Sonnenabstand

Einheit
Norm	Astronomische Maßeinheiten
Einheitenname	Astronomische Einheit
Einheitenzeichen	$\mathrm{AE,\, AU}$
Beschriebene Größe(n)	Länge
Größensymbol(e)	l
Dimensionsname	Weg, Strecke, Durchmesser
Dimensionssymbol	$s,\, d$
In SI-Einheiten	$\mathrm{1\, AE = 149\, 597\, 870\, 691 \, m}$

Die Astronomische Einheit (AE, international AU für Astronomical Unit) ist neben dem Lichtjahr und dem Parsec die wichtigste Längeneinheit unter den Astronomischen Maßeinheiten.

Sie ist im Internationalen Einheitensystem nicht vorgesehen. In der Astronomie ist sie jedoch unverzichtbar und wird verwendet, da manche Messergebnisse aufgrund der verwendeten Messmethode in AE und nicht in Metern erhalten werden.

Entfernungen innerhalb des Sonnensystems werden meist in AE angegeben, da sich so bequeme Zahlenwerte ergeben.

Definition

Die AE war ursprünglich definiert als die Länge der großen Halbachse der Erdbahn.

Seit 1976 definiert die Internationale Astronomische Union (IAU) die AE als den Radius einer kreisförmigen Umlaufbahn, auf der ein Objekt mit vernachlässigbarer Masse und frei von Störungen die Sonne in 2π / k Tagen umläuft.^[1] Dabei ist k die Gaußsche Gravitationskonstante, deren Wert in Astronomischen Maßeinheiten definitionsgemäß exakt k = 0,017 202 098 95 beträgt.

Die AE beträgt 149.597.870.691 Meter

Der moderne Wert wurde mittels Radar- und anderen Distanzmessungen von der Erde zu den Nachbarplaneten und zu Raumsonden bestimmt. Früher wurde die AE hauptsächlich aus Parallaxenmessungen mit dem Erdradius als Basislinie abgeleitet.

Geschichte

Erste Definition

Gemäß dem Dritten Keplergesetz gilt unter Berücksichtigung der Planetenmassen:

Für die Umlaufdauer U_P eines Planeten der Masse M_P, welcher die Sonne (Masse M_☉) auf einer Bahn mit der großen Halbachse a_P umläuft, gilt:^[2]

$\frac{U_\mathrm{P}^2}{a_\mathrm{P}^3} \, = \, \frac{4 \, \pi^2}{G \cdot (M_\odot + M_\mathrm{P})}$

(1)

Für zwei Planeten P1 und P2 folgt daraus:

$\frac{U_\mathrm{P1}^2}{U_\mathrm{P2}^2} \cdot \frac{M_\odot + M_\mathrm{P1}}{M_\odot + M_\mathrm{P2}} \, = \, \frac{a_\mathrm{P1}^3}{a_\mathrm{P2}^3}$

(2)

Dieses Gesetz enthält nur Verhältnisse der Umlaufzeiten, der Massen und der großen Halbachsen. Das Zweite Keplergesetz enthält in ähnlicher Weise nur eine Aussage über die Verhältnisse der vom Fahrstrahl in bestimmten Zeitintervallen überstrichenen Flächen. Diese Gesetze liefern die Positionen der Planeten daher zunächst in einem noch unbestimmten Maßstab. Man kann deshalb die Einheiten der vorkommenden Längen, Zeitintervalle und Massen so wählen, dass sie die Rechnungen möglichst einfach gestalten. In der klassischen Astronomie wählte man üblicherweise als Astronomische Längeneinheit die Länge der großen Halbachse der Erdbahn (1 AE), als Astronomische Masseneinheit die Masse der Sonne 1 M_☉ und als Astronomische Zeiteinheit den Tag 1 d.

Da die Positionen der Himmelskörper an der scheinbaren Himmelskugel (also die Richtungswinkel, unter denen sie dem Beobachter erscheinen) von absoluten Maßstäben unabhängig sind, konnten die Astronomen mit diesen relativen Maßstäben bereits hochpräzise Positionsastronomie betreiben. Die Entfernung eines Planeten konnte außerdem für einen gewünschten Zeitpunkt mit hoher Genauigkeit in Astronomischen Einheiten angegeben werden, die Entfernung in Metern hingegen weit weniger genau, da die Länge der Astronomischen Einheit in Metern nur mäßig genau bekannt war. Ähnlich konnten die Massen der Planeten recht genau in Sonnenmassen angegeben werden, deutlich weniger genau in Kilogramm.

