Schwierigkeit

Ein Problem (gr. πρόβλημα próblema „das, was [zur Lösung] vorgelegt wurde“) nennt man eine Aufgabe oder Streitfrage, deren Lösung mit Schwierigkeiten verbunden ist. Probleme stellen Hindernisse dar, die überwunden oder umgangen werden müssen, um von einer unbefriedigenden Ausgangssituation in eine befriedigendere Zielsituation zu gelangen. Sie treten in verschiedensten Ausprägungen in allen Lebensbereichen und Wissenschaften auf. Um ein Problem zu lösen, kann es sinnvoll sein, es in einfachere Unteraufgaben zu zerteilen oder auf ein bereits gelöstes Problem zurückzuführen oder die Ausgangssituation auf ungewohnte Art und Weise zu betrachten.

Merkmale

Im täglichen Umgang mit Problemen haben zahlreiche Wissenschaften Merkmale herausgearbeitet, nach denen sich Probleme charakterisieren lassen. Einzelne Probleme lassen sich so zu Problemklassen zusammenfassen. Die gleichartige Ausprägung der Probleme einer Klasse legt nahe, dass sich Lösungsmethoden für diese Probleme gleichermaßen gut oder schlecht eignen.

Schwierigkeit

Das vorherrschende Merkmal eines Problems ist seine Schwierigkeit, die von trivial (auf den ersten Blick lösbar), über einfach und schwierig bis hin zu unlösbar variieren kann. Die Schwierigkeit ist jedoch meist das unpräziseste und am wenigsten hilfreiche Merkmal eines Problems, denn die Schwierigkeitswahrnehmung hängt vom jeweiligen Problemlöser und den ihm zur Verfügung stehenden Ressourcen ab und kann durch Fehlschlüsse die Sicht auf die wahren Hintergründe vernebeln. Die Beurteilung der Schwierigkeit eines Problems ist in der Regel erst dann sinnvoll und akkurat, wenn die im Folgenden beschriebenen Merkmale ausführlich betrachtet wurden.

Lösbarkeit

Nicht alle Probleme sind lösbar. Bei vielen Problemen geht die scheinbare Unlösbarkeit auf mangelnde Wohldefiniertheit zurück, das heißt Ausgangssituation, Hindernis und Zielsituation sind nicht ausreichend klar formuliert, um eine Lösung zu ermöglichen. Doch auch für sauber formulierte Probleme in Umfeldern mit klar vorgegebenen Regeln kann unter Umständen gezeigt werden, dass eine Aufgabe unlösbar ist. Arbeitsaufwand in die Lösung erwiesenermaßen unlösbarer Probleme zu stecken ist nicht sinnvoll; in diesem Fall kann eine Umgehungslösung (engl. workaround) des Problems helfen, das heißt, das angepeilte Ziel wird so abgeändert, dass sich das Problem nicht mehr stellt. Die Unlösbarkeit eines Problems kann darauf zurückzuführen sein, dass versucht wird, mehrere widersprüchliche Ziele gleichzeitig zu erreichen. In diesem Fall liegt ein Interessenkonflikt vor, der möglicherweise durch einen Kompromiss beglichen werden kann; in technischen Zusammenhängen spricht man hierbei auch von Optimierung. Kompromisse können allerdings wiederum neue Probleme hervorrufen. Ist ein Kompromiss aufgrund des zugrundeliegenden Regelsystems unmöglich, so spricht man von Aporie.

Wohldefiniertheit

Probleme, die übermäßig schwierig erscheinen, sind unter Umständen nur nicht wohldefiniert. Wohldefiniert ist ein Problem dann, wenn die Ausgangssituation ordentlich beschrieben ist und das Erreichen des Ziels messbar nachgewiesen werden kann; gegebenenfalls ist sogar die Lösungsmethode vorgegeben. Je klarer ein Problem beschrieben ist, desto einfacher wird für gewöhnlich seine Lösung, denn es sind alle Informationen gegeben, die zur Lösung des Problems notwendig sind. Die Überführung eines Problems in den wohldefinierten Zustand kann allerdings schwierig oder sogar unmöglich sein.

Zerlegbarkeit

Lässt sich ein Problem in mehrere Unterprobleme zerteilen, so nennt man es zerlegbar oder auch hierarchisch. Echte Unterprobleme sind leichter und mit weniger Arbeitsaufwand verbunden (divide et impera) und können eine kompaktere und greifbarere Beschreibung der Ausgangssituation bieten, die bereits aus sich heraus einen Lösungsweg nahelegt. Stellt die Zerlegung selbst ein schwieriges Problem dar, lässt sich ein Problem überhaupt nicht unterteilen oder sind die entstehenden Unterprobleme bei jeder möglichen Zerlegung ebenso komplex wie das Ausgangsproblem, so nennt man das Problem nicht zerlegbar oder elementar. Eine spezielle Aussage über die Zerlegbarkeit trifft die Unterscheidung zwischen Einsichtsproblemen und Transformationsproblemen. Einsichtsprobleme sind nicht zerlegbare Probleme, denn sie benötigen nur einen einzigen, untrennbaren Umformungsschritt, der sehr schwer ist, weil er eine völlig neue Sicht der Dinge verlangt. Transformationsprobleme hingegen lassen sich in eine ganze Reihe von Umformungsschritten zerlegen (Informatik), die richtig aufeinander abgestimmt werden wollen.

