Schur-Normalform

Schur-Normalform

In der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Schur-Zerlegung (oder auch Schursche Normalform genannt) eine wichtige Matrix-Zerlegung, genauer ein Trigonalisierungsverfahren.

Sie ist benannt nach dem Mathematiker Issai Schur.

Inhaltsverzeichnis

Definition

A sei eine quadratische Matrix mit Einträgen aus \mathbb{K} (also A \in \mathbb{K}^{n \times n}, wobei \mathbb{K} entweder für \mathbb{R} oder für \mathbb C steht). Zerfällt das charakteristische Polynom von A über \mathbb{K} in Linearfaktoren, so existiert eine unitäre Matrix U \in \mathbb{K}^{n \times n}, sodass

R = U^* A U\quad (U * ist die zu U adjungierte Matrix)

eine obere Dreiecksmatrix ist.

Bemerkungen

  • Da R eine obere Dreiecksmatrix ist, kann sie als Summe einer Diagonalmatrix D und einer strikten oberen Dreiecksmatrix N dargestellt werden (D, N \in \mathbb{K}^{n \times n}):
R = D + N
Es gilt dann:
  • D ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Diagonalelemente und wird als der Diagonalanteil der Schur-Zerlegung bezeichnet.
  • N ist nilpotent, im Allgemeinen nur bezüglich ihrer Frobeniusnorm eindeutig und wird der nilpotente Anteil der Schur-Zerlegung genannt.
  • Die Frobeniusnorm von N ist genau dann 0, wenn A normal ist.

Konstruktion einer Schur-Zerlegung

Sei A\in\mathbb{K}^{n \times n}. Zunächst muss ein Eigenwert λ1 und ein entsprechender Eigenvektor v1 zu A gefunden werden. Nun werden n − 1 Vektoren w2,...,wn gewählt, so das v1,w2,...,wn eine orthonormale Basis in \mathbb{K}^{n} bilden. Diese Vektoren bilden die Spalten einer Matrix V1. V_1^* A V_1=\begin{bmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & A_1 \end{bmatrix} ,wobei A1 eine (n-1)\times(n-1) Matrix ist.

Nun wird dieser Vorgang für A1 wiederholt. Es entsteht eine unitäre Matrix V2 mit:

 V_2^* A_1 V_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 & * \\ 0 & A_2 \end{bmatrix} , wobei A2 eine (n-2)\times(n-2) Matrix ist.

 Q_2^* A Q_2 = \begin{bmatrix} \lambda_1 & * & * \\ 0 & \lambda_2 & * \\ 0 & 0 & A_2 \end{bmatrix}, wobei Q_2 = V_1 \hat{V}_2 mit \hat{V}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V_2 \end{bmatrix}.

Die gesamte Prozedur wird n-mal wiederholt, bis die Matrizen V_1,\ldots,\hat{V}_n vorliegen.

 Q = V_1 \hat{V}_2 \hat{V}_3 \cdots \hat{V}_n ist eine unitäre Matrix, U eine obere Dreiecksmatrix und somit ist A = QUQ * die Schur-Zerlegung der Matrix A.

Beispiel

Betrache beispielsweise die Matrix A = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ -7 & 2 & 7 \end{bmatrix} mit den Eigenwerten \lambda_1 = \cdots = \lambda_3 = 2 (die Matrix ist nicht diagonaliserbar, weil die Dimension des mit diesem Eigenwert assoziierten Eigenraums 2 beträgt).

Wir wählen als Basis für den Anfang die Standard-Basis \langle e_1, e_2, e_3 \rangle, wobei ej den j-ten Einheitsvektor bezeichnet.

Für A1 = A bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B. \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} mit Darstellung v_1 := 1e_1 + 1e_2 + 1e_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. \langle v_1, e_1, e_3 \rangle. Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformtion V1 = (v1 | e1 | e3) und berechnen V_1^{-1} A V_1 = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 0 & -4 & 4 \\ 0 & -9 & 8 \end{bmatrix} daraus lässt sich ablesen, dass A_2 = \begin{bmatrix} -4 & 4 \\ -9 & 8 \end{bmatrix}.

Für A2 bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B. \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} mit Darstellung v_2 := 0v_1 + 2e_1 + 3e_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. \langle v_1, v_2, e_3 \rangle. Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation V2 = (v1 | v2 | e3) und berechnen V_2^{-1} A V_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}.

Wie oben gezeigt, kann die Basis beliebig gewählt werden, allerdings wird die Sache sehr einfach und interessant, wenn die Wahl der Standardbasis durchgezogen wird (sofern möglich). Dadurch ändern sich die vorherigen Schritte wie folgt:

Für A1 = A bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B. \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} mit Darstellung v_1 := \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. \langle v_1, e_2, e_3 \rangle. Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformtion V1 = (v1 | e2 | e3) und berechnen V_1^{-1} A V_1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix} daraus lässt sich ablesen, dass A_2 = \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}.

Für A2 bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B. \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} mit Darstellung v_2 := \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. \langle v_1, v_2, e_3 \rangle. Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformtion V2 = (v1 | v2 | e3) und berechnen V_2^{-1} A V_2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}.

Hier ist die Berechnung der Darstellung der Vektoren in der richtigen Basis sozusagen intuitiv und somit auch weniger fehleranfällig, zudem ist die finale Basistransformation hier V2 auch eine Dreiecksmatrix.

Mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren kann die erhaltene Basistransformationsmatrix zu einer unitären Matrix gemacht werden, wie verlangt.

Siehe auch

Weblinks

  • LP - Lemma von Schur, u.a. Beweis des Lemmas, in: Numerische Mathematik I - Funktionalanalytische Grundlagen.

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