Stromverstärkungsfaktor

Das physikalische Verhalten des Transistors basiert im Wesentlichem auf dem der Diode, wodurch die entsprechenden Formeln (in einer etwas abgewandelten Form) auch auf den Transistor angewandt werden können. Zusätzlich gilt es einige weitere Effekte wie die Stromverstärkung zu berücksichtigen.

Formelzeichen

Im Folgenden werden die hier verwendeten Formelzeichen verwendet. Für weitere Formelzeichen siehe auch „Ersatzschaltungen des Bipolartransistors“.

Ströme

	-Strom	-Dauer- strom	-Spitzen- strom
Kollektor-	IC	IC,max	ICM
Basis-	IB	IB,max	IBM
Emitter-	IE	IE,max	IEM

• Sättigungssperrstrom: $I_S \approx 10^{-16} \dots 10^{-12} \, \mathrm{A}$
• Kollektor-Basis-Sperrstrom: I_CBO
• Emitter-Basis-Sperrstrom: I_EBO
• Kollektor-Emitter-Sperrstrom: I_CEO bzw. I_CES

Spannungen

• Kollektor-Emitter Spannung: U_CE
• Basis-Emitter Spannung: U_BE
• Kollektor-Basis-Spannung: U_CB
• Early-Spannung: U_A

  $U_{A,pnp} \approx 30 \dots 75 \, \mathrm{V}$

  $U_{A,npn} \approx 30 \dots 150 \, \mathrm{V}$

• Emitter-Basis Durchbruchsspannung: $U_{(BR)EBO}\approx 5\dots 7\,\mathrm{V}$
• Kollektor-Basis Durchbruchsspannung: U_(BR)CBO

  $U_{(BR)CBO}\approx 20\dots 80\,\mathrm{V}$ bei Niederspannungstransistoren

  $U_{(BR)CBO} < 1{,}3 \,\mathrm{kV}$ bei Hochspannungstransistoren

Widerstände

• Kleinsignalausgangswiderstand: r_CE
• Kleinsignaleingangswiderstand: r_BE

Leistungen

• Verlustleistung: P_V
• Maximale Verlustleistung:

  P_tot oder P_max (allgemein)

  P_V,25(A) (Umgebungsluftgekühlt; bei 25 °C)

  P_V,25(C) (mit zusätzlicher Kühlung; bei 25 °C)

Andere

• Großsignalverstärkung: B

  $B \approx 10 \dots 100$ bei Leistungstransistoren

  $B \approx 100 \dots 500$ bei Kleinleistungstransistoren

  $B \approx 500 \dots 10^4$ bei Darlington-Transistoren

• Kleinsignalverstärkung: β
• Steilheit: S
• Rückwärtssteilheit: S_r
• Arbeitspunkt: AP
• Umgebungstemperatur: T_A
• Gehäusetemperatur: T_C

Stromverstärkungsfaktor

Man unterscheidet beim Bipolartransistor den Gleichstromverstärkungsfaktor B (auch h_FE) und die differentielle Stromverstärkung β (auch h_fe). Beide können sehr unterschiedlich sein (je nach Aufbau und Dotierung des Transistors). Sollten im Datenblatt keine anderen Angaben zu β zu finden sein, kann man die Näherung β = B verwenden.

Die Formel für den Gleichstrom-Verstärkungsfaktor lautet:

$B=h_{FE}=\frac{I_{\rm C}}{I_{\rm B}}$

Diese Formel kann für die meisten Berechnungen eingesetzt werden, da sich die durch den Early-Effekt verursachte Abhängigkeit des Gleichstromverstärkungsfaktors B von U_CE nur geringfügig auswirkt.

Unter Berücksichtigung des Early-Effekts erhält man:

$B \left( U_{BE}, U_{CE} \right) = B_0 \left( U_{BE} \right) \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A}} \right)$

wobei B₀ die ideale Stromverstärkung ohne Early-Effekt darstellt.