Verwandtheit

Manche Probleme sind in ihrer Wesensart so eng verwandt, dass mit einem Problem gleichzeitig ein anderes Problem gelöst wird. In diesem Fall sind Ausgangs- und Zielsituation bei beiden Problemen gleich, wenn auch für gewöhnlich gänzlich anders formuliert. Eines der Probleme lässt sich jedoch in das jeweils andere Problem überführen; speziell die Komplexitätstheorie spricht hierbei davon, ein Problem auf ein anderes zu reduzieren. Auf diese Weise können ganze Problemklassen ausfindig gemacht werden, deren Probleme ungelöst sind, von denen man jedoch weiß, dass die Lösung eines Problems gleichzeitig alle anderen Probleme einer Klasse löst. Kann ein Problem nicht auf andere Probleme zurückgeführt werden, so bildet es eine Problemklasse für sich und erfordert möglicherweise eine gänzlich neue Einsicht.

Aufwändigkeit

Unabhängig von der Schwierigkeit kann man Probleme nach dem Lösungsaufwand beurteilen: Der Lösungsweg eines Problems kann kurz und knapp sein, aber auch so aufwändig, dass das erreichbare Ziel die Mühe nicht lohnt; extrem aufwändige Probleme können sogar unbegrenzt lange Lösungswege erfordern. So kann ein Problem zwar theoretisch lösbar sein, in der Praxis aber weiterhin als „unlösbar“ gelten. Die Aufwändigkeit eines Problems hängt von seiner Komplexität und der Leistungsfähigkeit der Beteiligten ab; unter den Begriff Leistung fallen hier unterschiedliche Faktoren, von der Intelligenz eines Menschen bis zur Rechenleistung eines Computers. Auch unterschiedliche Ausgangssituationen beeinflussen die Aufwändigkeit von Lösungswegen, da die Verfügbarkeit von Rohstoffen und Werkzeugen oder einfach anderem Wissen, auf dem man aufbauen kann, variiert.

Subjektivität

Besonders Probleme des Alltags unterliegen der Subjektivität der beteiligten Personen. Abweichende Zielvorstellungen bedingen, dass Schwierigkeit und Aufwändigkeit von Problemen unterschiedlich beurteilt werden. Bestimmte Probleme sind für Beteiligte unlösbar, für Außenstehende jedoch zu bewältigen oder sogar einfach, so etwa das Feststellen des eigenen Todeszeitpunkts. Mitunter erzeugt das Wechseln des eigenen Standpunkts ein besseres Verständnis für das Problem, etwa wenn Emotionen im Spiel sind und das Problem erst durch Einfühlungsvermögen überhaupt erst erfasst werden kann.

Spezielle Problembegriffe

Einige Wissenschaften haben speziellere Problembegriffe entwickelt, um Probleme greifbarer und formalen Lösungsversuchen und quantitativen Messungen zugänglich zu machen. Technik und Wirtschaftswissenschaft fassen Probleme als Schwierigkeiten auf, einen bestehenden Ist-Zustand in einen gewünschten Soll-Zustand überzuführen. Bei der Überführung muss eine Barriere mit Hilfe eines Lösungsverfahrens überwunden werden. Probleme unterscheiden sich hierin von Aufgaben, bei denen zwar auch eine Barriere besteht, der Lösungsweg aber von Anfang an bekannt ist. Die Technik interessiert sich besonders für strukturierte Vorgehensweisen beim Problemlösen, da diese schnellere Erfolge versprechen als blindes Herumprobieren. Die Wirtschaftswissenschaft hingegen interessiert sich dafür, wie der zur Lösung benötigte Aufwand in Form finanzieller Werte abgeschätzt und beurteilt werden kann.

Die Komplexitätstheorie der Theoretischen Informatik baut auf einen mathematisch verankerten Problembegriff. Die Grundlage sind hier Entscheidungsprobleme, bei denen die Aufgabe stets gleich lautet: Entscheide, ob diese Eingabe akzeptiert wird oder nicht. Ein Problem ist damit grundsätzlich dasselbe wie eine formale Sprache, bei der die Frage lautet: Entscheide, ob dieses Wort zu dieser Sprache gehört oder nicht. Die Vorteile dieses hochgradig strukturierten Problembegriffs sind, dass er für Menschen und Maschinen gleichermaßen verständlich ist, die Korrektheit eines Lösungswegs beweisbar ist und die Anzahl der zur Lösung eines Problems benötigten Schritte – seine Komplexität – rechnerisch bestimmt werden kann. Entscheidungsprobleme sind nur scheinbar zu einfach, um komplexe Fragestellungen damit zu untersuchen; tatsächlich lassen sie sich zu natürlicheren Optimierungsproblemen oder Suchproblemen umformulieren.

