverhalten und Störverhalten. Diese Einstellregeln werden gelegentlich auch mit Faustformeln bezeichnet.

Die als Ersatzregelstrecke definierte PT1Tt-Modell-Regelstrecke

$Gs(s) = \frac {Ks \cdot e^{-Tt\cdot s}}{(T\cdot s+1)}$

eignet sich je nach Art und Ordnung der Originalregelstrecke nur bedingt mit den vorgegebenen Einstelldaten für die Parametrierung. Als Modell-Regelstrecke für eine Optimierung eines Regelkreises ist sie zu ungenau.

Ferner eignet sich diese PT1Tt-Modell-Regelstrecke nicht für LZI-Systeme mit einer Totzeit.

Siehe Verhalten eines Regelkreises mit einem parametrierten Regler nach Einstellregeln laut grafischer Darstellung im Kapitel „Reglerentwurf für eine Modellregelstrecke mit Totzeit“

Reglerentwurf für eine Modellregelstrecke mit Totzeit und Totzeitregelstrecken

Sprungantworten eines Regelkreises mit 2 unterschiedlichen Totzeit-Regelstrecken

Totzeitglied in der Regelstrecke Seit der Kenntnis der sogenannten heuristischen Regler-Einstellverfahren wie z. B. die von Ziegler-Nichols existiert der Begriff der „Regelbarkeit“ einer (ungenauen) Ersatzregelstrecke mit dem Verhältnis Anstiegszeit zu Ersatztotzeit. Dabei wird die „Regelbarkeit“ diese Ersatzregelstrecke mit steigender Ersatztotzeit im Verhältnis zur Anstiegszeit als schwierig dargestellt. Tatsächlich ist die Regelung einer Regelstrecke mit großem Totzeitanteil genau so einfach zu regeln wie bei kleinem Totzeitanteil, jedoch ist die Dynamik des Regelkreises mit steigender Totzeit ungünstig. Abhilfe sind Regler mit Spezialstrukturen wie z. B. das Verfahren des Smith-Prädiktors.

Enthält die Regelstrecke neben PT1-Gliedern eine im Verhältnis zu einer dominanten Zeitkonstante T eine nennenswerte Totzeit Tt, ist ein I-Glied innerhalb des Regelkreises notwendig. Eine aus reiner Totzeit bestehende Regelstrecke kann nur – abgesehen von Spezialreglern – durch einen I-Regler geregelt werden.

Die Regelung einer Regelstrecke mit reiner Totzeit mit einem I-Regler weist eine Besonderheit auf, dass die Kreisverstärkung

K = k1 / Tt; mit k1 = beliebiger Faktor = f(D)

für alle Totzeiten Tt die gleiche Dämpfung hat. Wählt man K = 0,5 / Tt beträgt die Überschwingung ca. ü = 4 %, was einer Dämpfung von ca. D = 0,7 entspricht.

Es liegt nahe, diese Beziehung für Regelstrecken mit PT1- und Totzeit-Systemen zu nutzen, in dem die Regelstrecke durch ein Modell mit Ttv = Ersatztotzeit und 2 PT1-Glieder mit gleichen Zeitkonstanten

Sprungantworten eines Regelkreises mit: 1) Parametrierter PID-Regler an Modellregelstrecke. 2) Gleicher PID-Regler an Original-Regelstrecke. 3) Mittels heuristischer Methoden parametrierter PID-Regler an Original-Regelstrecke

$G_S(s) = \frac {e^{-T_t\cdot s}}{(T\cdot s+1)^2}$

ersetzt wird. Der zugehörige passende Regler ist schnell gefunden:

$G_R(s) = \frac {K\cdot (T\cdot s+1)\cdot (T\cdot s+1)} s$

(Siehe Artikel Regelstrecke #Experimentelle Identifikation einer Regelstrecke mit Hilfe einer Modellregelstrecke).

Dieses Modell ist bestens für einen PID-Regler geeignet, indem die beiden PD-Glieder des Reglers die beiden PT1-Glieder des Regelstreckenmodells kompensieren. Es ist ebenfalls auch für Regelstrecken mit PT1-Gliedern und Totzeit-Gliedern gut geeignet!

Übrig bleibt die transzendente Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises mit

$G_O(s) = \frac {K\cdot e^{-Ttv\cdot s}} s$

mit K = 0,5 / Ttv für eine Dämpfung von ca. D = 0,7.

Damit sind alle Parameter des Reglers für das Modell und für die reale Regelstrecke bekannt.

