Shah-Distribution

Dirac-Kamm

Der Dirac-Kamm (auch Dirac-Stoß-Folge oder Schah-Funktion) beschreibt eine periodische Folge von Dirac-Stößen. Anschaulich besitzt er die Form eines Kamms und wird wegen dieser Ähnlichkeit auch häufig mit dem kyrillischen Buchstaben Ш (Schah) symbolisiert.

Anwendung findet der Dirac-Kamm in der Mathematik und der Signalverarbeitung mittels Fourier-Analysis.

Definition

Der Dirac-Kamm stellt eine periodische Schwartz-temperierte Distribution dar, die von der diracschen Delta-Distributionen Gebrauch macht.

$\Delta_T(t) = \sum_{n\in\mathbb Z} \delta(t - n T)$

für eine Periode T. Anschaulich ist der Dirac-Kamm also aus unendlich vielen Dirac-Stößen zusammengesetzt, die im Abstand T zueinander stehen.

Für die Anwendung des Dirac-Kamms auf eine Testfunktion gilt also

$\forall \phi\in C_0^\infty(\mathbb R)=\mathcal D(\mathbb R)$ ist $\Delta_T \phi:=\sum_{n\in\mathbb Z}\phi(nT)$.

Fourier-Transformation des Dirac-Kamms

Ebenso wie die gaußsche Glockenkurve ist der Dirac-Kamm ein Fixpunkt der Fourier-Transformation, das heißt die Fourier-Transformierte eines Dirac-Kamms ist wieder ein Dirac-Kamm, siehe Poissonsche Summenformel. Ähnlich, wie das Produkt der Breiten der korrespondierenden Gaußkurven durch die heisenbergsche Unschärferelation beschränkt ist, ist auch das Produkt der Perioden der korrespondierenden Dirac-Kämme eine Konstante:

$\mathcal{F} \left\{ \Delta_{T} \right\}(\omega) = \frac{\sqrt{2\pi}}{T} \, \sum_{n\in\mathbb Z} \delta \left(\omega - \frac{2\pi n}{T} \right) = \frac{\sqrt{2\pi}}{T} \, \Delta_{\frac{2\pi}{T}}(\omega)$

Eine Verfeinerung des Kamms im Zeitbereich führt also zu einer Vergröberung des Kamms im Frequenzbereich und umgekehrt.

Abtastung und Alias-Effekte

Mit Hilfe des Dirac-Kamms lässt sich das Abtasten einer Funktion mathematisch durch Multiplikation mit der abzutastenden Funktion beschreiben:

Abtasten durch Multiplikation mit einem Dirac-Kamm

Die Multiplikation eines glatten, schnellfallenden kontinuierlichen Signals mit einem Dirac-Kamm ist das Modell eines idealen Abtasters (engl.: sampler) mit der Abtastrate T.

In der Theorie der Signalverarbeitung stellt der Dirac-Kamm ein elegantes Hilfsmittel dar, um das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem zu beweisen und störende Alias-Effekte zu verstehen.