Transmissibilität

Die Permeabilität (lat.: permeare „durchlassen“, von lat.: per „hindurch“, und lat.: meare „passieren“) wird in der Geotechnik zur Quantifizierung der Durchlässigkeit von Böden und Fels für Flüssigkeiten oder Gase (z. B. Grundwasser, Erdöl oder Erdgas) benutzt. Mit ihr sehr eng verbunden ist der hier gleichzeitig erläuterte „Durchlässigkeitsbeiwert“.

Definition

Die Permeabilität ist aus dem Darcyschen Gesetz abgeleitet und definiert als:

$K = \frac{Q \cdot \eta \cdot l}{\Delta p \cdot A}$

Hierbei bedeuten:

K = Permeabilität in m²,

Q = Fließrate in m³/sec,

η = Dynamische Viskosität des Fließmediums in Ns/m²,

l = durchströmte Länge des porösen Körpers in m,

Δp = Druckdifferenz in N/m², die sich nach dem Strömen einstellt

A = durchströmte Querschnittsfläche des porösen Körpers in m².

Als SI-Einheit für die Permeabilität ergibt sich m². Eine weitere gebräuchliche Maßeinheit ist das Darcy, benannt nach dem französischen Wissenschaftler Henry Darcy (1803-1858), der 1856 das Fließen von Wasser durch Kiesbettungen untersucht hat.

$1\,\mathrm{Darcy}\,=\,9{,}86923\,\cdot\,10^{-13}\,\mathrm{m}^2\,\approx\,10^{-12}\,\,\mathrm{m}^2$

Da 1 Darcy eine relativ hohe Permeabilität ist, werden in der Geotechnik und im Bergbau oft das Millidarcy (mD) oder die SI-Einheit µm² verwendet.

Durchlässigkeitsbeiwert

Als Durchlässigkeitsbeiwert oder Hydraulische Leitfähigkeit bezeichnet man einen rechnerischen Wert, der in der Regel die Durchlässigkeit von Boden oder Fels für Wasser quantifiziert.

Der Durchlässigkeitsbeiwert k_f berechnet sich zu:

$k_{f} = \frac{Q \cdot l \cdot \rho \cdot g}{A \cdot \Delta p}$

oder:

$k_{f} = \frac{K \cdot \rho \cdot g}{\eta}$

Hierbei bedeuten:

k_f = Durchlässigkeitsbeiwert in m/s,

Q = Fließrate in m³/sec,

l = durchströmte Länge des porösen Körpers in m,

ρ = Dichte des Fluids, bei Wasser 1000 kg/m³,

g = Erdschwerebeschleunigung = 9,81 m/s²,

A = durchströmte Querschnittsfläche des porösen Körpers in m²,

Δp = Druckdifferenz in N/m², die sich nach dem Strömen einstellt.

K = Permeabilität in m²,

η = Dynamische Viskosität des Fluids, bei Wasser 10^-3 Ns/m².

Die zweitgenannte Formel zeigt, wie eng K und k_f miteinander verknüpft sind.

Wertebereiche für k_f

Sofern nichts anderes angegeben ist, beziehen sich die in der Literatur angegebenen Werte für k_f üblicherweise auf Wasser. Ist der Durchlässigkeitsbeiwert k_f für ein mit Wasser durchströmtes Medium bekannt, dann lässt sich die Durchlässigkeit dieses Mediums für andere Stoffe berechnen (siehe "Bestimmung der Permeabilität").

Wasserdurchlässigkeit nach DIN 18130:

• sehr stark durchlässig >10^-2 m/s
  
• stark durchlässig 10^-2 bis 10^-4 m/s
  
• durchlässig 10^-4 bis 10^-6 m/s
  
• schwach durchlässig 10^-6 bis 10^-8 m/s
  
• sehr schwach durchlässig <10^-8 m/s
  

Durchlässigkeitsbeiwerte für Lockergesteine (Wasser):

• reiner Kies: 10^-1 bis 10^-2 m/s
• grobkörniger Sand: um 10^-3 m/s
• mittelkörniger Sand: 10^-3 bis 10^-4 m/s
• feinkörniger Sand: 10^-4 bis 10^-5 m/s
• schluffiger Sand: 10^-5 bis 10^-7 m/s
• toniger Schluff: 10^-6 bis 10^-9 m/s
• Ton: <10^-9 m/s

Die Grenze zwischen einem durchlässigen und einem undurchlässigen Boden liegt etwa bei 10^-6 m/s. Böden mit einem k_f-Wert < 10^-9 m/s sind nahezu völlig wasserundurchlässig.