Numerische zeitdiskrete Verfahren

Relativ einfache Regelkreisstrukturen mit nichtlinearen Elementen sind durch konventionelle Rechenmethoden im kontinuierlichen Zeitbereich nicht mehr geschlossen lösbar. Seit Einführung von Personal-Computern zu Anfang der 1990-ger Jahre als Standard-Büroausrüstung hat die Anwendung der numerischen Berechnung für regelungstechnische Optimierungsaufgaben in großem Maße zugenommen.

Unter der Simulation eines Übertragungssystems bzw. eines Regelkreises versteht man die Nachbildung des mathematisch-physikalischen Verhaltens eines meist technischen Systems mit dem Ziel, eine Systemoptimierung mit beliebig einstellbaren Systemparametern durchzuführen

Der Vorteil der Simulation eines Regelkreises liegt auf der Hand. Es werden keine technischen Anlagen gefährdet, bzw. benötigt, der Zeitfaktor spielt keine Rolle, es können sehr schnelle oder sehr langsame Prozesse optimiert werden. Voraussetzung ist die mathematische Beschreibung eines gut angenäherten Modells der meist technischen Regelstrecke.

Für die Simulation von Regelkreisstrukturen mit zeitdiskretisierten Methoden sind verschiedene Verfahren bekannt. Nachfolgend wird ein einfaches Verfahren beschrieben, das zu effizienten Ergebnissen führt und den inneren System-Bewegungsablauf auch komplizierter Regelkreisstrukturen anschaulich darstellt.

Prinzipielle Methode der Überführung eines Übertragungssystems in die zeitdiskretisierte Form

• Diskretisierung einer Funktion

Unter der numerischen Diskretisierung versteht man den Übergang der Berechnung eines kontinuierlichen Übertragungssystems f(t) mit unendlicher Auflösung zu einem System mit einer endlichen Auflösung eines Zeitintervalles mit der Diskretisierungszeit ∆t. Dieses Zeitintervall mit der Breite ∆t ist durch 2 Intervallgrenzen bestimmt, nämlich durch die Iteration n und n+1.

Die Amplituden dieser Intervallgrenzen werden durch die zeitdiskretisierte Systemgleichung – der System-Differenzengleichung – berechnet. In der einfachsten Approximation an einen kontinuierlichen Funktionsverlauf sind beide Werte der Intervallgrenzen zwischen 2 Iterationen gleich (Rechteck-Approximation).

Die den Grenzen zugeordneten Werte werden mit jeder Iteration n (n = 0, 1, 2, 3, …) neu berechnet und addieren sich vorzeichenrichtig zu einem geschlossenen Funktionsverlauf bis n_max.

Die Diskretisierungszeit ∆t muss genügend klein sein, damit dominante Systembewegungen auch erfasst werden können, bzw. der Diskretisierungfehler gering ist.

Siehe Abbildung im Kapitel „Anwendung von Differenzengleichungen für die Simulation von Regelkreisen“!

• Differenzengleichung

Die sytembeschreibende Differentialgleichung wird in eine Differenzengleichung überführt, indem der Differentialquotient in einen Differenzenquotient, die Integration in eine Summation gewandelt wird.

Dabei kommt ein Umstand zugute, dass laut Systemtheorie der linearen (LZI-) Systeme aus den Polynomen der Übertragungsfunktionen nur 4 Grundformen von Übertragungsfunktionen 1. Ordnung abgeleitet werden können (D-, I-, TP1-, PD-Verhalten). (Siehe Grundformen unter Kapitel Regelstrecke #Charakterisierung der Regelstrecken).

Aus den zugehörigen einfachen Differentialgleichungen können die Differenzengleichungen praktisch abgelesen werden. Mit diesen Differenzengleichungen können in Verbindung mit logischen Operatoren beliebig komplizierte vermaschte lineare und nichtlineare Systeme berechnet werden.

• Iterationsfolge

In einer Iterationsfolge n (n = 0, 1, 2, 3 …) werden beliebig viele zeitdiskretisierte Systeme eines Gesamtsystems hintereinander für eine konstante Zeitdifferenz ∆t (diskretisierte Zeit) berechnet.

Jedes Einzelsystem mit dem Ausgangssignal Xa(n) = F(System, n, ∆t, Xe(n)) wird einzeln berechnet.

Für eine Systemkette unterschiedlichster Strukturen ist jedes Ausgangssignal Xa(n) eines Systems für das nachfolgende System das Eingangssignal Xe(n). Das Eingangssignal Xe(n) einer Systemkette, meist ein Testsignal oder die Führungsgröße W, muss ebenfalls in eine Funktion von n umgesetzt werden.

