Vektornorm

Vektornorm
Dieser Artikel erklärt neben den gleichbedeutenden Begriffen normierter Raum und normierter Vektorraum per Weiterleitung auch die Begriffe Norm (Mathematik), Vektornorm, Halbnorm (Seminorm), Operatornorm, Matrixnorm und Frobeniusnorm.
normierter Raum

berührt die Spezialgebiete

hat die Eigenschaften von

umfasst als Spezialfälle

Der mathematische Begriff der Norm ist die Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs der Länge eines Vektors. Eine Norm ist eine Funktion, die jedem Element eines Vektorraums eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet und eine Reihe weiterer Eigenschaften (unter anderem die Dreiecksungleichung) erfüllt. Der Vektorraum, auf dem die Norm definiert ist, wird dann normierter Raum oder auch normierter Vektorraum genannt.

Dieser Normbegriff unterscheidet sich wesentlich vom Begriff der Norm in der Körpertheorie, er wird daher manchmal auch Vektornorm im Gegensatz zur Körpernorm genannt.

Inhaltsverzeichnis

Formale Definition

Spezialfall reelle und komplexe Vektorräume

Sei V ein Vektorraum über dem Körper \Bbb K der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Funktion \lVert\cdot\rVert\colon V\to\R_{\geq 0} in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt Norm auf V, wenn für alle Vektoren x,y\in V und alle Skalare \alpha\in\Bbb K die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:

  1. \|x\| = 0 \;\Leftrightarrow\; x = 0 (Definitheit);
  2. \|\alpha\cdot x\| = |\alpha|\cdot\|x\| (Homogenität);
  3. \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| (die Dreiecksungleichung).

Ein Vektorraum V mit einer Norm \lVert\cdot\rVert heißt normierter Vektorraum oder normierter Raum. Man schreibt dann (V,\lVert\cdot\rVert) oder - wenn klar ist, um welche Norm es sich handelt - auch nur V.

Allgemeiner Fall

Den Begriff einer Norm kann man wesentlich allgemeiner betrachten, indem man den Vektorraum V allgemeiner durch einen Modul M ersetzt:

Sei M ein R-(Links)-Modul über einem unitären Ring mit Betrag (R, |\cdot|). Eine Funktion \|\cdot\|: M\to\R_{\geq 0} in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt Norm auf M, wenn für alle x,y\in M und alle Skalare \alpha\in R die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:

  1. \|x\| = 0 \;\Leftrightarrow\; x = 0 (Definitheit);
  2. \|\alpha\cdot x\| = |\alpha|\cdot\|x\| (Homogenität);
  3. \|x + y\| \leq \|x\| + \|y\| (die Dreiecksungleichung).

Bemerkungen

  • Aus der Homogenität folgt \|0\|=0 (d.h. in 1. ist eigentlich nur die Implikation „\Rightarrow\!“ erforderlich) und \|{-x}\|=\|x\|.
  • Wenn auf die Definitheit (Bedingung 1.) verzichtet wird, dann ist \|\cdot\| nur eine Halbnorm. Aus einem Raum mit Halbnorm erhält man einen normierten Raum als Faktorraum. Dazu werden Elemente x und y miteinander identifiziert, die \|x-y\|=0 erfüllen. In der Funktionalanalysis betrachtet man neben den normierten Räumen auch Vektorräume mit einer Menge von Halbnormen und kommt so zum Begriff des lokalkonvexen Raums.
  • Wenn im Grundring R der Betrag durch einen Pseudobetrag ersetzt wird (d.h. die Multiplikativität von |\cdot| zur Submultiplikativität abgeschwächt wird) und im Modul M die Homogenität von \|\cdot\| zur Subhomogenität abgeschwächt wird, erhält man den Begriff der Pseudonorm. Subhomogenität bedeutet, dass \|\alpha\cdot x\| \leq |\alpha|\cdot\|x\| für alle Vektoren x und jeden Skalar α gilt.