Trotz mittlerweile erheblich verbesserter Kenntnis der Umrechenfaktoren besteht diese Situation grundsätzlich heute noch.

Die Gravitationskonstante in Bezug zur ersten Definition

Der Zahlenwert der Gravitationskonstanten G in der Gleichung  (1) hängt von der Wahl der Einheiten für die vorkommenden physikalischen Größen ab. Für die Umlaufdauer des Planeten folgt aus jener Gleichung durch Umstellen

$U_\mathrm{P} \, = \, \frac{2 \pi \cdot a_\mathrm{P}^\frac{3}{2}}{\sqrt{G} \cdot \sqrt{M_\odot(1 + \frac{M_\mathrm{P}}{M_\odot})}}$

(3)

Mit den Abkürzungen

$k := \sqrt{G}$ und $\mu_\mathrm{P} := \frac{M_\mathrm{P}}{M_\odot}$

(4)

ergibt sich

$U_\mathrm{P} \, = \, \frac{2 \pi \cdot a_\mathrm{P}^\frac{3}{2}}{k \cdot \sqrt{M_\odot(1 + \mu_\mathrm{P})}}$

(5)

C.F. Gauß bestimmte 1809 den Wert der Gravitationskonstanten k in Astronomischen Maßeinheiten, indem er die Formel auf die Erdbahn anwendete

$a_\mathrm{P} \, = \, a_\mathrm{E} \, = \, 1 \mathrm{AE}$, $M_\odot = 1 \mathrm{M_\odot}$

(6)

und die damals besten Zahlenwerte für U_E und μ_E einsetzte:^[3]

$U_\mathrm{E} \, = \, 365{,}2563835 \ \mathrm{d}$

(7)

(siderisches Jahr)

$\mu_\mathrm{E} \, = \, 1/354710 \ \mathrm{M_\odot} \, = \, 0{,}0000028192 \ \mathrm{M_\odot}$

(8)

$k \, = \, \frac{2 \pi}{U_\mathrm{E} \cdot \sqrt{1+\mu_\mathrm{E}}} \, = \, 0{,}01720209895 \ \frac{\mathrm{AE}^\frac{3}{2}}{\mathrm{d} \, \sqrt{\mathrm{M_\odot}}}$

Dieser Zahlenwert der Gravitationskonstanten in Astronomischen Maßeinheiten (die so genannte gaußsche Gravitationskonstante) wurde in der Folge als Standardwert für zahlreiche astronomische Berechnungen verwendet.

Neudefinition

Mit stets verbesserter Kenntnis von U_E und μ_E hätte auch der Zahlenwert von k ständig verbessert werden können. Der gaußsche Wert lag jedoch bald zahlreichen fundamentalen Tabellen zugrunde, welche bei jeder Veränderung von k hätten neu berechnet werden müssen. Eine Alternative bestand darin, in der Gleichung

$U_\mathrm{E} \, = \, \frac{2 \pi \cdot a_\mathrm{E}^\frac{3}{2}}{k \cdot \sqrt{1 + \mu_\mathrm{E}}}$

(11)

den Zahlenwert von k beizubehalten und stattdessen die Längeneinheit, in der a_E gemessen wird, so anzupassen, dass der neue Zahlenwert von a_E die Gleichung auch für die neuen Werte von U_E und μ_E wieder erfüllt. Die große Halbachse a_E der Erdbahn verlor damit ihren definierenden Status: sie hatte in Astronomischen Maßeinheiten nicht mehr strikt die Länge 1 AE. Die Längeneinheit, bezüglich welcher a_E den die Gleichung erfüllenden Zahlenwert annahm, war die neue AE. Da die Definition der AE damit aber ohnehin nicht mehr unmittelbar durch die Erdbahn gegeben war, löste sich die IAU auch von der Erdmasse μ_E und bezog die neue Definition auf einen fiktiven Körper mit vernachlässigbar kleiner Masse:

$\mu_\mathrm{f} \, \rightarrow \, 0$

(12)

Denkt man sich einen solchen fiktiven Körper auf einer ungestörten Bahn, welche dem Gesetz  (1) gehorcht, und deren große Halbachse gleich der zu bestimmenden neuen Längeneinheit ist

$a_\mathrm{f} \, = \, 1 \mathrm{AE}$

(13)

so gilt für ihn

$U_\mathrm{f} \, = \, \frac{2 \pi}{k}$

(14)

Dieser definierende Körper hat also eine Umlaufdauer von

2π / k = 365,256898326... Tagen

(15)