Bei einer Reihenstruktur gilt: Xa(n) = Produkt für Xa_i (System, n, ∆t, Xe(n)) mit i = 1, 2, 3,….

Bei einer Parallelstruktur gilt: Xa(n) = Summe für Xa_i (System, n, ∆t, Xe(n))

Jede Iterationsfolge bezieht sich auf einen Schritt von n zu n+1 bzw. von n-1 zu n. Mit jeder weiteren Iterationsfolge summieren sich die Ausgangsgrößen Xa(n) je nach Verhalten des Gesamtsystems zunehmend oder abnehmend.

• Approximation an die analytische Funktion

Die Annäherung der jeweils berechneten Ausgangsgrößen Xa(n) und Xa(n+1) zwischen 2 Iterationsfolgen an den tatsächlichen analytischen Funktionsverlauf wird durch verschiedene Verfahren erreicht:

Die einfachste Methode ist die Rechteckapproximation mit der Zeitbreite ∆t (Integrationsintervall).

Es wird unterschieden, ob

• Xa(n+1) aus dem vorherigen bekannten Wert Xa(n) berechnet wird (Explizite Anpassung, Euler-vorwärts), oder ob
• Xa(n) aus der noch unbestimmten Größe Xa(n+1) berechnet wird (Implizite Anpassung, Euler-rückwärts), was nur durch Näherungslösungen möglich ist.

Andere Methoden bedienen sich zur besseren Approximation z. B. mit einer Kombination des Eulerschen expliziten und impliziten Rechteckverfahrens, oder an Stelle der Rechteckfläche mit einer Trapezflächenform, mit einem Zweischrittverfahren, dem Runge-Kutta-Verfahren usw.

Grund der aufwendigeren Approximationsverfahren ist die erzielbare höhere Genauigkeit und damit Reduzierung der Iterationen, was bei langsamen Rechnern erforderlich sein kann.

• Ergebnis der Iterationsfolgen

Das Ergebnis einer Iterationsfolge für eine beliebige Systemkette ist Xa(n). Werden alle Werte von Xa(n) für n = 0 bis n = n_max grafisch dargestellt, erhält man einen geschlossenen Funktionsverlauf der Systemkette als Funktion der Zeit und des Eingangssignals Xe(n).

Die Anwendung der numerischen Behandlung gilt auch für gemischte LZI-Systeme und nichtlineare Systeme mittels rekursiver Berechnung (Rekursion) oder logischer Operatoren (Logische Operatoren) und Tabellen.

Totzeitglieder, Signalbegrenzungen und Systeme mit nichtlinearen Kennlinien lassen sich so berechnen.

Kommerzielle Programme für die Simulation von Übertragungssystemen

Für die Durchführung der Berechnung von Übertragungssystemen oder der Simulation von Regelkreisen bieten sich käufliche Rechenprogramme an. Mit den bekanntesten Programmen wie Matlab und Simlok stehen umfangreiche Befehlssätze für die theoretische Modellierung von dynamischen Systemen und vielen speziellen regelungstechnischen Befehlen zur Verfügung.

Siehe Kapitel „Anwendung käuflicher Programme“

Selbst erstellte Simulationsprogramme

Alternativ können mit selbst erstellten beliebigen Rechenprogrammen bei Anwendung von Differenzengleichungen in Verbindung mit logischen Operatoren sehr effiziente Regelkreis-Simulationen durchgeführt werden. Dabei sind relativ geringe mathematische Kenntnisse erforderlich.

Als Rechenprogramm ist die Benutzung der schon auf den meisten Rechnern befindlichen Software Tabellenkalkulation vorzuziehen. Durch die tabellarische Struktur der Rechenergebnisse und einfache grafische Darstellung der errechneten Funktionen ergibt sich eine völlige Durchsicht des inneren System-Bewegungsablaufs des Regelkreises.

Siehe Kapitel „Anwendung von Differenzengleichungen für die Simulation von Regelkreisen“

Anwendung käuflicher Programme

Siehe auch Artikel Regelungstechnik #Rapid-Prototyping in Forschung und Entwicklung. Die wichtigsten Software-Werkzeuge für rechnergestützte Analyse, Entwurf und Rapid Control Prototyping von Regelungen sind dort aufgeführt.

Matlab:

Matlab ist ein kommerzielles Programmpaket, das 1970 von den Universitäten von New Mexico und Stanford entwickelt wurde. Es ist ein von der Industrie und Forschung ein anerkanntes Werkzeug, welches auf einfache Weise erlaubt, numerische Berechnungen interaktiv durchzuführen und Daten grafisch darzustellen. Insbesondere wird die Berechnung mit Vektoren und Matrizen in natürlicher Weise unterstützt, ebenso das Rechnen mit komplexen Größen. Umfangreichere Programme können als Matlab-Skripte abgelegt werden.

