Satz von Girsanov

In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird der Satz von Girsanow benutzt um stochastische Prozesse zu verändern. Dies passiert mithilfe eines Maßwechsels von dem kanonischen Maß P zum äquivalenten Martingalmaß Q. Dieser Satz hat eine besondere Bedeutung in der Finanzmathematik, da unter dem äquivalenten Martingalmaß die diskontierten Preise eines Underlying, wie einer Aktie, Martingale sind. Im Bereich stochastischer Prozesse ist der Maßwechsel wichtig, da dann folgende Aussage getroffen werden kann: Wenn Q ein bezüglich P absolut stetiges Wahrscheinlichkeitsmaß ist, dann ist jedes P-Semimartingal ein Q-Semimartingal.

Geschichte

Der Satz wurde 1945 zuerst von Cameron und Martin ^[1] und danach 1960 von Igor Wladimirowitsch Girsanow bewiesen. Der Satz wurde durch Lenglart 1977 verallgemeinert.

Satz

Sei $\{\Omega,\mathcal{F},P,\{\mathcal{F}_t\}_{0 \leq t \leq T}\}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, versehen mit der natürlichen Filtrierung des standardisierten Wiener-Prozesses $({B}_t),t \in T$. Sei $(\theta_t)_{0 \leq t \leq T}$ ein adaptierter Prozess so dass gilt :$\int_0^T \theta_s^2\,\mathrm ds< \infty$ P-f.s. und so dass der Prozess $(L_t)_{0 \leq t \leq T}$ definiert durch:

$L_t= \exp \left( - \int_0^t \theta_s \mathrm dB_s - \frac{1}{2} \int_0^t \theta_s^2 \mathrm ds \right)$

ein Martingal ist.

Dann gilt unter dem Wahrscheinlichkeitsmaß P^(L) mit der Dichte L_T bezüglich P, dass der Prozess $(W_t)_{0 \leq t \leq T}$ definiert durch $W_t = B_t + \int_0^t \theta_s \mathrm ds$ ein standardisierter Wiener-Prozess ist.

Bemerkung

Der schwierigste Teil in der Anwendung des obigen Satzes ist es wohl zu zeigen, dass L_t Martingal ist. Eine hinreichende Bedingung so dass $(L_t)_{0 \leq t \leq T}$ ein Martingal ist, lautet:

$\operatorname{E} \left(\exp \left (\frac{1}{2} \int_0^T \theta_t^2 \mathrm dt \right) \right) < \infty$

Diese Bedingung nennt man auch die Novikov-Bedingung.

Referenzen

1. ↑ [1]

• C. Dellacherie, P.-A. Meyer, "Probabilités et potentiel -- Théorie des Martingales" Kapitel VII, Hermann 1980
• Damien Lamberton und Bernard Lapeyre, "Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance", Kapitel IV S. 66, Chapman & Hall, 2000, ISBN 0-412-71800-6

Weblinks

• Notes on Stochastic Calculus mit einem verkürzten Beweis.