Einordnung

Jede Norm induziert durch d(x,y) := \|x-y\| eine Metrik, jeder normierte Raum ist also auch ein metrischer Raum, und damit wiederum auch ein topologischer Raum. Diese durch die Norm definierte Topologie nennt man auch die Normtopologie. Für eine Folge (xn)n gilt x_n\rightarrow x genau dann, wenn \|x_n-x\|\rightarrow 0. Die Norm ist eine stetige Abbildung in Bezug auf die durch sie induzierte Topologie.

Eine Norm kann, muss aber nicht, durch ein inneres Produkt (Skalarprodukt) \langle\cdot,\cdot\rangle definiert sein. Jeder Innenproduktraum ist mit

\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}

ein normierter Raum. Allgemein nennt man eine durch ein Skalarprodukt induzierte Norm auch Hilbertnorm.

Ein normierter Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in diesem Raum einen Grenzwert besitzt. Ein vollständiger normierter Raum heißt Banachraum, und ein vollständiger normierter Innenproduktraum heißt Hilbertraum.

Äquivalenz von Normen

Zwei Normen \|\,{\cdot}\,\|_a und \|\,{\cdot}\,\|_b heißen äquivalent, wenn es positive Konstanten c_1,\,c_2 gibt mit

c_1 \|x\|_b\leq \|x\|_a\leq c_2 \|x\|_b  für alle \,x.

Äquivalente Normen induzieren dieselbe uniforme Struktur und damit erst recht dieselbe Topologie.

Auf einem endlichdimensionalen Vektorraum, also z.B. auf \R^n, sind alle Normen äquivalent.

Betragsnormen

Normen auf Körpern (siehe z.B. p-adische Zahlen) sind die absoluten Beträge.

Vektornormen

p-Normen

Für endlichdimensionale Räume \Bbb K^n sind die so genannten p-Normen definiert als:

\|x\|_p := \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}

Dabei ist p\geq 1 eine reelle Zahl und | xi | der Absolutbetrag der i-ten Koordinate des Vektors x. Die aus diesen Normen abgeleiteten Metriken heißen auch Minkowski-Metriken. Für p < 1 können so keine Normen definiert werden, da dann die Dreiecksungleichung verletzt ist.

p = 1: Betragssummennorm

  • Die 1-Norm \|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|

heißt auch Betragssummennorm; die von ihr abgeleitete Metrik heißt speziell im zweidimensionalen Raum \mathbb{R}^2 auch Taxi-, City-Block- oder Manhattan-Metrik, da sie den Abstand zweier Punkte wie die Fahrtstrecke auf einem Stadtplan im Schachbrett-Format misst, auf dem man sich nur in senkrechten und waagerechten Abschnitten bewegen kann.

p = 2: Euklidische Norm

  • Die 2-Norm \|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}

heißt auch Euklidische Norm; ein mit der 2-Norm versehener Vektorraum wird ein Euklidischer Raum genannt. Im \mathbb{R}^2 und \mathbb{R}^3 beschreibt die euklidische Norm die anschauliche Länge eines Vektors und führt über die induzierte euklidische Metrik zu dem uns gewohnten Abstandsbegriff. Die Menge aller Vektoren mit Norm 1 bildet im \mathbb{R}^2 den Einheitskreis, im \mathbb{R}^3 die Einheitskugel und allgemein im \mathbb{R}^n die n-dimensionale Einheitssphäre. Die euklidische Norm ist die durch das Euklidische Skalarprodukt induzierte Norm:

\|x\|_2=\sqrt{\langle x,x\rangle}

p → ∞: Maximumsnorm

  • Die \infty-Norm \|x\|_{\infty} = \max_{i=1}^n |x_i|

heißt auch Maximumsnorm oder Tschebyschow-Norm. Sie ist formal keine p-Norm, kann aber als Grenzfall für p\to\infty aufgefasst werden, wie im folgenden Abschnitt gezeigt wird:

Zusammenhänge zwischen den p-Normen

Als Normen auf endlichdimensionalen Vektorräumen sind alle p-Normen inklusive der Maximumsnorm zueinander äquivalent; als eingrenzende Faktoren ergeben sich, wenn n die Dimension des Vektorraums ist:

\|x\|_p \leq \|x\|_1 \leq \sqrt[p\,]{n^{p-1}} \, \|x\|_p und
\|x\|_\infty \leq \|x\|_p \leq \sqrt[p\,]{n} \, \|x\|_{\infty} .