Simulink:

Simulink ist ein Zusatzpaket zu dem Programm Matlab. Es basiert intern auf Matlab-Funktionen und erlaubt, zusätzlich zur graphisch orientierten Bedienung, Modelle von Matlab aus zu steuern und zu analysieren. Simulink kann ohne Matlab-Kenntnisse verwendet werden.

Simulink ist ein Software-Paket zur Simulation dynamischer Systeme, wobei kontinuierliche als auch zeitdiskrete Systeme sowie Mischformen modelliert werden können. Die Erstellung eines Modells geschieht grafisch, indem mit der Maus Blöcke aus einer Block-Bibliothek geholt und mittels Signalleitungen verbunden werden. Neben einer großen Anzahl vordefinierter Blöcke lassen sich auch eigene Blöcke definieren.

Z-Transformation

Die z-Transformation wird zur mathematischen Behandlung von Abtastregelungen im Frequenzbereich eingesetzt. Mittels der Laplace-Transformation werden Signale im kontinuierlichen Zeitbereich in den Laplace-Bildbereich überführt. Analog dazu werden Signale im diskreten Zeitbereich mittels der z-Transformation in den z-Bildbereich überführt.

In der digitalen Regelungstechnik wird die z-Transformation zur Auslegung von Reglern verwendet. Dabei werden im zeitdiskreten Bereich die Abtastzeit und die Rechentotzeit berücksichtigt, die sich im kontinuierlichen Zeitbereich nicht so genau bewerten lassen. Das stetige Verhalten der gewöhnlichen Standartregler (P- I- D-Regler) aber auch das anderer angepasster Regler-Strukturen wird mittels Differenzengleichungen bei der z-Transformation digitalisiert.

Anwendung von Differenzengleichungen für die Simulation von Regelkreisen

Für die Rechengeschwindigkeit von Computern derzeitiger Bauart können für fast alle regeltechnischen Anwendungen die Rechentotzeiten als vernachlässigbar ausgeschlossen werden.

Unter den einfachen numerischen Approximationen wird das Euler-Vorwärtsverfahren zugunsten einfacher Rechenregeln vorgezogen. Die Ausgangsgröße Xa(n) berechnet sich aus Xa(n-1).

Es handelt sich hierbei um eine Näherungslösung, die für kleine Zeit-Schrittbreiten zu sehr genauen Ergebnissen führt. Der Approximationsfehler (= Diskretisierungsfehler) ist proportional der Diskretisierungszeit ∆t. Zur Vermeidung numerischer Instabilität muss ∆t kleiner als die kleinste System-Zeitkonstante sein. Eine weitere Bedingung siehe "Bedeutung der indizierten Größen".

Bezieht man sich auf die Differentialgleichungen der bekannten Grundsysteme der Regelungstechnik wie I-, D-; PT1- und PD-Verhalten, die alle die Systemordnung 1 aufweisen, so lassen sich die zugehörigen Differenzengleichungen sehr einfach aus den zugehörigen Differentialgleichungen ablesen wie in der nachfolgenden Tabelle dargestellt.

Sämtliche noch so komplizierte, vermaschte lineare Regelkreisglieder (Signalflussplan) lassen sich damit nachbilden.

Ist das zu beschreibende Übertragungssystem z. B. ein Integrator mit der nachfolgenden Integrationsgleichung, dann lautet die Differenzengleichung für das Ausgangssignal Xa(n*∆t):

$x_a(t) = \frac 1 {T_n} \int\limits_{0}^{t = n_{max}\cdot \Delta t} x_e \cdot dt \quad \approx\quad Xa_{(n)} = \sum_{n=0}^{n_{max}} Xe_{(n)} \cdot \frac{\Delta t}{Tn}$

Damit lautet die Differenzengleichung der Integration für eine Iterationsfolge:

$Xa_{(n)} = Xa_{(n-1)} + Xe_{(n)} \cdot \frac{\Delta t}{Tn}$

Der Differenzenquotient ergibt sich direkt aus dem Differentialquotienten:

$x_a(t) = T_v \cdot \frac {d}{dt} \cdot x_e(t)$

Aus 2 Iterationsfolgen ist dxe(t) ≈ Xe(n) - Xe(n-1).

Die Differenzengleichung der Differentitation für eine Iterationsfolge lautet:

$Xa_{(n)} = [Xe_{(n)}- Xe_{(n-1)}]\cdot \frac {Tv} {\Delta t}$

Sprungantwort eines PT1-Gliedes durch Berechnung mit zeitdiskretisierter Differenzengleichung.