(sogen. Gaußsches Jahr)[4]

Die fiktive Bahn lässt sich ohne Verlust der Allgemeinheit als kreisförmig annehmen. Damit lautet die Definition:

Die Astronomische Einheit AE ist der Radius einer kreisförmigen Umlaufbahn, auf welcher ein Körper mit vernachlässigbarer Masse und frei von Störungen in 2 π / k Tagen um die Sonne laufen würde, wobei k die gaußsche Gravitationskonstante ist.^[1]

Erdbahn und AE

Für die Umlaufzeiten der Erde und des definierenden Körpers liefert das Dritte Keplergesetz:

$\frac{U_\mathrm{E}^2}{U_\mathrm{f}^2} \cdot \frac{M_\mathrm{S} + M_\mathrm{E}}{M_\mathrm{S} + 0} \, = \, \frac{a_\mathrm{E}^3}{1}$

(21)

Auflösen nach a_E und Einsetzen der aktuellen Zahlenwerte

$\mu_\mathrm{E} \, = \, 1/328900{,}561400$ [5]

(22)

und

$U_\mathrm{E} \, = \, 365{,}256363 \, \mathrm{d}$ [6]

(23)

ergibt

$a_\mathrm{E} \, = \, \sqrt[3]{ \frac{U_\mathrm{E}^2}{(2\pi/k)^2} \cdot (1 + \mu_\mathrm{E}) } \, = \, 1{,}000000036 \, AE$ [7]

(24)

Aus dem Verhältnis der Umlaufzeiten beider Körper folgt also das Verhältnis ihrer großen Halbachsen. Die eine davon definiert aber gerade die Astronomische Einheit; das Ergebnis ist also die in AE ausgedrückte große Halbachse der Erdbahn, welche etwas größer ist als 1 AE.

Heliozentrische Gravitationskonstante

Rechnet man Umlaufzeit U_f und große Halbachse a_f = 1 AE des fiktiven masselosen Körpers von Astronomischen Maßeinheiten wieder nach SI-Einheiten um

1d = 86400s, 1AE = Lm

(31)

und setzt das Ergebnis in Gleichung  (1) ein, so ergibt sich:

$\frac{(U_\mathrm{f} \cdot 86400 \, \mathrm{\frac{s}{d}})^2}{(1 \mathrm{AE} \cdot L \, \mathrm{\frac{m}{AE}} )^3} \, = \, \frac{4 \, \pi^2}{G \cdot M_\odot}$

(32)

wobei L der noch zu bestimmende Umrechnungsfaktor von Astronomischen Einheiten in Meter ist. Einsetzen von

Uf = 2π / k

(33)

und Auflösen nach k liefert:

$k^2 \, = \, GM_\odot \cdot \frac{(86400 \, \mathrm{\frac{s}{d}})^2}{(L \, \mathrm{\frac{m}{AE}} )^3}$

(34)

Die heliozentrische Gravitationskonstante GM_☉ ist das Produkt aus der newtonschen Gravitationskonstanten und der Sonnenmasse. Sie lässt sich aus der Vermessung der Planetenbahnen ableiten und ist mit wesentlich höherer Genauigkeit bekannt als ihre beiden Einzelfaktoren.

Die eben genannte Formel stellt nichts anderes dar als die Umrechnung von G^1/2 (in SI-Einheiten) nach k (in Astronomischen Maßeinheiten). Die Definition der AE lässt sich daher auch formulieren als

Die astronomische Längeneinheit ist jene Länge, für welche die gaußsche Gravitationskonstante k den Wert 0,017 202 098 95 annimmt, wenn die Maßeinheiten die astronomischen Einheiten für Länge, Masse und Zeit sind. [8]

Umrechnung

Eine Astronomische Einheit (1 AE) entspricht

• 149.597.870.691 Meter ≈ 149,598 ∙ 10⁶ km

Ausgedrückt in interstellaren Längenmaßen beträgt sie

• 499,004.784 Lichtsekunden oder
• 4,848.136.811.13 ∙ 10^-6 pc (Parsec) oder exakt
• $\tan \left( \frac{1^\circ}{3600}\right) pc \approx \frac{\pi}{180 \cdot 60 \cdot 60} pc$