Bei Wechselstrom tritt die differenzielle Stromverstärkung auf. Diese ergibt sich aus:

$\beta=\frac{\part I_{\rm C}}{\part I_{\rm B}}$ mit U_CE = konst.

Durch Einsetzen erhält man den Zusammenhang zwischen B und ß:

$\beta = \frac{\part I_C}{\part \left( \frac{I_C}{B \left( I_C, U_{CE} \right)} \right)} = \frac{B}{1 - \frac{I_C}{B} \, \frac{\part B}{\part I_C}}$

Man bezeichnet B auch als Großsignalverstärkung und β als Kleinsignalverstärkung.

Großsignalgleichungen

Über die Gleichungen der Diode zeigt sich eine exponentielle Abhängigkeit der Ströme I_B und I_C von der Spannung U_BE. Für den Normalbetrieb ergibt sich somit:

$I_C = I_S \, e^{\frac{U_{BE}}{U_T}} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A}} \right)$

$I_B = \frac{I_C}{B \left( U_{BE}, U_{CE} \right)} = \frac{I_S}{B_0} \, e^{\frac{U_{BE}}{U_T}}$

Kleinsignalparameter

Die partiellen Ableitungen im Arbeitspunkt werden als Kleinsignalparameter bezeichnet. Diese können aus der Kennlinie ermittelt werden, allerdings ergibt sich aus dem Ablesefehler unter Verwendung von Datenblättern normalerweise kein brauchbares Ergebnis. Zudem sind die entsprechenden Kennlinien meist auch nicht angegeben.

Steilheit

Die Steilheit beschreibt die differenzielle Änderung des Kollektorstromes I_C und der Spannung U_BE.

$S = \frac{\part I_C}{\part U_{BE}} \forall {AP} = \frac{I_{C,AP}}{U_T}$

Kleinsignaleingangswiderstand

Der Kleinsignaleingangswiderstand r_BE beschreibt die differenzielle Änderung der Spannung U_BE und mit dem Basistrom I_B.

$r_{BE} = \frac{\part U_{BE}}{\part I_B} \forall {AP}$

r_BE kann durch eine Umwandlung dieser Formel auch aus der Steilheit abgeleitet werden:

$r_{BE} = \frac{\part U_{BE}}{\part I_C} \forall {AP} \cdot \frac{\part I_C}{\part I_B} \forall {AP} = \frac{\part U_{BE}}{\part I_B} \forall {AP} = \frac{\beta}{S}$

Kleinsignalausgangswiderstand

Der Kleinsignalausgangswiderstand r_CE gibt die differenzielle Änderung zwischen der Emitterspannung U_CE und dem Kollektorstrom I_C an.

$r_{CE} = \frac{\part U_{CE}}{\part I_C} \forall {AP} = \frac{U_A + U_{CE,AP}}{I_{C,AP}} \stackrel{\quad U_{CE,AP} \ll U_A \quad}{\approx} \frac{U_A}{I_{C,AP}}$

Rückwärtssteilheit

Die Rückwärtssteilheit S_r beschreibt die differenzielle Änderung zwischen dem Basisstrom I_B und der Kollektor-Emitter-Spannung U_CE.

$S_r = \frac{\part I_B}{\part U_{CE}} \forall {AP}$

Die Rückwärtssteilheit ist nur sehr gering und kann daher meist vernachlässigt werden.

$S_r \approx 0$

Kleinsignalgleichungen

Aus den Kleinsignalparametern erhält man die Kleinsignalgleichungen:

$i_B = \frac{1}{r_{BE}} \, u_{BE} + S_r \, u_{CE}$

$i_C = S \, u_{BE} + \frac{1}{r_{CE}} \, u_{CE}$

Kühlung

Die Berechnung der Kühlung eines Transistors entspringt der Wärmelehre. Die entstehende Wärme in der Sperrschicht (junction) T_J muss über das Substrat an das Gehäuse (case) mit der Temperatur T_C, danach über den Kühlkörper (heatsink) mit der Temperatur T_H und danach an die Umgebung (ambient) mit der Temperatur T_A abgeleitet werden. Der dabei entstehende Wärmestrom (Φ) entspricht hierbei der im Transistor umgesetzten Leistung P_V.