Eigenschaften und Einflussgrößen

Die Durchlässigkeit von Böden hängt in erster Linie von deren Porosität ab, die von Fels von seiner Klüftigkeit und/oder seiner Porosität. Die Porosität von Böden hängt wiederum von der Korngröße und Korngrößenverteilung und damit vom Porenvolumen des Bodens ab.

Beide Größen quantifizieren in ähnlicher Weise die Fließrate Q durch ein durchlässiges Medium in Abhängigkeit von der Druckdifferenz Δp. Unterschiedlich sind nur ihre Einheiten: Bei K ist es eine Fläche (m²), bei k_f eine Geschwindigkeit (m/s). Beide Größen können richtungsabhängig sein und werden dann als Tensoren dargestellt.

Während der Durchlässigkeitsbeiwert k_f maßgeblich von der Dichte ρ und der Viskosität η des durchströmenden Fluids beeinflusst wird, hängt die Permeabilität K nur von den Eigenschaften des durchströmten Mediums ab, denn das Produkt aus Fließrate Q und Viskosität η (siehe obige Definitionsformel) bleibt konstant: je höher die Viskosität, desto kleiner die Fließrate - und umgekehrt.

K bzw. k_f sind konstant über die Fließrate Q, sofern die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Laminare Strömung
2. Keine Wechselwirkung zwischen Gesteinsoberfläche und fließendem Medium
3. Nur eine Phase im Porenraum bei 100 %iger Sättigung mit dieser Phase.

Bestimmung der Permeabilität

Messtechnische Bestimmung

In gesteinsphysikalischen Laboratorien wird die Permeabilität routinemäßig an zylindrischen Proben mit einem Durchmesser von 30 mm und einer Länge von 40 ... 80 mm bestimmt. Die Orientierung der Proben ist standardmäßig parallel zur Schichtung. Für Untersuchungen, bei denen es auf ein großes Porenvolumen ankommt (beispielsweise relative Permeabilität), sind auch Probendurchmesser von 40 mm üblich. Ein Sonderfall ist die Bestimmung der Permeabilitätsanisotropie an Würfeln von 40 oder 30 mm Kantenlänge. Diese sind so aus dem Kernmaterial herauszuarbeiten, dass zwei Flächen parallel zur Schichtung orientiert sind und somit Daten parallel und senkrecht zur Schichtung an einer Probe bestimmt werden können. In den USA sind für Routinemessungen Proben von 1 Zoll x 1 1/2 Zoll gebräuchlich.

Bestimmung von Flüssigkeitspermeabilitäten

Mit der skizzierten Messanordnung wird k_f mit Wasser bestimmt:

$k_{f} = \frac{Q \cdot l}{A \cdot (h_{1}-h_{2})}$     (Symbole aus Skizze und wie bei den obigen Formeln)

K lässt sich dann über die Dynamische Viskosität η des Wassers und seine Dichte ρ berechnen:

$K = \frac{k_{f} \cdot \eta}{\rho \cdot g}$

Ist der Durchlässigkeitsbeiwert k_f für das mit Wasser durchströmte Medium experimentell bestimmt, so kann man aus der eben genannten Beziehung die Durchlässigkeit dieses Mediums für andere Fluide - z. B. Erdöl - durch Einsetzen von deren Dichte ρ und Dynamischer Viskosität η berechnen:

$k_{f2} = k_{f1} \cdot \frac{\rho_{2} \cdot \eta_{1}}{\rho_{1} \cdot \eta_{2}}$

oder unter Verwendung der Kinematischen Viskosität ν = η/ρ :

$k_{f2} = k_{f1} \cdot \frac{\nu_{1}}{\nu_{2}}$

Rechnerische Abschätzung aus der Kornverteilungskurve

Für Böden besteht die Möglichkeit, k_f für Wasser aus der Kornverteilungskurve abzuschätzen (Hazen, 1893):

$k_{f} \approx 0,01 \cdot d^{2}_{w} \approx d^{2}_{10}$

Hierbei bedeuten:

k_f = Durchlässigkeitsbeiwert in m/s,

d_w = Wirksamer Korndurchmesser in mm,

d₁₀ = Korndurchmesser für den Gewichtsanteil m = 10% der Kornverteilungskurve.

Diese Abschätzung gilt nur unter der Voraussetzung, dass der Ungleichförmigkeitsgrad U < 5 ist.

Dabei ist U = d₆₀ / d₁₀ .

Anwendung

Geotechnik

Angewendet werden diese Materialparameter dann, wenn Böden oder Fels von Flüssigkeiten oder Gasen durchströmt werden: Grundwasserströmungen, Trinkwassergewinnung, Gewinnung von Erdöl oder Erdgas, Berechnungen des Wasserandrangs an Bauwerken und Tunneln, Ermittlung der Dichtigkeit von Dämmen und Deichen, und auch bei kontaminierten Böden und bei der Verpressung von Kohlendioxyd.

