Startknoten einer Kante

Ein Graph besteht in der Graphentheorie anschaulich aus einer Menge von Punkten, zwischen denen Linien verlaufen. Die Punkte nennt man Knoten oder Ecken, die Linien nennt man meist Kanten, manchmal auch Bögen. Auf die Form der Knoten und Kanten kommt es im allgemeinen dabei nicht an. Knoten und Kanten können auch mit Namen versehen sein, dann spricht man von einem benannten Graphen.

Anschauung für spezielle Graphen

In so genannten Multigraphen können zwei Knoten auch durch mehrere Kanten verbunden sein, was in einfachen Graphen nicht erlaubt ist. Statt mehrere Linien zwischen zwei Punkten zu zeichnen, kennzeichnet man Mehrfachkanten auch häufig durch ihre Vielfachheit.

Gerichtete Graphen

In gerichteten Graphen bzw. orientierten Graphen werden Kanten statt durch Linien durch Pfeile gekennzeichnet, wobei der Pfeil vom ersten zum zweiten Knoten zeigt.

Hypergraph

Bei Hypergraphen verbindet eine Kante (auch Hyperkante genannt) nicht nur zwei, sondern mehrere Knoten gleichzeitig. Hypergraphen sind meist nur schwer darstellbar. Hypergraphen mit wenigen Kanten (so genannte dünne Graphen) zeichnet man so, dass man eine Menge von Punkten zeichnet, die den Knoten entsprechen, und die zu einer Hyperkante gehörigen Punkte werden dann durch eine geschlossene Linie umkreist, die somit die Teilmenge der zu ihr gehörenden Knoten innerhalb aller Knoten angibt. Bei Hypergraphen mit vielen Kanten wird diese Darstellung aber schnell unübersichtlich. Weniger intuitiv, aber übersichtlicher ist es dann, einen Hypergraphen als bipartiten Meta-Graphen darzustellen, wobei die eine der beiden Bipartitionsmengen den Knoten des Hypergraphen, die andere Bipartitionsmenge den Hyperkanten des Hypergraphen entspricht. Die Kanten zwischen diesen beiden Bipartitionsmengen symbolisieren dann die Zugehörigkeit der Knoten zu den Hyperkanten.

Definitionen

Ein Graph G ist ein Tupel (V,E), wobei V eine Menge von Knoten (englisch vertex/vertices, oft auch Ecken genannt) und E eine Menge von Kanten (engl. edge/edges, manchmal auch Bögen genannt) bezeichnet. Dabei ist E in

• ungerichteten Graphen ohne Mehrfachkanten eine Teilmenge aller 2-elementigen Teilmengen von V,
• gerichteten Graphen ohne Mehrfachkanten eine Teilmenge des kartesischen Produktes $V \times V$,
• ungerichteten Graphen mit Mehrfachkanten eine Multimenge über der Menge aller 2-elementigen Teilmengen von V,
• gerichteten Graphen mit Mehrfachkanten eine Multimenge über dem kartesischen Produkt $V \times V$,
• Hypergraphen eine Teilmenge der Potenzmenge von V.

1. ungerichteter Graph ohne Mehrfachkanten

2. gerichteter Graph ohne Mehrfachkanten

3. ungerichteter Graph mit Mehrfachkanten

4. gerichteter Graph mit Mehrfachkanten

Den Zusatz „ohne Mehrfachkanten“ lässt man gewöhnlich weg und nennt Graphen mit Mehrfachkanten Multigraphen. Ferner verzichtet man meist auf das Attribut „ungerichtet“ und kennzeichnet nur gerichtete Graphen explizit. Ungerichtete Graphen ohne Mehrfachkanten nennt man auch häufig schlicht oder einfach. Eine andere Bezeichnung für gerichtete Graphen ist Digraph (Directed Graph).

Um kürzer schreiben zu können, definiert man gewöhnlich zwei Abbildungen V und E, die einem Graphen G = (V,E) seine Knoten- bzw. Kantenmenge zuordnen, d. h. V(G): = V und E(G): = E. Man beachte, dass trotz derselben Symbole (V bzw. E) die Knoten- bzw. Kantenmenge etwas anderes als die gerade definierten Abbildungen darstellen. Wenn es nicht anders gesagt wird, bedeuten V bzw. E ohne Argument gewöhnlich die Knoten- bzw. Kantenmenge des gerade betrachteten Graphen. V bzw. E mit Argument bedeuten hingegen immer die gerade definierten Abbildungen, deren Ergebnis dann natürlich wieder eine Knoten- bzw. Kantenmenge ist, und zwar die des als Argument angegebenen Graphen.