$P_V = U_{CE} \, I_{C} = \Phi = \frac{T_J - T_A}{R_{th,JA}}$

Die in den einzelnen Körpern (Substrat, Gehäuse, Kühlkörper, Umgebung) enthaltene Wärmemenge Q_th ergibt sich aus:

$Q_{th} = C_{th} \, T_{th}$

Wobei C_th die Wärmekapazität der jeweiligen Körper darstellt, in der die Wärme gespeichert wird. Wird im Transistor zu viel Leistung umgesetzt, kann die Wärme nicht schnell genug abfließen und die Temperatur der einzelnen Schichten erhöht sich. Zudem darf die Umgebungstemperatur nicht zu hoch sein, damit die Wärme abfließen kann. Im Pulsbetrieb wird die maximale Leistung kurzfristig überschritten, da jedoch die Schichten die Möglichkeit zur Abkühlung haben, wird die maximal zulässige Temperatur dabei nicht überschritten.

$P_{V,max,puls}\left( t_P , D \right) = \frac{T_{J,max} - T_{A,max}}{R_{th,JA,puls} \left( t_p , D \right)}$

Hierbei ist t_p die Pulsdauer, f_w die Wiederholfrequenz und D das Tastverhältnis.

$\lim_{t_p \to 0} \frac{P_{V,max,puls}}{P_{V,max,stat}} = \frac{1}{D} = \frac{1}{t_p \, f_w}$

Grenzdaten

Ein Transistor besitzt verschiedene Kenndaten, die im Betrieb nicht überschritten werden dürfen. Dazu gehören Grenzspannungen, Grenzströme und die maximal zulässige Verlustleistung. Werden diese Werte überschritten, tritt ein Durchbruch auf, bei dem das Halbleitermaterial im Transistor schmilzt und dadurch dauerhaft leitfähig wird bzw. verdampft. Wenn Halbleitermaterial verdampft, kann durch den entstehenden Gasdruck das Transistorgehäuse aufgesprengt werden. Die Werte von pnp- und npn-Transistoren unterscheiden sich im Vorzeichen, jedoch nicht in den Beträgen.

Die Bezeichnung der Durchbruchsspannungen und -ströme setzen sich zusammen aus dem jeweiligen Formelzeichen (Spannung = U; Strom = I), der Bezeichnung BR für Durchbruch (breakdown), der Angabe der Anschlüsse, auf die sich der Wert bezieht (C; B; E), und einem Zusatz, welcher für den Belastungstyp des Transistors steht.

Zusatz	Bedeutung	Ausgang
S	shorted	kurzgeschlossen
O	offen; open	unbelastet
R	resitor	belastet

Arbeitsbereich

Begrenzung des Transistor-Arbeitsbereichs

Ausgangskennlinienfeld eines npn-Transistors

Betriebsgrenzen eines pnp-Darlingtonleistungs- transistors Typ BDV66C

Ein Bipolartransistor hat einen Arbeitsbereich (engl.: SOA, Safe Operation Area), der im Wesentlichen durch folgende Größen begrenzt wird:

• maximal zulässiger Kollektorstrom I_C,max
• maximale Kollektor-Emitterspannung U_CE,O (Leerlauffall), auch als U_CE,max bezeichnet
• maximale Sperrschichttemperatur $\vartheta_{j,max}$

Da die Sperrschichttemperatur nicht direkt messbar ist, wird in Datenblättern die maximale Verlustleistung P_tot,max bei gegebener Umgebungs- bzw. Gehäusetemperatur angegeben.