Förderung von Erdöl und Erdgas

Für die Wirtschaftlichkeit der Förderung von Erdöl und Erdgas ist die Produktionrate eine wichtige Einflussgröße. Sie hängt u.a. von der Permeabilität der geologischen Formationen ab, aus denen diese Rohstoffe gefördert werden. Da jedoch auch der Weltmarktpreis für eine Wirtschaftlichkeitsbetrachtung entscheidend ist, lassen sich hier keine dauerhaft gültigen Grenzwerte angeben.

Durchlässigkeitsbeiwert oder Permeabilität?

Der Durchlässigkeitsbeiwert k_f wird meist für strömende Flüssigkeiten (Wasser) verwendet. Für Gase (Erdgas) ist die Permeabilität K besser geeignet, da sie nicht von der Dichte ρ beeinflusst wird, deren Wert bei Gasen vom Druck abhängt. Die Dynamische Viskosität η ist dagegen im Bereich der Gültigkeit des Gasgesetzes vom Druck unabhängig. Es ist aber immer eine Temperaturabhängigkeit gegeben.

Allgemein lässt sich feststellen, dass der Durchlässigkeitsbeiwert k_f meist in den Bereichen der Wasserwirtschaft und des Wasserbaus benutzt wird, die Permeabilität K als Materialkennwert für das durchströmte Medium dagegen eher in der Erdgas- und Erdölwirtschaft.

Transmissivität und Transmissibilität

Die Transmissivität ist als Produkt aus Durchlässigkeitsbeiwert k_f und Mächtigkeit M der Wasser führenden Boden- oder Gesteinsschichten (Aquifer) definiert:

$T_k = k_{f} \cdot M$    [m²/s]

Analog dazu wird die Transmissibilität als Produkt aus Permeabilität K und der Mächtigkeit M des Aquifers definiert:

$T_K = K \cdot M$    [m³]

Besteht der Aquifer aus i Schichten mit unterschiedlichen Durchlässigkeiten und Mächtigkeiten, dann werden die jeweiligen Produkte addiert:

$T_k = k_{f1} \cdot M_1 + k_{f2} \cdot M_2 + k_{f3} \cdot M_3 + ... + k_{fi} \cdot M_i$    [m²/s]

Aus letzter Formel wird der Zweck der beiden Größen deutlich: Sie stellen das Integral der jeweiligen horizontalen Durchlässigkeit (k_f oder K) über die Aquifer-Mächtigkeit dar. Dies berücksichtigt, dass die Durchlässigkeit meist nicht über die gesamte Höhe des Aquifers gleich ist: der Aquifer ist inhomogen bezüglich seiner Durchlässigkeit.

Wegen des gemeinsamen Faktors M besteht zwischen den beiden Größen die gleiche Beziehung wie zwischen k_f und K:

$\frac{T_k}{T_K} = \frac{k_{f}}{K} = \frac{\rho \cdot g}{\eta}$

mit:

k_f = Durchlässigkeitsbeiwert in m/s

K = Permeabilität in m²

ρ = Dichte in kg/m³

g = Erdbeschleunigung = 9,81 m/s²

η = Dynamische Viskosität in Ns/m²

In Anlehnung an die DIN ist die für die Gewinnung von Grundwasser als Trinkwasser wichtige Transmissivität die gebräuchlichere der beiden Größen.

Die Transmissivität wird meist im Feldversuch über einen Pumpversuch ermittelt. Man erhält dabei aber nur die Gesamt-Transmissivität und keine Angaben über die vorgenannten Durchlässigleits-Inhomogenitäten des Aquifers.

Zusätzliche Anmerkungen:

• Die Transmissibilität wird auch in der Augenoptik als Durchlässigkeitsmessgröße für Kontaktlinsen benutzt. Hier gibt sie an, wie viel Sauerstoff (in cm³/s) bei 1 mmHg beidseitigem Druck eine Fläche von 1 cm² einer Membran durchströmt. Dabei handelt es sich aber nicht um die hier beschriebene Art der Durchlässigkeit, sondern um Permeation.

• Als Transmissivität wird oft (wissenschaftlich-salopp) der in der Physik benutzte Transmissionsgrad bezeichnet.

Literatur

• Hazen, A. (1893): Some Physical Properties of Sands and Gravels with Special Reference to their Use in Filtration, 24th Annual Report, Massachusetts State Bureau of Health, Publ. Doc. 34, pp 539-556.
• Hölting &Coldewey (2005): Hydrogeologie. Einführung in die Allgemeine und Angewandte Hydrogeologie, 6. Auflage; Elsevier Spektrum Akademischer Verlag München; 326 p.

Siehe auch

• hydraulisches Potential
• Grundwasser
• Permeation
• Diffusion