Ist G ein Graph, so sagt man allgemein v ist Knoten bzw. Ecke von G, wenn v zu V(G) gehört. Ferner sagt man, falls G

• ungerichteter Graph ohne Mehrfachkanten ist und e zu E(G) gehört, e ist eine ungerichtete Kante von G,
• gerichteter Graph ohne Mehrfachkanten ist und e zu E(G) gehört, e ist eine gerichtete Kante von G,
• ungerichteter Graph mit Mehrfachkanten ist und E(G)(e) > 0, e ist eine ungerichtete Kante von G,
• gerichteter Graph mit Mehrfachkanten ist und E(G)(e) > 0, e ist eine gerichtete Kante von G,
• Hypergraph ist und e zu E(G) gehört, e ist eine Hyperkante von G.

In einer ungerichteten Kante e = {v,w} bezeichnet man v und w als Endknoten von e. In einer gerichteten Kante e = (v,w) bezeichnet man v als Startknoten und w als Endknoten von e.

Ist in Multigraphen sogar E(G)(e) > 1, so spricht man auch von einer Multi- oder Mehrfachkante. E(G)(e) bezeichnet man auch als die Vielfachheit von e. Hat eine Kante e in gerichteten Graphen die Form (v,v), so spricht man von einer Schleife. Ist e in einem Multigraphen G zusätzlich eine Mehrfachkante, so spricht man von einer Mehrfachschleife. Eine 1- oder 2-elementige Menge von geordneten Paaren mit der Eigenschaft, dass sie neben (v,w) auch (w,v) enthält (im 1-elementigen Fall ist dies natürlich nur bei v = w möglich) nennt man, falls G

• gerichteter Graph ohne Mehrfachkanten ist und sowohl (v,w) als auch (w,v) Kante von G sind, ungerichtete Kante von G,
• gerichteter Graph mit Mehrfachkanten ist und E(G)((v,w)) = E(G)((w,v)), ungerichtete Kante von G.

1-elementige ungerichtete Kanten in gerichteten Graphen sind offensichtlich also immer Schleifen. Umgekehrt lässt sich zu jeder Schleife e leicht eine ungerichtete Kante konstruieren (nämlich {e}). Schleifen sind in diesem Sinne also immer ungerichtet, weshalb man gewöhnlich das Attribut „gerichtet“ weg lässt. Ist jede Kante eines gerichteten Graphen G Element einer ungerichteten Kante von G, so nennt man G auch symmetrisch.

Man lässt gewöhnlich in ungerichteten Graphen das Attribut „ungerichtet“ für Kanten weg. In gerichteten Graphen lässt man das Attribut „gerichtet“ für Kanten gewöhnlich nur dann weg, falls man keine ungerichteten Kanten betrachtet. In Hypergraphen sagt man statt Hyperkante auch oft einfach nur Kante.

Gerichtete Graphen ohne Schleifen nennt man schleifenlos oder schleifenfrei.

Als Knotenzahl $n(G) = \vert V(G) \vert$ eines Graphen G bezeichnet man die Anzahl seiner Knoten, als Kantenzahl $m(G) = \vert E(G) \vert$ bezeichnet man die Anzahl seiner Kanten (in Multigraphen summiert man über die Vielfachheit der Kanten).

Einen Graphen, dessen Knotenmenge endlich ist, nennt man [endlichen Graphen|endlicher Graph]. Zwangsläufig ist in diesen auch die Kantenmenge endlich. Im Gegensatz dazu nennt man einen Graphen, dessen Knotenmenge unendlich ist, unendlichen Graphen. Meist betrachtet man nur endliche Graphen und lässt daher das Attribut „endlich“ weg, während man unendliche Graphen explizit kennzeichnet.

Zyklisch/azyklisch

	Wenn ein gerichteter Graph Zyklen enthält, also die Möglichkeit in Pfeilrichtung laufend denselben Punkt ein weiteres Mal (auf einem Rundweg) zu erreichen, dann nennt man ihn zyklisch. Er repräsentiert eine beliebige mathematische Relation, jedoch keine Ordnungsrelation.
	Enthält ein gerichteter Graph keinen Zyklus, nennt man ihn azyklisch. Mathematisch repräsentiert er eine Halbordnung. In der objektorientierten Programmierung entspricht eine Polyhierarchie einem gerichteten azyklischen Graphen.

Gewichteter Graph

Ein Graph ist gewichtet bzw. bewertet, wenn die Kantenmenge E mit Werten versehen ist. Die Bewertung eines Graphen wird durch eine quadratische Bewertungsmatrix

$B \in \mathbb{R}^{m \times m}$ mit m = | V |

beschrieben.

Bemerkungen

Ungerichtete Graphen ohne Mehrfachkanten sind offensichtlich Spezialfälle von Hypergraphen. Multigraphen, in denen keine Mehrfachkanten vorkommen, sind zwar nicht formal, aber anschaulich äquivalent zu Graphen ohne Mehrfachkanten, weshalb man auch diese als Graphen ohne Mehrfachkanten bezeichnet. Es gibt offensichtlich eine einfache bijektive Zuordnung zwischen den beiden Varianten. In diesem Sinne sind Graphen ohne Mehrfachkanten also Spezialfälle von Graphen mit Mehrfachkanten. Ähnlich verhält es sich mit ungerichteten Graphen, die in gewissem Sinn Spezialfälle von gerichteten Graphen sind. Ist ein gerichteter Graph symmetrisch und schleifenlos, so bezeichnet man diesen auch als ungerichtet, da es offensichtlich auch hier eine einfache eineindeutige Zuordnung zwischen beiden Varianten gibt (siehe auch Repräsentation von Graphen im Computer).