Aus der zweiten Zeile folgt der schon durch die Bezeichnungen angedeutete Zusammenhang

\lim_{p\to\infty} \|x\|_p = \|x\|_\infty

Außerdem gilt für q&amp;amp;gt;p \geq 1: \|x\|_p \geq \|x\|_q. Die Norm ist für wachsendes p monoton fallend.

Veranschaulichung in der euklidischen Ebene

Zur Veranschaulichung betrachten wir zweidimensionale Vektoren x\in\R^2. Die Menge aller Einheitsvektoren \left\{x\in\R^2\colon\|x\|_p=1\right\} bildet einen verallgemeinerten Einheitskreis, er fällt nur für p = 2 mit dem in der Geometrie betrachteten Kreisbegriff zusammen. Mit den Normen zu p=1, p=2 und p=∞ ergeben sich in einem kartesischen Koordinatensystem folgende Darstellungen der Einheitskreise:

Einheitskreis der 1-Norm

Einheitskreis der 2-Norm

Einheitskreis der Unendlich-Norm

lp-Normen

Die „\ell^p-Normen“ sind eine Verallgemeinerung der p-Normen auf spezielle unendlichdimensionale Vektorräume.

Wir gehen zunächst von der Menge \Bbb K^{\Bbb N} aller Zahlenfolgen in einem Körper (z.B. \Bbb K = \Bbb R) aus. Dabei wollen wir die Null als zu \Bbb N gehörend ansehen. Für eine reelle Zahl p\geq 1 bzw. das Symbol p=\infty betrachten wir die Teilmengen

\ell^p := \left\{\left(a_n\right)\in\Bbb K^\mathbb{N} \colon\left(\sum_{n=0}^\infty |a_n|^p\right) &amp;amp;lt; \infty\right\}, \qquad p \in [1,\infty)
\ell^\infty := \left\{ (a_n) \in \Bbb K^\mathbb{N}\colon \sup_{n\in \mathbb{N}} |a_n| &amp;amp;lt; \infty \right\}

aller „in p-ter Potenz summierbaren Folgen“ bzw. aller beschränkten Folgen. Die so erklärten Teilmengen \ell^p sind \Bbb K-Vektorräume, auf denen man die so genannte lp-Norm wie folgt definiert:

\|(a_n)\|_p := \sqrt[p]{\sum_{n=0}^\infty |a_n|^p}
\|(a_n)\|_\infty := \sup_{n\in\mathbb{N}} |a_n|

Versehen mit diesen Normen werden die Vektorräume \ell^p zu vollständigen normierten Räumen.

Lp-Normen

Die Definition der Lp-Räume und -Normen wird hier nur kurz angerissen, ausführlichere Informationen dazu finden sich im Artikel Lp-Raum.

Analog zu den Folgenräumen kann man den Vektorraum der Funktionen f:\R \rightarrow \R betrachten, und darin die "in p-ter Potenz integrierbaren Funktionen" herausgreifen, für die man so genannte Lp-Normen definiert. Das ist jedoch zunächst nur eine Halbnorm, da \|f\| = 0 nicht ausschließlich für die Nullfunktion gilt. Man geht deshalb über zu einem Faktorraum (den man Lp nennt), auf dem die Lp-Halbnorm dann eine Norm induziert.

Operatornormen

Für einen linearen Operator f:V \rightarrow W\, wird seine Operatornorm (anschaulich der größtmögliche Streckungsfaktor) bezüglich der Vektornormen folgendermaßen definiert:

\|f\| = \sup_{x \in V\setminus\{0\}} \frac{\|f(x)\|_W}{\|x\|_V} = \sup_{\|x\|_V = 1} \|f(x)\|_W.

Ist g:X \rightarrow V ein weiterer linearer Operator so sind die jeweiligen Operatornormen zusätzlich zu den üblichen Normeigenschaften submultiplikativ:

\|f \circ g\| \leq \|f\|\|g\| .