Für nichtlineare Systeme gelten logische Operatoren, wie z. B. WENN-DANN-SONST-Anweisungen oder Tabellen. Das Eingangssignal Xe(n*Δt) kann ein bekanntes diskretisiertes Testsignal (z. B. Sprung-, Anstiegs-, Impulsfunktion) sein oder das Ausgangssignal eines diskretisierten Übertragungssystems.

Vorteile der Simulation von Systemen mit Differenzengleichungen:

• Einfache mathematische Anforderungen
• Behandlung kombinierter LZI-Systeme mit nichtlinearen Systemen
• Eingabe von Anfangswerten möglich
• Darstellung eines Regelkreises als Blockschaltbild mit Eintrag der Differenzengleichung und logischen Operatoren
• Behandlung von mehrschleifigen Systemen (MIMO-Systeme)
• Bei tabellarischer Darstellung der einzelnen Berechnungsergebnisse völlige Durchsicht des inneren System-Bewegungsablaufs des Regelkreises
• Bei Anwendung der Tabellenkalkulation unmittelbare grafische Darstellung mittels verfügbarer Werkzeuge für verschiedener System-Zeitverläufe.

Bedeutung der indizierten Größen

• Xa(n) ist die aktuelle diskretisierte Ausgangsgröße der Iterationsfolge n. Xa(n) und Xe(n) beziehen sich immer auf die Zeit n * Δt.
• Xe(n) ist die aktuelle disktretisierte Eingangsgröße
• Xa(n-1) ist der Wert von Xa eine Iteration zurück
• Tn ist die Integrationskonstante, auch Ki = 1 / Tn
• n ist die Zahl der aktuellen Iteration
• n = 0 werden Anfangswerte zugeordnet
• n_max = System-Beobachtungszeit [s] / Δt
• Δt = je nach Genauigkeit 1 / 100 bis 1 / 1000 der dominanten Zeitkonstante T
• Zur Vermeidung der numerischen Instabilität gelten 2 Bedingungen:

Δt muss kleiner sein als die kleinste System-Zeitkonstante innerhalb einer Systemfolge,

Bei sehr großer Kreisverstärkung K: Δt < Dominante Zeitkonstante T / K

Beispiel der Struktur einer Programm-Zeile bei tabellarischer Darstellung:

• Zeilen A1 bis A20: Mit beliebig vielen Zellen werden sie für die Darstellung der Parameter und Grafik reserviert.
• Zeilen A21 bis A197 bleiben der Totzeitberechnung reserviert. Die Spalte, auf die sich die INDEX-Anweisung bezieht, darf keine Zeichen enthalten, sonst Fehler.
• Zeilen A198 bis A199: Für Beschriftung der Spalteneinträge. Es sind keine Zeichen in der Bezugsspalte der INDEX-Anweisung erlaubt!
• Zeile A200: Diese Zeile ist für die Anfangswerte reserviert, die im Normalfall für alle Spalten den Eintrag Null haben.
• Zeile A201: Diese Zeile erhält in den Zellen alle Gleichungen und Operatoren für n = 1. Diese Zeile wird nur einmal geschrieben und dann beliebig oft (z. B. 1000-fach) kopiert. Die Indizierung n ist eine virtuelle Größe, die in der Tabellenkalkulation nicht erscheint. Gerechnet wird nur mit Zellenbezeichnungen. Indizierung n-1 bezieht sich auf eine zurückliegende Zeilennummer.

Der Aufbau der ersten Zeile mit den Gleichungen und Operatoren kann wie folgt organisiert werden:

1. Zeitmaßstab = n*Δt = Xe(n-1) + Δt
2. Eingangssignal, z. B. Führungsgröße W(n) z. B. als Sprungfunktion = 1.
3. Regelabweichung E(n)= W(n) - Y(n-1).
4. Regler, z. B. PID-Regler in Paralleldarstellung, d. h. 3 Einzelsysteme werden in 3 Zellen einer Zeile hintereinander mit gleichem Eingangssignal berechnet und die Additionsstelle der 3 Komponenten liegt in der nächsten 4. Zelle.
5. Systeme der Regelstrecke liegen meist in einer Reihenschaltung: Der Ausgang des letzten Systems der Systemkette entspricht der Regelgröße y(n)
6. Sämtliche Parameter können z. B. den Zeilen 1 bis 20 zugewiesen werden

Tabelle der Differenzengleichungen und logischen Operationen für die Simulation von Regelkreisen

