Vektoranalyse

Vektoranalysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektoren in zwei oder mehr Dimensionen beschäftigt. Es besteht aus einem Satz von Formeln und Problemlösungstechniken, die für Ingenieurwesen und Physik sehr nützlich sind.

Betrachtet werden Vektorfelder, die jedem Punkt des Raumes einen Vektor zuordnen, und Skalarfelder, die jedem Punkt des Raumes einen Skalar zuordnen. Die Temperatur eines Swimmingpools ist ein Skalarfeld: Jedem Punkt wird der Skalarwert seiner Temperatur zugeordnet. Die Wasserbewegung in einem Swimmingpool ist dagegen ein Vektorfeld, da jedem Punkt ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet wird.

Die meisten analytischen Ergebnisse sind leichter mit Hilfe der Differentialgeometrie zu verstehen, einer Theorie, die die Vektoranalysis umfasst.

Gängige Differentialoperatoren

Drei Rechenoperationen sind in der Vektorrechnung von Bedeutung (dabei ist $\partial$ der Operator der partiellen Ableitung):

• Gradient eines Skalarfeldes: Gibt die Richtung und Stärke der Veränderung eines Skalarfeldes an; der Gradient eines Skalarfeldes ist ein Vektorfeld.

$\operatorname{grad}~\varphi:=\vec \nabla\varphi = \begin{pmatrix} \frac{\partial\varphi} {\partial x} \\[0.2cm] \frac{\partial\varphi}{\partial y} \\[0.2cm] \frac{\partial\varphi}{\partial z} \end{pmatrix}$

• Divergenz eines Vektorfeldes: Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an, zu Punkten hin oder von Punkten weg zu fließen; die Divergenz eines Vektorfeldes ist ein Skalarfeld. Die Divergenz beschreibt somit die lokale Quellendichte eines Vektorfeldes.

$\operatorname{div}~\vec F:=\vec \nabla \cdot \vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y}+ \frac{\partial F_z}{\partial z}$

• Rotation eines Vektorfeldes: Gibt die Tendenz eines Vektorfeldes an, um Punkte zu rotieren; die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Vektorfeld von Pseudovektoren. Die Rotation beschreibt somit die lokale Wirbeldichte eines Vektorfeldes.

$\operatorname{rot}~\vec F := \vec \nabla\times\vec F = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\[0.2cm] \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\[0.2cm] \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \end{pmatrix}$

Inverse Integraloperatoren

Zu den oben vorgestellten Differentialoperatoren existieren bei entsprechender Definition auch die inversen Integraloperatoren. Sie sind vor allem in der englischen Fachliteratur üblich. Sie ermöglichen unter anderem in der Elektrodynamik in Kombinationen mit den Greenschen Funktionskernen oft einfachere und elegantere Lösungswege. Sie bedürfen analog zu den Differentialoperatoren im konkreten Einzelfall der Anpassung der Integration in einem entsprechenden Koordinatensystem.

• Integraloperator $\operatorname {div}^{-1}$: Der Definitionsbereich des Operators ist die Menge aller Quellendichten $\operatorname {div} \vec F = y(\vec r)$. Sein Wertebereich umfasst die Menge aller Vektorfelder mit verschwindender Wirbelfeldkomponente. Angewandt auf die Quellendichte liefert der Operator $\operatorname {div}^{-1}$ das zugehörige Quellenfeld.

• Integraloperator $\operatorname {rot}^{-1}$: Der Definitionsbereich des Operators ist die Menge aller Wirbeldichten $\operatorname {rot} \vec F = \vec Y$. Sein Wertebereich umfasst die Menge aller Vektorfelder mit verschwindender Quellenfeldkomponente. Angewandt auf die Wirbeldichte liefert der Operator $\operatorname {rot}^{-1}$ das zugehörige Wirbelfeld.