Dabei ist die Operatornorm von linearen Abbildungen zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen stets endlich, da die Einheitskugel eine kompakte Menge ist, und damit eine echte Norm. In unendlich-dimensionalen Vektorräumen ist dies nicht immer gegeben. Operatoren, deren Norm unendlich als Wert annimmt, werden unbeschränkt genannt. Dabei handelt es sich streng genommen nicht mehr um Normen im obigen Sinne. Man kann zeigen, dass ein linearer Operator zwischen normierten Räumen genau dann eine endliche Operatornorm hat, wenn er stetig ist.

Matrixnormen

Für reelle oder komplexe Matrizen können verschiedene Normen angegeben werden, wobei in der Literatur teilweise die Submultiplikativität als weitere definierende Eigenschaft verlangt wird. Es gibt jedoch Matrixnormen mit den üblichen Normeigenschaften, die nicht submultiplikativ sind. Eine Matrixnorm kann von einer Vektornorm induziert oder mit verschiedenen Vektornormen verträglich sein.

Eine Matrixnorm \|\,{\cdot}\,\|_M heißt induziert von einer Vektornorm \|\,{\cdot}\,\|_V, wenn sie von ihr in der oben beschriebenen Weise (als Operatornorm) abgeleitet ist, falls also gilt:

\|A\|_M = \sup_{x\not = 0}\frac{\|Ax\|_V}{\|x\|_V} = \sup_{\|x\|_V = 1}\|Ax\|_V.

Dabei wird das Supremum angenommen (sup kann durch max ersetzt werden), weil die Normabbildung stetig und die Menge der Einheitsvektoren (im endlichdimensionalen Vektorraum \Bbb K^n) kompakt ist.

Als Operatornorm ist eine induzierte Matrixnorm stets submultiplikativ, mit Matrizen ausgedrückt gilt also:

\| A \cdot B\| \leq \|A\| \|B\|

Eine Matrixnorm \|\,{\cdot}\,\|_M heißt mit einer Vektornorm \|\,{\cdot}\,\|_V verträglich, wenn gilt:

\|Ax\|_V \leq \|A\|_M\cdot \|x\|_V

Offensichtlich ist die von einer Vektornorm induzierte Matrixnorm mit dieser Vektornorm verträglich.

Matrixnormen haben einige nützliche Eigenschaften, so ist beispielsweise der Spektralradius einer Matrix (der betragsgrößte Eigenwert) niemals größer als der Wert einer beliebigen submultiplikativen Matrixnorm. Sie werden insbesondere in der numerischen Mathematik benutzt.

Beispiele für Matrixnormen

Name Definition Zusammenhänge mit Vektornormen
Spaltensummennorm \left\| A \right\|_1 = \max_j{\sum_{i=1}^m \left| a_{ij} \right|} induziert durch Betragssummennorm
Spektralnorm \left\| A \right\|_2 = \sqrt{\lambda_{{\rm max}}(A^{H}A)},
wobei AH die adjungierte (oder hermitesierte) Matrix und λmax den betragsmäßig größten Eigenwert des Matrixprodukts AHA bezeichnet.		 induziert durch Euklidische Norm
Zeilensummennorm \left\| A \right\|_\infty = \max_i{\sum_{j=1}^n \left| a_{ij} \right|} induziert durch Maximumsnorm
Gesamtnorm \|A\|=n \cdot \max_{i,j\in\{1,\dots,n\}}|a_{ij}| verträglich mit Betragssummennorm, Euklidischer Norm, Maximumsnorm
Frobeniusnorm \|A\|_{{\rm F}} = \sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}} = \sqrt{\operatorname{tr}\left(A^H A \right)}= \sqrt{\sum_{j=1}^n \lambda_j \left(A^H A \right)},

wobei \operatorname{tr}(A^H A) die Spur (englisch trace) von AHA bezeichnet und (\lambda_j \, (A^H A))_{j=1 \, \dots \, n} die Liste aller Eigenwerte von AHA mit ihren algebraischen Vielfachheiten ist.

 verträglich mit Euklidischer Norm

Ein Beispiel für eine nicht submultiplikative Matrixnorm ist \left\| A \right\| = \max_{i,j} |a_{ij}| .

Weitere Matrixnormen sind die Ky-Fan-Normen.


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