Insbesondere bei Leistungstransistoren existiert noch eine weitere Grenze, der Durchbruch 2. Art (engl.: second breakdown oder secondary breakdown). Bei Leistungstransistoren hat das Halbleitermaterial notwendigerweise ein größeres Volumen als z. B. bei Kleinsignaltransistroren. Innerhalb des Halbleitermaterials treten daher vermehrt Inhomogenitäten auf, was dazu führt, dass in einigen Volumenelementen eine höhere Verlustleistung in Wärme umgesetzt wird als in anderen Volumenelementen. Bei hinreichend großer Verlustleistung, die aber noch unterhalb des maximalen Wertes P_tot,max liegt, steigt in einigen Volumenelementen die Temperatur so weit an, dass das Halbleitermaterial in den betroffenen Volumenelementen instabil wird. Bei hinreichend großer Kollektor-Emitterspannung erfolgt in den betroffenen Volumenelementen ein lokaler Durchbruch, wodurch diese zerstört werden. Durch den Ausfall einzelner Volumenelemente steigen die Verlustleistung und damit die Temperatur in allen anderen Volumenelementen an. Es erfolgen weitere lokale Durchbrüche mit Zerstörung der betroffenen Volumenelemente. Der Effekt setzt sich kaskadenartig fort und führt schließlich zur Zerstörung des Halbleitermaterials.

Spannungen

Basis-Emitter-Durchbruchsspannung

Bei der Basis-Emitter-Diode des pnp-Transistors liegt die Basis-Emitter-Durchbruchsspannung U_(BR)EBO für die meisten Transistoren im Bereich zwischen 5 und 7 Volt. Da npn-Transistoren üblicherweise nicht mit einer negativen BE-Spannung betrieben werden, ist diese Angabe meist nicht relevant. Diese Spannung ist die kleinste Grenzspannung eines Transistors.

Kollektor-Basis-Durchbruchsspannung

Die Kollektor-Basis-Durchbruchsspannung U_(BR)CBO gibt an, wann die Kollektor-Diode im Sperrbetrieb durchbricht. Da die Kollektor-Diode im Normalbetrieb gesperrt sein muss, darf diese Spannung im Normalbetrieb nicht überschritten werden. Diese Spannung ist die größte Grenzspannung eines Transistors.

Kollektor-Emitter-Spannung

In der Praxis ist die maximale Kollektor-Emitter-Spannung U_CE besonders wichtig. Ab einer bestimmten Kollektor-Emitter-Spannung tritt ein Durchbruch auf, durch den der Kollektorstrom sehr stark ansteigt und damit die Zerstörung des Transistors verursacht.

Allgemein gilt:

U_(BR)CEO < U_(BR)CER < U_(BR)CES < U_(BR)CBO

für npn-Transistoren (U_BR > 0 V) und umgekehrt

U_(BR)CEO > U_(BR)CER > U_(BR)CES > U_(BR)CBO

für pnp-Transistoren (U_BR < 0 V).

Ströme

Bei den Grenzströmen unterscheidet man zwischen den maximalen Dauerströmen (continuous currents) und Spitzenströmen (peak currents). Die maximalen Dauerströme werden I_B,max, I_C,max und I_E,max genannt. Die Spitzenströme werden I_CM, I_BM und I_EM genannt und gelten jeweils für bestimmte, im Datenblatt angegebene, Pulsdauern und Pulswiederholraten. Die Spitzenströme sind üblicherweise 1,2 bis 2 mal so groß wie die Dauerströme.

Die Sperrströme (cut-off currents) werden mit I_EBO und I_CBO sowie mit I_CEO bzw. I_CES bezeichnet. Diese Ströme treten an der Emitter- bzw. Kollektor-Diode auf, wenn an dieser etwas weniger als die jeweiligen Durchbruchsspannungen anliegen (d. h. die Diode gerade nicht durchschaltet). Hierbei gilt:

I_CES < I_CEO

Leistung

Die Verlustleistung des Transistors ergibt sich aus:

$P_V = U_{CE} \, I_C + U_{BE} \, I_B \approx U_{CE} \, I_C$

Die maximale Verlustleistung P_tot bzw. P_max ist eine der wichtigsten Kenndaten eines Transistors. Die Temperatur in der Sperrschicht erhöht sich um den Wert, bei dem die Wärme über das Gehäuse und den Kühlkörper an die Umgebung abgegeben werden kann. Diese Temperatur darf den materialabhängigen Grenzwert nicht überschreiten. Für Silicium gilt hierbei:

$T_{max,SI} = 175\ \mathrm{{}^\circ C}$

In der Praxis rechnet man hierbei sicherheitshalber mit einem Grenzwert von 150 °C, um ein vorzeitiges Schmelzen des Siliciums zu verhindern.