• Integraloperator $\operatorname {grad}^{-1}$: Der Definitionsbereich des Operators ist die Menge aller Gradientenfelder $\operatorname {grad} f = \vec X$. Sein Wertebereich umfasst die Menge aller Potentialfelder mit verschwindendem ortsunabhängigen Anteil f₀. Lässt man alle Potentialfelder zu, besitzt $\operatorname {grad}^{-1}$ die Eigenschaft eines unbestimmten Integrals mit der dabei auftretenden Integrationskonstante f₀.

Integralsätze

Integralsätze haben insbesondere in der Physik (z. B. Elektrodynamik) eine große Bedeutung.

Satz von Gauß

Das Volumenintegral über eine skalare Größe kann mittels des Gradientbegriffs in ein Oberflächenintegral über dieses Volumen umgewandelt werden:

$\int_V \vec \nabla \Psi(\vec x) \mathrm{d} V = \oint_{\partial V} \Psi \cdot \mathrm{d} \vec F$

Dies ist ebenfalls für eine vektorielle Größe möglich, das Integral der Divergenz über das gesamte Volumen ist gleich dem Integral des Flusses über die Oberfläche:

$\int_V \vec \nabla \cdot \vec A(\vec x) \mathrm{d} V = \oint_{\partial V} \vec A \cdot \mathrm{d} \vec F$

Satz von Stokes

Das geschlossene Wegintegral einer vektoriellen Größe kann mittels der Rotation in ein Flächenintegral über eine vom Integrationsweg eingeschlossene Fläche umgewandelt werden:

$\oint_{\partial A} \vec F(\vec x) \cdot \mathrm d \vec s = \int_A (\vec \nabla \times \vec F) \cdot \mathrm{d} \vec A$

Fundamentalsatz der Vektoranalysis

Der Fundamentalsatz der Vektoranalysis, auch Helmholtzscher Zerlegungssatz genannt, beschreibt den allgemeinen Fall, dass sich jedes Vektorfeld $\vec F$ als eine Überlagerung eines Quellenfelds $\vec F_Q$ und eines Wirbelfeldes $\vec F_W$ beschreiben lässt:

$\vec F = \vec F_Q + \vec F_W$

Ein allgemeines Vektorfeld ist bezüglich seiner physikalischen Bedeutung daher nur dann eindeutig spezifiziert, wenn sowohl Aussagen über die Quellen- als auch Wirbeldichten und ggf. die notwendigen Randwerte vorliegen.

Identitäten

Diese Identitäten erweisen sich oft für Umformungen nützlich:

• $\vec \nabla \times \big( \vec \nabla \Psi \big) = \vec 0$
• $\vec \nabla \cdot \big( \vec \nabla \times \vec A \big) = 0$
• $\vec \nabla \times \big( \vec \nabla \times \vec A \big) = \vec \nabla \big( \vec \nabla \cdot \vec A \big) - \nabla^2 \vec A$

wird häufig zur Herleitung der Wellengleichung in der Elektrodynamik verwendet.

• $\vec \nabla \cdot \vec x = 3$
• $\vec \nabla \times \vec x = \vec 0$

Folgerung aus dem Verschwinden der Divergenz

Aus $\vec \nabla \cdot \vec A = 0$ folgt $\vec A = \vec \nabla \times \vec B$ mit einem Vektorfeld $\vec B$.

Folgerung aus dem Verschwinden der Rotation

Aus $\vec \nabla \times \vec A = 0$ folgt $\vec A = \vec \nabla \Psi$ mit einem Skalarfeld Ψ.

Siehe auch

• Differentialoperator

Literatur

• Klaus Jänich: Vektoranalysis Springer, Berlin März 2005, ISBN 3540237410
• Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 3. Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung [...], Vieweg Verlag Januar 2001, ISBN 3528349379
• M. Schneider: Über die Verwendung der Operatoren div^-1, rot^-1, grad^-1 in der Feldtheorie, Archiv für Elektrotechnik, Springer Verlag, 1997

Weblinks