Die Komplexitätstheorie nimmt eine weitere wichtige Trennung vor, indem sie Probleme von Probleminstanzen unterscheidet. Instanzen sind Spezialfälle eines verallgemeinerten Problems und geben beispielsweise konkrete Zahlen oder Wörter vor, wo das allgemeine Problem von beliebig besetzbaren Variablen oder Zeichenketten spricht. Ziel ist es stets, den allgemeinen Fall zu lösen, Probleminstanzen dienen nur der Ideenentwicklung und händischen Überprüfung von Versuchen.

Berühmte Probleme

Einige Probleme haben die Menschen über sehr lange Zeit beschäftigt oder hatten große Auswirkungen, weil während ihrer Untersuchung bahnbrechende neue Erkenntnisse zu Tage gefördert wurden. Die folgende Auswahl stellt nur einige wenige mathematische und damit stark vorstrukturierte Probleme dar. Tatsächlich darf jedoch hinter jedem größeren technischen, wissenschaftlichen oder gesellschaftlichen Durchbruch die Lösung eines Problems vermutet werden.

• Quadratur des Kreises. Das geometrische Problem, aus einem Kreis ein flächengleiches Quadrat herzustellen, beschäftigte die Menschheit seit der Antike. „Gelöst“ wurde das Problem 1882 von Ferdinand von Lindemann, der bewies, dass eine präzise Lösung unmöglich ist.
• Königsberger Brückenproblem. Ziel dieses topologischen Problems war es, einen Rundweg über die sieben Brücken der Stadt Königsberg zu finden. 1736 zeigte Leonhard Euler, dass ein solcher Rundweg nicht existiert, das Problem also nicht lösbar ist. Die Untersuchung des allgemeineren Eulerkreisproblems hatte jedoch nachhaltige Auswirkungen auf die Komplexitätstheorie.
• Hamiltonkreisproblem. Bei diesem Problem der Graphentheorie soll ein Weg durch einen Graphen gefunden werden, der alle Knoten enthält. Obwohl das Problem scheinbar identisch ist mit dem Königsberger Brückenproblem, stellte es sich überraschenderweise als sehr viel komplexer heraus. Es ist verwandt mit dem Problem des Handlungsreisenden, das in zahllosen Variationen in allen möglichen Anwendungsfällen auftritt und führte zu einer großen Vielfalt von Optimierungsverfahren.
• Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik. Dieses Problem, bei dem die Erfüllbarkeit einer aussagenlogischen Formel bewiesen werden soll, führte 1971 mit dem Satz von Cook zum Begriff der NP-Vollständigkeit. Die NP-vollständigen Probleme bilden eine Klasse schwieriger Probleme der Informatik, die alle eng miteinander verwandt sind; könnte man eines dieser Probleme effizient lösen, wären damit gleichzeitig alle anderen NP-vollständigen Probleme effizient gelöst.
• Ziegenproblem. Bei diesem Wahrscheinlichkeitsproblem ging es darum, dem Spieler einer Spielshow einen Rat bei der Wahl zwischen drei Türen zu geben, hinter denen ein Preis und zwei Trostpreise (Ziegen) auf ihn warteten. Als die bereits 1889 gelieferte, verblüffende und dem gesunden Menschenverstand zuwider laufende Lösung 1990 in einer Zeitung von Marilyn vos Savant, der „intelligentesten Frau der Welt“, beschrieben wurde, zerstritten sich Mathematiker weltweit über den Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Unlösbare Probleme treten gehäuft bei Fragen der Erkenntnistheorie und der Logik auf, wenn sich zwei gleichermaßen wahre Grundsätze in Form der Aporie oder des Paradoxon (bzw. der Antinomie in der Logik) widersprechen. Bekannte Beispiele für diese ausweglosen Denkaufgaben sind der Satz „Dieser Satz ist falsch“ und die logische Schlussfolgerung „Gott kann nicht allmächtig sein, weil er keinen Stein erschaffen kann, den er selbst nicht heben kann“.

Weblinks

Literatur

• Joachim Funke: Problemlösendes Denken. Kohlhammer, Stuttgart 2003, ISBN 3-17-017425-8
• George Polya: Schule des Denkens. Vom Lösen mathematischer Probleme. Francke, Tübingen 1995, ISBN 3-7720-0608-6
• Walter Edelmann: Lernpsychologie. Psychologie Verlags Union, Weinheim 1996, ISBN 3-621-27310-7