Sobolewscher Einbettungssatz

Ein Sobolew-Raum (nach Sergei Lwowitsch Sobolew, in englischer Umschrift Sobolev) ist in der Mathematik ein Funktionenraum von schwach differenzierbaren Funktionen, der zugleich ein Banachraum ist. Das Konzept wurde durch die systematische Theorie der Variationsrechnung zu Anfang des 20. Jahrhunderts wesentlich vorangetrieben. Diese minimiert Funktionale über Funktionen. Heute bilden Sobolew-Räume die Grundlage der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen.

Sobolew-Räume ganzzahliger Ordnung

Sobolew-Raum (schwache Ableitungen)

Es seien $\Omega \subset \R^n$ offen und $1\leq p \leq\infty$. Der Raum derjenigen reellwertigen Funktionen $u\in L^p(\Omega)$, deren gemischte partielle schwachen Ableitungen bis zur Ordnung k in L^p(Ω) liegen, ist der Sobolew-Raum W^k,p(Ω). Die Schreibweise $W_p^k(\Omega)$ ist ebenfalls üblich.

Sobolew-Norm

Für Funktionen $u\in W^{k,p}(\Omega)$ definiert man die W^k,p-Norm durch

$\|u\|_{W^{k,p}(\Omega)} = \left(\sum_{|\alpha| \le k} \|\partial^\alpha u\|_{L^p(\Omega)}^p\right)^{1/p}$

für $p < \infty$ bzw.

$\|u\|_{W^{k,\infty}(\Omega)} = \max_{|\alpha|\le k} \|\partial^\alpha u\|_{L^\infty(\Omega)}.$

Der Sobolew-Raum W^k,p(Ω) bzw. $W^{k,\infty}(\Omega)$ ist bzgl. der jeweiligen Norm vollständig.

Sobolew-Raum (Topologischer Abschluss)

Betrachten wir nun den Raum der $C^\infty(\Omega)$-Funktionen, deren partielle Ableitungen bis zum Grad k in L^p(Ω) liegen, und bezeichnen diesen Funktionenraum mit C^k,p(Ω). Da verschiedene C^k,p-Funktionen nie zueinander L^p-äquivalent (siehe auch L^p-Raum) sind, kann man C^k,p(Ω) in L^p(Ω) einbetten, und es gilt folgende Inklusion

$C^{k,p}(\Omega)\subset W^{k,p}(\Omega)\subset L^p(\Omega).$

Der Raum C^k,p(Ω) ist bzgl. der W^k,p-Norm nicht vollständig. Vielmehr ist dessen Vervollständigung gerade W^k,p(Ω). Die partiellen Ableitungen bis zur Ordnung k können als stetige Operatoren auf diesen Sobolew-Raum eindeutig stetig fortgesetzt werden. Diese Fortsetzungen sind gerade die schwachen Ableitungen.

Somit erhält man eine alternative, äquivalente Definition von Sobolevräumen (Satz von Meyers-Serrin).

Eigenschaften

Banachraum / Hilbertraum

Wie bereits erwähnt, ist W^k,p(Ω) mit der Norm $\|{\cdot}\|_{W^{k,p}(\Omega)}$ ein Banachraum. Für $1 < p < \infty$ ist er sogar reflexiv.

Für p = 2 wird die Norm durch das Skalarprodukt

$(u,v)_{W^{k,2}(\Omega)} := \sum_{|\alpha|\le k} (\partial^\alpha u, \partial^\alpha v)_{L^2(\Omega)}$

induziert. W^k,2(Ω) ist daher ein Hilbertraum, und man schreibt auch H^k(Ω): = W^k,2(Ω).

Einbettungssätze und Sobolewzahl

Mit den obigen Bezeichnungen bildet man die Sobolewzahl

$\gamma = k - \frac{n}{p}$.

Mithilfe dieser Zahl lassen sich die Beziehungen zwischen Sobolewräumen einfach darstellen. Sei Ω beschränkt in $\mathbb R^n$ und $\Omega' \subset\Omega$ eine Teilmenge oder eine glatte Untermannigfaltigkeit der Dimension n'. Dann gilt der sobolewsche Einbettungssatz

$\gamma\ge\gamma' \land k\ge k' \quad\Rightarrow\quad W^{k,p}(\Omega) \subset W^{k',p'}(\Omega').$

Die Teilmengenbeziehung ist als stetige Einbettung zu verstehen. Falls $\Omega'\neq\Omega$, handelt es sich dabei um den Spuroperator, der eine Verallgemeinerung der Restriktionsabbildung $f \mapsto f|_{\Omega'}$ darstellt. Diese kann nicht direkt auf Sobolew-Räume angewendet werden, da wir Funktionen, die fast überall gleich sind, miteinander identifiziert hatten. Der Spuroperator ist als stetige Fortsetzung des Restriktionsoperators für die stetigen Funktionen zu verstehen. Die Einbettung ist kompakt, falls γ > γ' und k > k'.

Sobolew-Raum reellwertiger Ordnung

Oft werden auch Sobolew-Räume mit reellen Exponenten s benutzt. Diese sind über die Fourier-Transformierte der beteiligten Funktionen definiert. Für nichtnegative s ist eine L²(Ω)-Funktion ein Element von $\mathcal H^s(\Omega)$, falls gilt

$(1+|\zeta|)^s\cdot \hat f(\zeta)\in L^2(\mathbb R)$.

Literatur

• H.-W. Alt: Lineare Funktionalanalysis, Springer, 5. Auflage, 2006, ISBN 3540341862
• R. A. Adams, J. J. F. Fournier: Sobolev Spaces, Academic Press, 2nd edition, 2003, ISBN 0120441438
• L. C. Evans: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2
• L. C. Evans, R. F. Gariepy: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC, 1991, ISBN 0849371570
• V. Mazja: Sobolev Spaces, Springer, 1985, ISBN 3540135898
• W. P. Ziemer: Weakly Differentiable Functions, Springer, 1989, ISBN 0-387-97017-7

Siehe auch

• Funktionalanalysis