Es lassen sich natürlich auch ungerichtete Graphen mit Schleifen definieren, wobei man diese wohl am einfachsten wie eben als (formale) Spezialfälle von gerichteten Graphen definiert und die Bedingung der Schleifenlosigkeit weg lässt. Solche Graphen sind aber nur selten Gegenstand der Betrachtungen in der Graphentheorie.

Der wohl allgemeinste Typ von Graphen sind gerichtete Hypergraphen mit Mehrfachkanten. Jeder oben definierte Graphentyp kann dann als Spezialfall von diesem betrachtet werden. Solche Graphen sind aber so gut wie gar nicht Gegenstand der Betrachtungen in der Graphentheorie, weshalb sie hier auch nicht näher erläutert werden.

Sollen Graphen als Darstellung eines Sachverhaltes herhalten, werden Algorithmen benötigt, die für das Graphzeichnen benötigt werden. Diese Disziplin der Informatik hat sich in den letzten Jahren stets fortentwickelt und liefert Lösungen für unterschiedliche Visualisierungen, die auf Graphen beruhen.

Erweiterungen

Graphen können mit weiteren Eigenschaften bzw. Informationen ergänzt werden. Eine Erweiterung von Graphen G = (V,E) zu knotengefärbten Graphen erhält man, indem das Tupel (V,E) zu einem Tripel (V,E,f) ergänzt wird. f ist eine Abbildung von V in die Menge der natürlichen Zahlen. Anschaulich gibt man jedem Knoten damit eine Farbe.

Statt der Knoten kann man in Graphen ohne Mehrfachkanten und in Hypergraphen auch die Kanten färben und spricht dann von einem kantengefärbten Graph. Dazu erweitert man ebenfalls das Tupel (V,E) zu einem Tripel (V,E,f), wobei f aber eine Abbildung von E (statt von V) in die Menge der natürlichen Zahlen ist. Anschaulich gibt man jeder Kante damit eine Farbe. In Graphen mit Mehrfachkanten ist dies zwar prinzipiell auch möglich, aber schwieriger zu definieren, insbesondere, wenn Mehrfachkanten entsprechend ihrer Vielfachheit mehrere verschiedene Farben zugeordnet werden sollen.

Statt von knoten- bzw. kantengefärbten Graphen spricht man von knoten- bzw. kantengewichteten Graphen, falls f statt in die natürlichen Zahlen in die reellen Zahlen abbildet. Knoten- bzw. kantengefärbte Graphen sind also Spezialfälle von knoten- bzw. kantengewichteten Graphen.

Man bezeichnet f(v) bzw. f(e) auch als Gewicht des Knotens v bzw. der Kante e. Zur Unterscheidung spricht man auch von Knotengewicht bzw. Kantengewicht. Eine solche Gewichtung wird erforderlich, wenn die Information über Knotenbeziehungen nicht ausreicht. Fasst man beispielsweise das Straßennetz (vereinfacht) als Graph auf (Orte sind Knoten, die Orte verbindende Straßen sind Kanten), so könnte eine Gewichtung der Kanten Aufschluss über die Distanz zwischen zwei Orten geben.

Analog gibt es auch benannte Graphen (V,E,f,g), bei denen Knoten und/oder Kanten einen Namen tragen, und die Abbildungen f bzw. g den Knoten bzw. Kanten einen Namen zuordnen. Die zuvor abgebildeten Beispiele sind benannte Graphen, bei denen die Knoten mit Buchstaben benannt wurden. Dies wird oft bei Visualisierungen gemacht, so dass man besser über den Graphen diskutieren kann.

Außerdem kann man gleichzeitig oder mehrfach Knoten und Kanten färben, gewichten oder benennen. Die genaue Definition wird dann normalerweise beim speziellen Anwendungsfall erläutert.

Man beachte, dass die Begriffe „Färbung“ und „färben“ in der Graphentheorie auch eine speziellere Bedeutung besitzen. Exakt spricht man dann zwar von gültiger Färbung, lässt das Attribut „gültig“ aber meist weg.

Literatur

• Reinhard Diestel: Graphentheorie. 3 Auflage. Springer, 2006, ISBN 3540213910. 
• Jürgen Ebert: Effiziente Graphenalgorithmen. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1981, ISBN 3-400-00424-3. 
• Dieter Jungnickel: Graphen, Netzwerke und Algorithmen. 3 Auflage. BI Wissenschaftsverlag, 1994, ISBN 3-411-14263-4. 

Siehe auch

• Wege, Pfade, Zyklen und Kreise in Graphen
• Zufallsgraph
• Small-world-Netzwerk
• Skalenfreies Netz