Im Datenblatt wird die maximale Verlustleistung für zwei Fälle angegeben:

1. P_V,25(A)

   Umgebungsluftgekühlter (free-air cooled) Betrieb bei stehender Montage auf einer Leiterplatte bei einer Umgebungstemperatur (ambient temperature) von $T_A = 25\ \mathrm{{}^\circ C}$. Bei Kleinleistungstransistoren ohne Befestigung für einen zusätzlichen Kühlkörper wird nur dieser Wert im Datenblatt angegeben, da in diesem Fall P_tot = P_V,25(A) gilt.

2. P_V,25(C)

   Betrieb bei einer Gehäusetemperatur (case temperature) von $T_C = 25\ \mathrm{{}^\circ C}$. Die notwendigen Kühlmaßnahmen werden hierbei meist nicht mit angegeben. Bei Leistungstransistoren, die nur mit einem Kühlkörper betrieben werden dürfen, wird nur dieser Wert im Datenblatt als P_tot = P_V,25(C) angeben.

Da die maximal zulässige Leistung P_tot mit zunehmender Temperatur abnimmt, wird im Datenblatt oft die sog. power derating curve angegeben, die P_tot in Abhängigkeit von T_A bzw. T_C angibt.

Temperaturabhängigkeit

Die Kenndaten eines Transistors sind stark von der Temperatur des Transistors abhängig. Die Abhängigkeit des Zusammenhangs zwischen Kollektorstrom I_C und Basis-Emitter-Spannung U_BE von der Temperatur T ist hierbei besonders wichtig:

$I_C \left( U_{BE},T \right) = I_S \left( T \right) \, e^{\frac{U_{BE}}{U_T \left( T \right)}} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_A} \right)$

Der Grund dafür ist die Temperaturabhängigkeit vom Sperrstrom I_S und der Temperaturspannung U_T:

$U_T(T) = \frac{k\, T}{q} = 86{,}142 \cdot 10^{-6} \, \frac{\rm V}{\rm K} \, T$

$I_S(T) = I_S \left( T_0 \right) \, e^{\left( \frac{T}{T_0} - 1 \right) \, \frac{U_G \left( T \right)}{U_T \left( T \right)}} \, {\left( \frac{T}{T_0} \right)}^{x_{T,I}}$ mit $x_{T,I} \approx 3$

Hierbei ist k die Boltzmannkonstante, q die Elementarladung und $U_G= \tfrac{1{,}12\,\mathrm{eV}}{q} = 0{,}7\, \mathrm V$ die Bandabstandsspannung von Silizium. Da die Temperaturabhängigkeit von U_G nur sehr gering ist, wird diese in der Praxis nicht berücksichtigt.

Durch Differentiation erhält man:

$\frac{1}{I_S} \, \frac{\delta I_S}{\delta T} = \frac{1}{T} \, \left( 3 + \frac{U_G}{U_T} \right) \begin{matrix} {}_{T=300 \, \mathrm{K}} \\ \approx \\ \, \end{matrix} 0{,}15 \, \mathrm{K}^{-1}$

$\frac{1}{I_C} \, \frac{\delta I_C}{\delta T} \forall \left( U_{BE} = {const.} \right) = \frac{1}{T} \, \left( 3 + \frac{U_G - U_{BE}}{U_T} \right) \begin{matrix} {}_{T = 300 \, \mathrm{K}} \\ {}_{U_{BE} = 0{,}7\, \mathrm{V}} \\ \approx \\ \, \\ \, \end{matrix} 0{,}065 \, \mathrm{K}^{-1}$

Das bedeutet, dass I_C bei einer Temperaturerhöhung von nur 1 K bereits auf das 1,065-fache ansteigt. Zudem verdoppelt sich der Kollektorstrom I_C, sobald die Temperatur um 11 K gestiegen ist. Der Arbeitspunkt kann daher nicht über U_BE,A eingestellt werden, da I_C,A bei Temperaturänderung möglichst konstant gehalten werden muss.