Messung

Aus der Vermessung der „mittleren Bewegungen“ (d.h. der mittleren Geschwindigkeiten) oder der Umlaufperioden der Planeten, welche sich sehr genau bestimmen lassen, folgen über das Dritte Keplergesetz (in der newtonschen Fassung inklusive relativistischer Korrekturen^[9]) mit derselben Genauigkeit die großen Halbachsen der Planeten in AE. Die Abstandsmessungen zu den Planeten mittels Radar bestimmen deren Bahngeometrie und damit die großen Halbachsen ihrer Bahnen in Metern; das Verhältnis zur Länge der großen Halbachsen in AE liefert die Länge der AE in Metern sowie den Zahlenwert von GM_☉ in m³/s².^[10]

Die folgende Tabelle listet einige moderne Ephemeriden auf, die durch Anpassung der physikalischen Bewegungsgleichungen an umfangreiches Beobachtungsmaterial gewonnen wurden. Jede solche Anpassung liefert unter anderem wie eben beschrieben einen Zahlenwert für den so genannten Skalenfaktor des Sonnensystems, welcher die Länge der AE in Metern angibt (die jeweils genannten Unsicherheiten sind in der Regel formale Unsicherheiten, die im Zuge der Anpassung aus der Konsistenz der Messdaten untereinander abgeschätzt werden und die meist zu optimistisch ausfallen. Ein realistischeres Bild der Unsicherheiten gewinnt man durch Vergleich der Ergebnisse untereinander):

AE	Ephemeride
149 597 870 684 m ± 30 m	JPL DE 102, Newhall 1983[11]
149 597 870 660 m ± 2 m	JPL DE118, DE200, Standish 1990[12][13]
149 597 870 620 m ± 180 m	Krasinsky 1993[14]
149 597 870 691 m ± 6 m	JPL DE405, Standish 1998[15]
149 597 870 691,2 m ± 0,2 m	IAA EPM2000, Pitjeva 2000[16]
149 597 870 697,4 m ± 0,3 m	JPL DE410, Standish 2003[17]
149 597 870 696,0 m ± 0,1 m	IAA EPM2004, Pitjeva 2004[18]
149 597 870 700,85... m	JPL DE414, Standish 2006[19]

Die Ephemeride DE405 des JPL liegt derzeit zahlreichen Jahrbüchern und sonstigen Ephemeridenwerken zugrunde. Der aus ihr abgeleitete Zahlenwert ist daher gegenwärtig der gebräuchlichste Standardwert. Er wird auch vom IERS empfohlen.^[20]

Streng genommen ist der genannte Zahlenwert nicht der SI-Wert, da den Berechnungen der Planetenbewegungen die auf den Schwerpunkt des Sonnensystems bezogene Zeitskala TDB zugrunde gelegt wird, während die SI-Sekunde sich definitionsgemäß auf die Erdoberfläche (genauer: das Geoid) bezieht und aus relativistischen Gründen etwas schneller läuft. Rechnet man den TDB-Wert auf strikte SI-Einheiten um, so ergibt sich:^[21]

Zeitskala	AE
TDB	149 597 870 691 m
SI	149 597 871 464 m

Veränderlichkeit der AE

Auswertungen von Radarmessungen aus dem Zeitraum von 1961 bis 2003 scheinen anzudeuten, dass der Skalenfaktor des Sonnensystems langsam zunimmt. Es werden Änderungsraten von (15 ± 4) Meter/Jahrhundert^[22] und (7 ± 2) Meter/Jahrhundert^[23] genannt; die Ursache ist bislang unbekannt.

• Die naheliegende Vermutung, der beobachtete Effekt werde durch die Expansion des Universums verursacht, erweist sich als unzutreffend. Theoretische Untersuchungen anhand gängiger kosmologischer Modelle zeigen, dass die kosmische Expansion keine messbaren Auswirkungen auf die Bewegung der Planeten hat.^[22]
• Der durch den Sonnenwind und die Energieabstrahlung verursachte Massenverlust der Sonne führt zu einer langfristigen Vergrößerung der Planetenbahnradien um etwa 0,3 Meter/Jahrhundert^[22] Dieser Effekt verursacht zwar aufgrund der Abnahme der von der Sonne ausgeübten Gravitationskraft eine Vergrößerung der Abstände der Planeten von der Sonne und untereinander, aufgrund der Abnahme der Sonnenmasse M_☉ jedoch gleichzeitig wegen Gleichung (34) eine Verringerung^[24] der AE nach IAU-Definition.
• Eine Abnahme der Gravitationskonstanten G um etwa 2×10^-10 Prozent pro Jahr könnte den Effekt erklären, jedoch kann nach neueren Messungen eine eventuelle Veränderlichkeit von G nicht größer als etwa 0,06×10^-10 Prozent pro Jahr sein.^[18]

