Schursches Lemma

Das Lemma von Schur, benannt nach Issai Schur, beschreibt die Homomorphismen zwischen irreduziblen Moduln. Es besagt, dass jeder solche Homomorphismus außer dem Nullhomomorphismus ein Isomorphismus ist.

Das Lemma von Schur in der modultheoretischen Fassung lautet (R sei ein Ring mit 1):

Es seien M, N einfache R-Linksmoduln. Dann gilt:

1. $M \not\cong N \Rightarrow Hom_R(M,N)=0$
2. End_R(M) ist ein Schiefkörper.

In der darstellungstheoretischen Fassung lautet das Lemma von Schur (G sei eine endliche Gruppe, K ein Körper):

Es seien $\rho : \ G \rightarrow GL_K(V), \tau : \ G \rightarrow GL_K(W)$ irreduzible Darstellungen von G. Dann gilt:

1. Es sei $f \in Hom_K(V,W)$ mit $f \circ \rho (g)=\tau (g) \circ f \ , \ \forall g \in G$. Dann gilt: f=0 oder f ist bijektiv (und in diesem Fall sind ρ und τ äquivalent).
2. Z(ρ) ist ein Schiefkörper.

Die Aussage 2. gilt auch in der Umkehrung, so dass Z(ρ) ein Schiefkörper ist, genau dann wenn die Darstellung ρ irreduzibel ist.

Aufgrund des Zusammenhangs von Darstellungen von G über K und KG-Moduln besagen beide Fassungen das gleiche.