Van der Pauw

Die Van-der-Pauw-Messmethode dient zur Bestimmung des elektrischen Flächenwiderstandes und des Hall-Koeffizienten dünner, homogener Schichten beliebiger Form. In der Halbleiterindustrie spielen Messungen des spezifischen Widerstands und des Hall-Koeffizienten eine große Rolle, da sich aus diesen beiden Größen die Ladungsträgerkonzentration und die Elektronenbeweglichkeit ermitteln lassen.

Messung des spezifischen Widerstandes / Flächenwiderstand

Ermittlung des Widerstandes R_AB,CD

Die Messtruktur besteht aus einem beliebig geformten Gebiet ohne Löcher, das auf seinem Rand über 4 Punkte (A-D) kontaktiert ist. An dieser Struktur wird der Widerstand

$R_{AB,CD} = {{U_{CD}}\over{I_{AB}}}$ (s. Bild)

gemessen, indem zwischen den Kontakte A und B ein Strom eingeprägt und die zwischen den Kontakten C und D abfallende Spannung gemessen wird. In entsprechender Weise wird der Widerstand R_BC,DA nach zyklischer Vertauschung der Kontakte gemessen.

$R_{BC,DA} = {{U_{DA}}\over{I_{BC}}}$

Mit Methoden der konformen Abbildung konnte Van-der-Pauw zeigen, dass man aus diesen beiden Widerstandswerten den Schichtwiderstand berechnen kann und dass in diese Rechnung weder die spezielle Form der Struktur noch die Position der Kontakte eingeht (s. Originalarbeit unter Weblink). Es ergibt sich folgende Abhängigkeit:

Geometriefaktor f für Van-der-Pauw-Methode

$\exp\left.\bigl(-{{\pi d}\over\rho}\right. \cdot R_{AB,CD}\bigr) + \exp \left.\bigl(-{{\pi d}\over\rho}\right. \cdot R_{BC,DA}\bigr) = 1$

mit $\mathbf{\rho}$ = spezifischer Widerstand und $d\,$ = Schichtdicke.

Wenn sowohl die Schichtdicke als auch die Widerstände R_AB,CD und R_BC,DA bekannt sind, ergibt sich eine Gleichung mit der gesuchten Unbekannten $\mathbf{\rho}$. Für eine beliebig geformte Struktur lässt sich der Flächenwiderstand allerdings nicht durch eine geschlossene Formel ausdrücken. Deshalb bestimmt man $\mathbf{\rho}$ entweder iterativ durch Tabellenkalkulation oder näherungsweise nach folgender Formel:

$\rho = {{\pi d}\over{ln(2)}} \cdot \frac{R_{AB,CD} +R_{BC,DA}}{2} \cdot f$

Der Korrekturfaktor f wird aus nebenstehendem Bild entnommen. Für exaktere Messungen verwendet man eine Form, die mindestens eine Symmetrieachse besitzt und deren Kontakte ebenfalls entsprechend dieser Symmetrie angeordnet sind. Es gilt dann R_AB,CD = R_BC,DA und für den Flächenwiderstand ergibt sich die Formel

Kleeblattstruktur

$\rho = {{\pi d}\over{ln(2)}} \cdot R_{AB,CD}$

dies lässt sich zu

$\rho \simeq 4.532\cdot d \cdot R_{AB,CD}$

zusammenfassen.

Das Verfahren ist nur für ideale punktförmige Kontakte exakt. Bei Wahl einer geeigneten Form der Messtruktur ist der Einfluss der Kontaktgröße in der Praxis aber vernachlässigbar. In der Halbleiterfertigung werden Strukturen in Form eines Kleeblatts bzw. eines Kreuzes verwendet, um den Flächenwiderstand dünner Schichten, z. B. Poly-Silizium oder Diffusionsgebiete, zu bestimmen.

Messung des Hall-Koeffizienten / Hall-Konstante

Für die Messung des Hall-Koeffizienten gelten die gleichen Voraussetzungen wie für die Schichtdickenmessung. Im Gegensatz dazu wird der Strom durch die Kontakte A und C eingeprägt und der Widerstand R_AC,BD gemessen. Anschließend wird ein homogenes Magnetfeld Β senkrecht zur Scheibe angelegt. Aufgrund dessen ändert sich R_AC,BD um den Wert ΔR_AC,BD.

Der Hall-Koeffizient A_H ergibt sich durch:

$A_{H} = {{d}\over{\Beta}} \cdot \Delta R_{AC,BD}$

Das Magnetfeld Β bewirkt, dass auf die Ladungsträger q, eine Lorentzkraft, senkrecht zu den Stromlinien und senkrecht zum Magnetfeld wirkt.

$\vec F=q \cdot \vec v \times \vec B$

Die Stromdichte $\mathbf j$ lässt sich durch j = nqv ausdrücken. Eine Umformung nach v_x und anschließendes einsetzen ergibt eine Feldstärke von:

$E_H = \frac{1}{nq}\,j_xB_z = A_\mathrm{H}\,j_xB_z$

E_H ist proportional zu j und Β.

$\frac{1}{nq}\,= A_\mathrm{H}\,$

ist die Proportionalitätskonstante bzw. der Hall-Koeffizient. Da q bekannt ist lässt sich nun die Konzentration der Ladungsträger n in der Teststruktur bestimmen.

Literatur

• L. J. van der Pauw, A method of measuring specific resistivity and Hall effect of discs of arbitrary shape, Philips Research Reports 13(1), 1958
• L. J. van der Pauw, A Method of Measuring the Resistivity and Hall Coefficient on Lamellae and Arbitrary Shape, Philips Technical Review 20(8), 1958/59
• L. J. van der Pauw: Philips Technische Rundschau 20, 230 (1959)

Weblinks

• http://electron.mit.edu/~gsteele/vanderpauw/vanderpauw.pdf