Typ	Übertragungsfunktionen Definition der Testsignale und Operatoren	Differenzengleichungen, Operatoren als Funktion von n*Δt	Hinweise
1	P-Glied: $\frac {Xa(s)}{Xe(s)} = K$	$Xa(n) = Xe_{(n)}\cdot K \,$	Die Einzelfaktoren k1,k2 … der Differenzengleichungen werden sinnvollerweise zu einem Faktor der Kreisverstärkung K multipliziert.
2	I-Glied: $\frac {Xa(s)}{Xe(s)} = \frac 1{Tn\cdot s}$	$Xa_{(n)} = Xe_{(n-1)} + Xe_{(n)}\cdot \frac {\Delta t}{Tn}$ n = Nummer der Iteration Δt = konstante diskretisierte Zeit n * Δt = t = aktuelle Zeit	Xa(n) = Ausgangswert aktuell Xe(n) = Eingangswert aktuell Xa(n-1) = Ausgangswert eine Iteration zurück n = 1: Rechenfolge aller Anfangswerte Normale Anfangswerte sind alle Null
3	PT1-Glied: $\frac {Xa(s)}{Xe(s)} = \frac {K_{PT1}}{Tn\cdot s+1}$	$Xa_{(n)} = \,$ $Xa_{(n-1)}+[K\cdot Xe_{(n)} -Xa_{(n-1)}] \frac {\Delta t}T$	$K = K_{PT1} \,$
4	Instabiles PT1-Glied: $\frac {Xa(s)}{Xe(s)} = \frac {K_{PT1}}{Tn\cdot s - 1}$	$Xa_{(n)} = \,$ $Xa_{(n-1)}+[K\cdot Xe_{(n)}+Xa_{(n-1)}] \frac {\Delta t}T$	$K = K_{PT1} \,$
5	D-Glied: $\frac {Xa(s)}{Xe(s)} = Tv\cdot s$	$Xa_{(n)} = [Xe_{(n)}-Xe_{(n-1)}]\cdot \frac {Tv}{\Delta t}$
6	PD-Glied (Regler): $\frac {Xa(s)}{Xe(s)} = K_{PD}\cdot (Tv\cdot s+1)$	$Xa_{(n)} = \,$ $Xe_{(n)} + [Xe_{(n)}-Xe_{(n-1)}]\cdot \frac {Tv}{\Delta t}$
7	PT2-Glied (Nachbildung): Offener Regelkreis $G_O(s) = \frac K{s\cdot (T\cdot s+1)}$ Geschlossener Regelkreis: $G(s)= \frac 1{\frac TK\cdot s^2+\frac 1K\cdot s+1}$ $G(s) = \frac 1{a\cdot s^2+b\cdot s+1}$	Unterlagerter Regelkreis: Eingangsgröße: Testsignal oder W(n) Regelabweichung: E(n) - Y(n-1) I-Glied: Xa(n) = Xa(n-1) + Xe(n) * Δt / Tn PT1-Glied: Xa(n) = Xa(n-1) + [K * Xe(n) - Xa(n-1)] * Δt / T	Der offene Regelkreis besteht aus der Reihenschaltung I-Glied und PT1-Glied. Wird die Regelabweichung W(n)-Y(n-1) in das I-Glied geleitet, ist der unterlagerte Regelkreis geschlossen. Parameter: K = 1 / b; T = a*K; D = 0,5 / WURZEL(K*T) K = Kreisverstärkung
8	Totzeitglied: (Totzeit (Regelungstechnik) $\frac {Xa(s)}{Xe(s)} = K_{Tt}\cdot e^{-Tt\cdot s}$	Schleife im Rechenprogramm oder: Anwendung Tabellenkalkulation: INDEX(F20; F200; 180 - Tt / Δt) Maximale Totzeit: Tt_max = (200 - 20) * Δt [Dimension: s oder min] Für K_Tt ist eine eigene Spalte erforderlich	Tabellenkalkulation: F20;F200 bedeutet Bezug der Spalte F für Zellen F20 bis F200. Sämtliche Gleichungen für INDEX stehen z. B. in der Spalte G ab G200 bis z. B. G1200. In F200 bis F1200 stehen die Eingangswerte bzw. Gleichungen. Spalte F20 bis F200 darf keine Zeichen enthalten, sonst fehlerhafte Zuweisung.
9	Symmetrische Signalbegrenzung:	Anwendung Tabellenkalkulation: WENN(X > A; A; WENN(X < -A; -A; X))	X = Zahlenwert einer Zelle A = Parameter der Begrenzung
10	Nichtlineare Kennlinie: als Funktion der Eingangsgröße, Kontinuierliche Funktion: Nichtkontinuierliche Funktion: z. B. Sprung und Rücksprung als Funktion der Zeit (n*Δt)	Anwendung der Tabellenkalkulation: Zelleneintrag einer Gleichung Xa(n) = f(n; Xe(n)) Zelleneintrag einer Tabelle: Allen Zellen einer Spalte muss ein Wert zugewiesen werden: Xa(n) = f(n*Δt)	Für alle Gleichungen gilt: Gleichungen werden pro Zelle z. B. in Zeile 201 einmal geschrieben und beliebig oft entsprechend der gewünschten Signalauflösung z. B. 1000 mal in der Spalte kopiert.
11	Testsignale: Impulsfunktion Xe(s) = 1	Amplitude: Xe(n) = 1 Impulsbreite = Δt	Normierter Impuls!
12	Testsignal Sprungfunktion: Xe(s) = 1	Sprungfunktion: Xe(n) = 1	Normierter Impuls!
13	Testsignal Anstiegsfunktion: Xe(s) = 1 / s²	Anstieg: Xe(n) = Xe(n-1) + c * Δt	Anstiegskonstante c = Δ Xe / Δ t

