Schur-Normalform

In der Linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Schur-Zerlegung (oder auch Schursche Normalform genannt) eine wichtige Matrix-Zerlegung, genauer ein Trigonalisierungsverfahren.

Sie ist benannt nach dem Mathematiker Issai Schur.

Definition

A sei eine quadratische Matrix mit Einträgen aus $\mathbb{K}$ (also $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$, wobei $\mathbb{K}$ entweder für $\mathbb{R}$ oder für $\mathbb C$ steht). Zerfällt das charakteristische Polynom von A über $\mathbb{K}$ in Linearfaktoren, so existiert eine unitäre Matrix $U \in \mathbb{K}^{n \times n}$, sodass

$R = U^* A U\quad$ (U ^* ist die zu U adjungierte Matrix)

eine obere Dreiecksmatrix ist.

Bemerkungen

• Da R eine obere Dreiecksmatrix ist, kann sie als Summe einer Diagonalmatrix D und einer strikten oberen Dreiecksmatrix N dargestellt werden ($D, N \in \mathbb{K}^{n \times n}$):

R = D + N

Es gilt dann:

• D ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Diagonalelemente und wird als der Diagonalanteil der Schur-Zerlegung bezeichnet.
• N ist nilpotent, im Allgemeinen nur bezüglich ihrer Frobeniusnorm eindeutig und wird der nilpotente Anteil der Schur-Zerlegung genannt.
• Die Frobeniusnorm von N ist genau dann 0, wenn A normal ist.

• Wegen der Ähnlichkeit der Ausgangsmatrix A und der oberen Dreiecksmatrix R sitzen in der Diagonale von R die Eigenwerte von A.
• Ist A eine normale Matrix, dann ist R sogar eine Diagonalmatrix und die Spaltenvektoren von U sind die Eigenvektoren von A. Die Schur-Zerlegung von A wird dann als Spektralzerlegung von A bezeichnet.
• Wenn A positiv definit ist, dann ist die Schur-Zerlegung von A dasselbe wie die Singulärwertzerlegung von A.

Konstruktion einer Schur-Zerlegung

Sei $A\in\mathbb{K}^{n \times n}$. Zunächst muss ein Eigenwert λ₁ und ein entsprechender Eigenvektor v₁ zu A gefunden werden. Nun werden n − 1 Vektoren w₂,...,w_n gewählt, so das v₁,w₂,...,w_n eine orthonormale Basis in $\mathbb{K}^{n}$ bilden. Diese Vektoren bilden die Spalten einer Matrix V₁. $V_1^* A V_1=\begin{bmatrix} \lambda_1 & * \\ 0 & A_1 \end{bmatrix}$ ,wobei A₁ eine $(n-1)\times(n-1)$ Matrix ist.

Nun wird dieser Vorgang für A₁ wiederholt. Es entsteht eine unitäre Matrix V₂ mit:

$V_2^* A_1 V_2 = \begin{bmatrix} \lambda_2 & * \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}$, wobei A₂ eine $(n-2)\times(n-2)$ Matrix ist.

$Q_2^* A Q_2 = \begin{bmatrix} \lambda_1 & * & * \\ 0 & \lambda_2 & * \\ 0 & 0 & A_2 \end{bmatrix}$, wobei $Q_2 = V_1 \hat{V}_2$ mit $\hat{V}_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & V_2 \end{bmatrix}.$

Die gesamte Prozedur wird n-mal wiederholt, bis die Matrizen $V_1,\ldots,\hat{V}_n$ vorliegen.

$Q = V_1 \hat{V}_2 \hat{V}_3 \cdots \hat{V}_n$ ist eine unitäre Matrix, U eine obere Dreiecksmatrix und somit ist A = QUQ ^* die Schur-Zerlegung der Matrix A.

Beispiel

Betrache beispielsweise die Matrix $A = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ -7 & 2 & 7 \end{bmatrix}$ mit den Eigenwerten $\lambda_1 = \cdots = \lambda_3 = 2$ (die Matrix ist nicht diagonaliserbar, weil die Dimension des mit diesem Eigenwert assoziierten Eigenraums 2 beträgt).

Wir wählen als Basis für den Anfang die Standard-Basis $\langle e_1, e_2, e_3 \rangle$, wobei e_j den j-ten Einheitsvektor bezeichnet.

Für A₁ = A bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B. $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ mit Darstellung $v_1 := 1e_1 + 1e_2 + 1e_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. $\langle v_1, e_1, e_3 \rangle$. Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformtion V₁ = (v₁ | e₁ | e₃) und berechnen $V_1^{-1} A V_1 = \begin{bmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 0 & -4 & 4 \\ 0 & -9 & 8 \end{bmatrix}$ daraus lässt sich ablesen, dass $A_2 = \begin{bmatrix} -4 & 4 \\ -9 & 8 \end{bmatrix}$.

Für A₂ bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B. $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ mit Darstellung $v_2 := 0v_1 + 2e_1 + 3e_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. $\langle v_1, v_2, e_3 \rangle$. Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformation V₂ = (v₁ | v₂ | e₃) und berechnen $V_2^{-1} A V_2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.

Wie oben gezeigt, kann die Basis beliebig gewählt werden, allerdings wird die Sache sehr einfach und interessant, wenn die Wahl der Standardbasis durchgezogen wird (sofern möglich). Dadurch ändern sich die vorherigen Schritte wie folgt:

Für A₁ = A bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B. $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ mit Darstellung $v_1 := \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. $\langle v_1, e_2, e_3 \rangle$. Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformtion V₁ = (v₁ | e₂ | e₃) und berechnen $V_1^{-1} A V_1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ daraus lässt sich ablesen, dass $A_2 = \begin{bmatrix} 0 & -4 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.

Für A₂ bestimmen wir einen Eigenvektor zu 2, z. B. $\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ mit Darstellung $v_2 := \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ und ergänzen ihn zu einer linear unabhängigen Basis, z. B. $\langle v_1, v_2, e_3 \rangle$. Aus dieser neuen Basis erzeugen wir die Basistransformtion V₂ = (v₁ | v₂ | e₃) und berechnen $V_2^{-1} A V_2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.

Hier ist die Berechnung der Darstellung der Vektoren in der richtigen Basis sozusagen intuitiv und somit auch weniger fehleranfällig, zudem ist die finale Basistransformation hier V₂ auch eine Dreiecksmatrix.

Mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren kann die erhaltene Basistransformationsmatrix zu einer unitären Matrix gemacht werden, wie verlangt.

Siehe auch

• Trigonalisierung

Weblinks

• LP - Lemma von Schur, u.a. Beweis des Lemmas, in: Numerische Mathematik I - Funktionalanalytische Grundlagen.