Tanh

Tanh

Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus sind Hyperbelfunktionen. Man nennt sie auch Hyperbeltangens oder hyperbolischen Tangens bzw. Hyperbelkotangens oder hyperbolischen Kotangens.

Inhaltsverzeichnis

Schreibweisen

Tangens Hyperbolicus: y = \operatorname{tanh}(x)
Kotangens Hyperbolicus: y = \operatorname{coth}(x)

Definitionen

\operatorname{tanh}x  = \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=1-\frac{2}{e^{2x}+1}=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}


\operatorname{coth} x = \frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} = \frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1} = 
1+\frac{2}{e^{2x}-1}=  \frac{\cosh(x)} {\sinh(x)}

Eigenschaften

Graph der Funktion tanh(x)
Graph der Funktion coth(x)
  Tangens Hyperbolicus Kotangens Hyperbolicus
Definitionsbereich  - \infty < x < + \infty  - \infty < x < + \infty ;  x \ne 0
Wertebereich -1<f\left(x\right)<1 -\infty<f\left(x\right)<-1  ; 1<f\left(x\right)<+\infty
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend x < 0 streng monoton fallend
x > 0 streng monoton fallend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Asymptoten x\to \ + \infty\colon f\left(x\right)\to \ +1
x\to \ -\infty\colon f\left(x\right)\to \ -1
x\to \ + \infty\colon f\left(x\right)\to \ +1
x\to \ - \infty\colon f\left(x\right)\to \ -1
Nullstellen x = 0 keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine x = 0
Extrema keine keine
Wendepunkte  \left(0,0\right) keine

Spezielle Werte

\operatorname{tanh}(0)=0
\operatorname{tanh}(\ln\phi )=\frac15 \sqrt 5

mit dem goldenen Schnitt \!\ \phi.

Der Kotangens Hyperbolicus hat einen Fixpunkt, d.h. es gibt ein u, sodass \operatorname{coth}(u)=u. Er liegt bei u * = 1,19967874 (Folge A085984 in OEIS)

Umkehrfunktionen

Der Tangens Hyperbolicus ist eine Bijektion \tanh:\mathbb{R}\rightarrow (-1,1). Die Umkehrfunktion nennt man Areatangens Hyperbolicus und ist für Zahlen x aus dem Intervall ( − 1,1) definiert und nimmt als Wert alle reellen Zahlen an. Sie lässt sich durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:

{\rm artanh}\,x=\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right).

Für die Umkehrung des Kotangens Hyperbolicus gilt:

\operatorname{arcoth}(x) = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right)

Ableitungen

 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tanh x = 1-\tanh^2 x =  \frac{1}{\cosh^2 x}= \operatorname{sech}^2 x


 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \coth x = 1-\coth^2 x = -\frac{1}{\sinh^2 x}=-\operatorname{csch}^2 x

Die n-te Ableitung ist gegeben durch

\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}z^n}\tanh z=\frac{2^{n+1}e^{2z}}{(1+e^{2z})^{n+1}} \sum_{k=0}^{n-1} E(n,k)\cdot (-1)^k\cdot e^{2kz}

Additionstheorem

Es gilt das Additionstheorem

\tanh(\alpha+\beta)=\frac{\tanh \alpha+ \tanh \beta}{1+\tanh\alpha\tanh\beta}

Integrale

 \int \tanh(x)\,\mathrm{d}x = \ln ( \cosh x ) + C


 \int \coth(x)\,\mathrm{d}x = \ln ( \sinh x ) + C

Weitere Darstellungen

Reihenentwicklungen

 \operatorname{tanh}(x) = \sgn(x) \left[1+ \sum_{k=1}^\infty (-1)^k2e^{-2k|x|}\right]


 \operatorname{coth}(x) = \frac{1}{x}+ \sum_{k=1}^\infty  \frac{2x} {k^2\pi^2+x^2}

Der Anfang der Taylorreihe des Tangens Hyperbolicus lautet:

 \tanh (x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \cdot \frac{2^{2n}(2^{2n} -1)}{(2n)!} \cdot B_n \cdot x^{2n - 1} = x- \frac13 x^3 + \frac {2}{15} x^5+\cdots

Die Bn sind die Bernoulli-Zahlen. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist π / 2.

Kettenbruchdarstellung

Gauß zeigte folgende Formel:

\tanh x=\frac1{1+\cfrac{x^2}{3+\cfrac{x^2}{5+\ldots}}}

Differentialgleichung

tanh löst folgende Differentialgleichung:

\frac12 f^{\prime\prime}=f^3-f

mit f(0) = 0 und f^\prime (\infty )=0

Komplexe Argumente

\operatorname{tanh}(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) + \cos(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{\sin(2y)}{\cosh(2x) + \cos(2y)}


\operatorname{tanh}  (\mathrm{i} \!\cdot\! y)   = \mathrm{i} \cdot \tan(y)


\operatorname{coth}(x + \mathrm{i} \!\cdot\! y) = \frac{\sinh(2x)}{\cosh(2x) - \cos(2y)} + \mathrm{i} \; \frac{-\sin(2y)}{\cosh(2x) - \cos(2y)}


\operatorname{coth}  (\mathrm{i} \!\cdot\! y)   = -\mathrm{i} \cdot \cot(y)

Siehe auch

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