- Rieszraum
-
Riesz-Raum berührt die Spezialgebiete
ist Spezialfall von
Ein Riesz-Raum (zu Ehren von Frigyes Riesz) ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur, die so beschaffen ist, dass sich die lineare und die Verbandsstruktur vertragen.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei ein -Vektorraum und eine teilweise geordnete Menge.
Dann heißt ein Riesz-Raum wenn folgende Axiome erfüllt sind:
- Für alle gilt: .
- Für alle gilt: und .
- ist ein Verband.
Anmerkungen
- 1. und 2. bedeuten ist ein geordneter Vektorraum.
- Bei der Formulierung von 2. ist zu beachten, dass sich sowohl auf , als auch auf X bezieht, aus dem Zusammenhang ist meistens klar, welche Ordnungsrelation gemeint ist, so dass üblicherweise auf zusätzliche Indizes verzichtet wird.
- 2. lässt sich auch durch die schwächere Forderung und ersetzen.
- Bezeichnen die Verbandsoperationen, so ist es Konvention, dass stärker binden, als (Klammerregel).
Erste Eigenschaften
Für und gelten folgende Rechenregeln:
- und
- und
- und
- Sei für .
- Dann gilt und .
- und
- und
- Dies bedeutet jeder Riesz-Raum ist ein distributiver Verband.
Beispiele
- Die reellen Zahlen mit der üblichen Anordnung bilden einen Riesz-Raum.
- Der mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
- Die Menge der reellen Zahlenfolgen mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
- Die Menge der reellen Nullfolgen c0 mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
- Für ist lp mit komponentenweiser Anordnung ein Riesz-Raum.
- Die Menge der beschränkten reellen Folgen mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum.
- Die Menge der stetigen Funktionen auf einem Intervall [a,b] bildet mit punktweiser Anordnung einen Riesz-Raum.
- Die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen auf einem Intervall [a,b] bildet einen geordneten Vektorraum mit der punktweisen Anordnung, aber keinen Riesz-Raum.
Wikimedia Foundation.