Erweiterte Regelkreisstrukturen

Dezentrale Regelung

Dezentrale Regelung am Beispiel eines Zweigrößensystems.

Die dezentrale Regelung ist ein spezieller Ansatz zur Regelung von Mehrgrößensystemen mit gleicher Anzahl m von Ein- und Ausgängen. Jeder Regelgröße wird ein Eingang zugeordnet, der möglichst großen Einfluss auf die Regelgröße hat. Für jedes Paar von Ein- und Ausgängen wird ein Eingrößenregler entworfen und realisiert, insgesamt also m Eingrößen-Regelkreise.

Das Verfahren funktioniert besonders gut, wenn die Querkopplungen in der Regelstrecke (im Bild gestrichelt dargestellt) klein sind. Zur ihrer Bewertung wurden verschiedene Koppelmaße entwickelt.

Kaskadenregelung

Typische Kaskadenregelung

Hauptartikel: Kaskadenregelung

Die Idee der Kaskadenregelung besteht in der Ineinanderschachtelung von Regelkreisen. Es werden zunächst Hilfsregelgrößen mit schnellen inneren Regelkreisen geregelt, deren Sollwerte aus den Stellwerten der äußeren, langsameren Kreise bestehen.

Smith-Prädiktor

Smith-Prädiktor

Ein Prädiktor nutzt direkt (nicht indirekt wie beim Beobachter) das Wissen des Regelstreckenmodells zur Vorhersage zukünftiger Regelgrößenverläufe. Dies bietet insbesondere Vorteile bei stark totzeitbehafteten Systemen, da konventionelle Regler dann zumeist nur sehr vorsichtig eingestellt werden können. Beispiele für starke Totzeiten finden sich zum Beispiel in der Verfahrenstechnik beim Stofftransport über lange Leitungen. Um eine wesentlich aggressivere Regelung dieser Systeme zu ermöglichen, wurde der Smith-Prädiktor entwickelt.

Der Smith-Prädiktor macht durch ein im Regler enthaltenes Parallelmodell eine Vorhersage $\hat x_p$ über den zukünftigen Regelgrößenverlauf. Für diese Aufgabenstellung werden der totzeitbehaftete und der totzeitfreie Teil getrennt betrachtet. Der Regler wird dann nicht an der eigentlichen Regelgröße x, sondern an der Vorhersage ohne Totzeit $\hat x_p$ eingestellt. Dadurch kann der Regler wesentlich stärker eingestellt werden. Bis zu dieser Stelle handelt es sich um eine Steuerung; um eine Anpassung auf Modellfehler und Störgrößen und damit zu einer Regelung zu ermöglichen, wird der Vorhersagewert $\hat x$ mit dem realen Wert verglichen und geht so in die Regelung mit ein.^[3] Siehe dazu auch Model Predictive Control.

Split-Range Regelung

Die Split-Range Regelung betrifft die Realisierung einer Stellgröße durch mehrere Aktoren mit beschränktem Wirkbereich. Beispielsweise werden zur Temperaturregelung in einem Batch-Reaktor sowohl eine elektrische Heizung als auch eine von einem Kühlmedium durchflossene Kühlschlange eingesetzt. Ein positives Stellsignal ist durch die Ansteuerung der Heizkerzen zu realisieren. Ein negatives Stellsignal hingegen bedeutet die Anforderung von Kühlung, sodass die Heizung auszuschalten und stattdessen ein Ventil zu öffnen ist, um das Kühlmedium freizugeben.