Bislang lässt sich nicht ausschließen, dass es sich lediglich um systematische Fehler in den Beobachtungen handelt.^[22][23] Bei der Berechnung der Planetenbahnen oder der Signalausbreitung unberücksichtigt gebliebene Effekte werden für weniger wahrscheinlich gehalten.^[22] Erklärungsversuche im Rahmen exotischerer Gravitationstheorien wie zum Beispiel der String-Theorie werden derzeit als „hoch spekulativ“ angesehen.^[25]

Siehe auch

• Keplerellipse
• Sonnenparallaxe

Literatur

• Standish, E.M.: The Astronomical Unit now. Proceedings IAU Colloquium No. 196, 2004, S. 163–179 (PDF 1,5 MB)

Quellen

1. ↑ ^{a b} Seidelmann P.K. (Hrsg.): Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac. University Science Books, Mill Valley 1992, ISBN 0-935702-68-7; S. 722
2. ↑ Schödlbauer A.: Geodätische Astronomie. Walter de Gruyter, Berlin 2000, ISBN 3-11-015148-0; S. 76
3. ↑ Gauß C.F.: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium. Perthes, Hamburg 1809 (Online-Scan), S. 14
4. ↑ Schödlbauer, S. 111
5. ↑ The Astronomical Almanac for the Year 2006. U.S. Government Printing Office, Washington 2004, ISBN 0-11-887333-4; S. K7 (Summe der Massen von Erde und Mond)
6. ↑ The Astronomical Almanac 2006, S. C1
7. ↑ Schödlbauer, S. 112
8. ↑ The Astronomical Almanac 2006, S. K6
9. ↑ Newhall X.X., Standish E.M., Williams J.G.:DE 102: a numerically integrated ephemeris of the Moon and planets spanning forty-four centuries. Astronomy and Astrophysics 125, 150–167 (1983) (PDF 3,1 MB)
10. ↑ Newhall 1983; S 162
11. ↑ Newhall 1983; AE S. 160, Unsicherheit S. 150, S. 162
12. ↑ Standish, E.M.: The observational basis for JPL's DE 200, the planetary ephemerides of the Astronomical Almanac. Astronomy and Astrophysics 233, 252–271 (1990) (PDF 2,6 MB)
13. ↑ Seidelmann, S. 302
14. ↑ Krasinsky G.A. et al.: The Motion of Major Planets from Observations 1769–1988 and Some Astronomical Constants. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 55, 1–23 (1993) (PDF 1,9 MB)
15. ↑ JPL Interoffice Memorandum IOM 312.F - 98 - 048; August 26, 1998 (PS 938 KB); Unsicherheit nach Astronomical Almanac 2006, S. K6
16. ↑ Pitjeva E.V.: Progress in the determination of some astronomical constants from radiometric observations of planets and spacecraft. Astronomy and Astrophysics 371, 760–765 (2001) (PDF 108 KB)
17. ↑ JPL Interoffice Memorandum IOM 312.N - 03 - 009; April 24, 2003 (PDF 6,7 MB)
18. ↑ ^{a b} Pitjeva, E.V.: Precise determination of the motion of planets and some astronomical constants from modern observations. Proceedings IAU Colloquium No. 196, 2004, S. 230–241 (PDF 190 KB)
19. ↑ JPL Interoffice Memorandum IOM 343R - 06 - 002; April 21, 2006 (PDF 1,0 MB)
20. ↑ McCarthy D.D., Petit G. (Hrsg.): IERS Conventions (2003). Verlag des Bundesamtes für Kartographie und Geodäsie, Frankfurt/M. 2004 (online)
21. ↑ The Astronomical Almanac 2006, S. K6
22. ↑ ^{a b c d e} Krasinsky G.A., Brumberg V.A.: Secular Increase of Astronomical Unit from Analysis of the Major Planet Motions, and its Interpretation. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 90: 267–288 (2004) (PDF 206 KB)
23. ↑ ^{a b} Standish E.M.: The Astronomical Unit now. In: D.W. Kurtz (Hrsg.): Transits of Venus: New Views of the Solar System and Galaxy, Proceedings IAU Colloquium No. 196, 2004, 163–179 (PDF 1,5 MB)
24. ↑ U. Bastian: Das siderische Jahr und die Astronomische Einheit. Sterne und Weltraum 6/2007, S. 9
25. ↑ Preuss O., Dittus H., Lämmerzahl C.: Überraschungen vor der Haustür – Ist die Physik innerhalb des Sonnensystems wirklich verstanden? Sterne und Weltraum 4/2007, 27–34