Für den Fall, dass I_C,A nur schwach temperaturabhängig ist, kann man näherungsweise die Temperaturabhängigkeit von U_BE ermitteln:

$\frac{\delta U_{BE}}{\delta T} \forall \left( I_C = {const.} \right) = \frac{U_{BE} - U_G - 3\, U_T}{T} \begin{matrix} {}_{T = 300 \, \mathrm{K}} \\ {}_{U_{BE} = 0{,}7 \, \mathrm{V}} \\ \approx \\ \, \\ \, \end{matrix} -1{,}7 \cdot 10^{-3} \, \frac{V}{K}$

Die Stromverstärkung ist ebenfalls temperaturabhängig. Hierbei gilt der Zusammenhang:

$B(T) = B \left( T_0 \right) \, e^{\left( \frac{T}{T_0} -1 \right) \, \frac{\Delta U_{dot}}{U_T \left( T \right)}} \approx B \left( T_0 \right) \, {\left( \frac{T}{T_0} -1 \right)}^{x_{T,B}}$ mit $x_{T,B} \approx 1{,}5$

Hierbei ist U_dot eine vom Material abhängige Konstante. Bei Silicium gilt $U_{dot} \approx 44 \, \mathrm{mV}$. In der Praxis ergibt sich bei T=300 K:

$\frac{1}{B} \, \frac{\delta B}{\delta T} = \frac{\Delta U_{dot}}{U_T \, T} \approx 5{,}6 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{K}^{-1}$

Und für die Näherung:

$\frac{1}{B} \, \frac{\delta B}{\delta T} = \frac{x_{T,B}}{T} \approx 5 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{K}^{-1}$

Vierpoldarstellung

Gemäß der Vierpoltheorie kann man jedes elektronische Bauelement als Vierpol behandeln. Im Fall des Transistors stellt man die Kleinsignalgleichungen in Matrizenform dar:

$\begin{pmatrix} i_B \\ I_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{r_{BE}} &amp;amp;amp; S_r \\ S &amp;amp;amp; \frac{1}{r_{CE}} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} u_{BE} \\ u_{CE} \end{pmatrix}$

oder in der Leitwertdarstellung mit der Y-Matrix Y_e:

$\begin{pmatrix} i_B \\ I_C \end{pmatrix} = \mathbf{Y}_e \, \begin{pmatrix} u_{BE} \\ u_{CE} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{11,e} &amp;amp;amp; y_{12,e} \\ y_{21,e} &amp;amp;amp; y_{22,e} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} u_{BE} \\ u_{CE} \end{pmatrix}$

Alternativ kann man auch die Hybrid-Darstellung mit der H-Matrix H_e verwenden:

$\begin{pmatrix} u_{BE} \\ I_C \end{pmatrix} = \mathbf{H}_e \, \begin{pmatrix} i_{B} \\ u_{CE} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h_{11,e} &amp;amp;amp; h_{12,e} \\ h_{21,e} &amp;amp;amp; h_{22,e} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} i_B \\ u_{CE} \end{pmatrix}$

Der Index e bedeutet hierbei, dass der Transistor in einer Emitterschaltung betrieben wird.

Für die Umwandlung gilt:

$r_{BE} = h_{11,e} = \frac{1}{y_{11,e}}$

$\beta = h_{21,e} = \frac{y_{21,e}}{y_{11,e}}$

$S = \frac{h_{21,e}}{h_{11,e}} = y_{21,e}$

$S_r = - \frac{h_{12,e}}{h_{11,e}} = y_{12,e}$

$r_{CE} = \frac{h_{11,e}}{h_{11,e} \, h_{22,e} - h_{12,e} \, h_{21,e}} = \frac{1}{y_{22,e}}$

• Siehe auch: Vierpolparameter