Störgrößenaufschaltung

Normalerweise sind Störungen ihrer Natur gemäß unbekannt. Liegt jedoch eine Messung oder Schätzung der Störung vor, so kann diese durch Aufschaltung im Regelkreis verwendet werden, um die Störunterdrückung zu verbessern.

Ein Beispiel für messbare Störungen ist die Außentemperatur in Raumtemperatur-Regelungen. Sie wird in Heizungen zur Anpassung der Vorlauftemperatur eingesetzt.

Eine Möglichkeit zur Schätzung von Störungen ist der Einsatz eines Störgrößenbeobachters.

Vorsteuerung

• Der Hauptteil des Stellsignals bei einem Sollwertwechsel wird mit einem inversen Modell der Regelstrecke aus dem Führungssignal erzeugt, also von einer Steuerung. Entspricht die Regelstrecke ideal dem Modell, so ist kein weiterer Eingriff des Reglers erforderlich. Dieser korrigiert also nur Abweichungen infolge Modellunsicherheiten und Störungen.

• Die Eigenschaft der Flachheit ist besonders vorteilhaft zur Bestimmung des inversen Modells geeignet, und insbesondere auch für nichtlineare Systeme anwendbar.

Beispiele von Regelkreisen außerhalb der Technik

Regelkreise werden in zahlreichen Bereichen der Technik zielgerichtet eingesetzt, so im Maschinenbau, in der Elektrotechnik und Verfahrenstechnik. Auf konkrete Anwendungen wird im Artikel Regelungstechnik eingegangen.

Biologische Regelkreise

In der Biologie finden sich folgende Regelkreise:

• Thermoregulation: Warmblüter benötigen zum Überleben eine bestimmte Körpertemperatur, die in einem Toleranzband variiert, dieses aber nicht verlassen sollte. Das Nervensystem jedes Warmblüters beinhaltet daher einen Temperatur-Regelkreis mit entsprechenden Rezeptoren als Sensoren, und Schweißdrüsen sowie Muskeln als Stelleinrichtungen.
• Puls-Regelung: Zur ausreichenden Versorgung der Zellen mit Sauerstoff und Energie ist eine ausreichende Blutzirkulation notwendig, die von der körperlichen Belastung abhängt. Der Puls ist daher geregelt.
• Blutdruck-Regelung: Ein zu geringer Blutdruck unterbindet die Blutzirkulation und Versorgung der Zellen mit Sauerstoff und Energie, ein zu hoher Blutdruck schädigt die Organe. Der Organismus beinhaltet daher eine Regelung des Blutdrucks.
• Blutzucker-Spiegel-Regelung: Der Blutzuckerspiegel stellt die Energieversorgung des Körpers sicher und wird der körperlichen Belastung ähnlich der Pulsregelung angepasst.
• Regelung des Blutspiegels zahlreicher Hormone (z. B. im thyreotropen Regelkreis)
• Regelung des Sauerstoffgehaltes des Blutes
• Regelung des einfallenden Lichtes ins Auge durch Vergrößerung bzw. Verkleinerung der Pupille
• Regelung der Populationsdichte.

Siehe auch: Biokybernetik

Ökonomische Regelkreise

Aus dem Bereich der Ökonomie sind zu nennen:

• Preisbildung in Märkten
• Marktregulierung des Staates.

Siehe auch

 Portal: Mess-, Steuerungs- und Regelungstechnik – Übersicht zu Wikipedia-Inhalten zum Thema Mess-, Steuerungs- und Regelungstechnik

• Zustandsregelung
• Kybernetik
• Selbstregulation
• Autopoiesis

Literatur

• „Regelungstechnik 1“ von Gerd Schulz, 3. Auflage 2004, Verlag Oldenbourg.
• „Regelungstechnik für Ingenieure“ von Manfred Reuter und Serge Zacher, 11. Auflage 2003,Verlag Vieweg.
• „Regelungstechnik 1“ von Jan Lunze, 6. Auflage 2008, Verlag Springer.
• „Regelungstechnik 1“ von Heinz Unbehauen, 15. Auflage 2008, Verlag Vieweg.

Einzelnachweise

1. ↑ Erich von Holst: Das Reafferenzprinzip. In: Die Naturwissenschaften 1950, 37
2. ↑ Norbert Wiener: Cybernetics: or control and communication in the animal and the machine. 1948
3. ↑ Abel, D.; Bollig A.: Rapid Control Prototyping Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006, ISBN 3-540-29524-0