Venn-Diagramm

Mengendiagramme dienen der grafischen Veranschaulichung der Mengenlehre. Es gibt unterschiedliche Arten von Mengendiagrammen, zum Beispiel Euler-Diagramme (nach Leonhard Euler), Venn-Diagramme (nach John Venn) oder Johnston-Diagramme. Sie unterscheiden sich in erster Linie hinsichtlich ihres Anwendungsbereichs.

Mengendiagramme können Mengenbeziehungen verdeutlichen, sind jedoch im Allgemeinen nicht als mathematische Beweismittel geeignet. Als Beweismittel eignen sich nur solche Mengendiagramme, die alle möglichen Relationen der vertretenen Mengen darstellen; solche Diagramme werden Venn-Diagramme genannt. Der Nachteil von Venn-Diagrammen liegt darin, dass sie bei mehr als drei beteiligten Mengen rasch unübersichtlich werden, weil sie bei n Objekten 2ⁿ Möglichkeiten darstellen müssen. Venn selber konnte unter der Verwendung von Ellipsen bis zu vier, schließlich sogar fünf beteiligte Mengen darstellen.

Beispiele

Es sind die folgenden Veranschaulichungen durch Euler-Diagramme üblich:

	$x \in A$; x ist ein Element von A.
	$x \notin A$; x ist nicht Element von A.
	$B \subset A$ bzw. $A \supset B$ ; B ist eine Teilmenge von A bzw. A ist Obermenge von B.

Die folgenden Mengendiagramme sind Venn-Diagramme, weil jedes von ihnen alle möglichen Relationen zweier Mengen A und B zeigt: Der Kreis für A zeigt den Umfang der Menge A, der Kreis für B den Umfang der Menge B. Die Schnittfläche der beiden Kreise A bzw. B zeigt den Umfang der Schnittmenge der Mengen A und B; und so weiter. Jener Teil des Kreises A, der außerhalb der Schnittfläche beider Kreise liegt, umfasst alle Elemente der Menge A, die nicht auch Elemente der Menge B sind. Jener Teil des Kreises B, der außerhalb der Schnittfläche beider Kreise liegt, umfasst alle Elemente der Menge B, die nicht auch Elemente der Menge A sind; und so weiter.

	$A \cap B$ (Durchschnitt); A geschnitten mit B, also alle Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
	$A \cup B$ (Vereinigungsmenge); A vereinigt mit B, also alle Elemente, die in A oder in B oder in beiden enthalten sind.
	$A \setminus B$ (Differenzmenge); A ohne B, also alle Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B. Mit der Negation schreibt es sich: $A \cap \bar B$

Anwendungsbereiche

Euler-Diagramme

Euler-Diagramme werden in erster Linie dazu eingesetzt, mengentheoretische Sachverhalte, zum Beispiel die Teilmengeneigenschaft, anschaulich zu machen.

Venn-Diagramme

Venn-Diagramme lassen sich, da sie alle Relationen zwischen den betrachteten Mengen darstellen, dazu verwenden, Zusammenhänge abzulesen und aus dem Vorliegen einzelner Relationen auf das Vorliegen anderer Relationen zu schließen.

$a \in A$ $b \notin A$	$A \subset B$	$A \cap B$	$A \cup B$
A \ B	$A \triangle B$	X \ A = CA

Erweiterung auf mehr Mengen

Venns Konstruktion mit n = 3

Venns Konstruktion mit n = 4

Venns Konstruktion mit n = 5

Venns Konstruktion mit n = 6

Venns elegante Lösung mit 4 Ellipsen

Venn-Diagramme sind vor allem in der Darstellung für drei Mengen mit Kreisen bekannt. Venn hatte jedoch den Ehrgeiz „in sich elegante symmetrische Figuren“ zu finden, die eine größere Anzahl an Mengen darstellen, und zeigte ein Diagramm für vier Mengen in Ellipsenform. Er gab dann ein Konstruktionsverfahren an, mit dem man Venndiagramme für eine „beliebige“ Anzahl von Mengen darstellen kann, wobei jede geschlossene Kurve mit den anderen verflochten ist, ausgehend vom Diagramm mit drei Kreisen. Dabei wird ein „Schlauch“ über die jeweils letzte Mengendarstellung gezogen. Damit werden alle anderen Mengen geschnitten.

Johnston-Diagramme

Johnston-Diagramme sind eine zweiwertige aussagenlogische Interpretation von Mengendiagrammen, speziell Venn-Diagrammen. In einem Johnston-Diagramm wird ein Kreis (eine Menge) P als Menge der Sachverhalte interpretiert, unter denen eine Aussage P wahr ist. Der Bereich außerhalb des Kreises (das Komplement der Menge) P wird als Menge der Sachverhalte interpretiert, unter denen die Aussage falsch ist. Um zu sagen, dass eine Aussage wahr ist, malt man den ganzen Bereich außerhalb ihres Kreises schwarz an; man zeigt so an, dass die Sachverhalte, unter denen die Aussage nicht wahr ist, nicht zutreffen können. Um umgekehrt zu sagen, dass eine Aussage falsch ist, malt man den Bereich innerhalb ihres Kreises schwarz aus; man sagt so, dass die Sachverhalte, unter denen die Aussage wahr ist, nicht zutreffen können. Kombiniert man zwei Aussagen P, Q durch eine Konjunktion, d. h. will man ausdrücken, dass beide Aussagen wahr sind, malt man die gesamte Fläche, die außerhalb der Schnittfläche der Kreise P, Q liegt, schwarz an; man sagt so, dass keiner der Sachverhalte, unter denen nicht sowohl P als auch Q zutreffen, vorliegen kann.

Johnston-Diagramme sind somit eine Abbildung der klassischen Aussagenlogik auf die elementare Mengenlehre, wobei die Negation als Komplementbildung, die Konjunktion als Schnitt und die Disjunktion als Vereinigung dargestellt werden. Die Wahrheitswerte wahr und falsch werden auf die Allmenge beziehungsweise auf die leere Menge abgebildet.

Existentielle Graphen

• Hauptartikel: Existential Graphs

Eine enorme Erweiterung des Einsatzbereiches der Mengendiagramme stellen die Existenziellen Graphen von Peirce dar. Gewöhnliche Mengendiagramme werden in Peirces System als Alphagraphen bezeichnet und stellen hier atomare Beziehungen auf der Ebene der Aussagenlogik dar. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Mengendiagrammen lassen sich mit Peirceschen Beta- und Gammagraphen auch Terme der Prädikatenlogik erster Ordnung mit Identitätsbegriff sowie der modalen Logiken S4 und S5 (Clarence Irving Lewis, 1932) wiedergeben.

Geschichte

Leibniz benutzte bereits um 1690 Mengendiagramme zur Darstellung der Syllogistik.^[1] Christian Weise, Rektor des Gymnasiums in Zittau, verwendet um 1700 Mengendiagramme zur Darstellung logischer Verknüpfungen.^[2] J. C. Lange veröffentlichte 1712 das Buch Nucleus Logicae Weisianae, in dem Weises Logik behandelt wird.^[2] Leonhard Euler, Schweizer Mathematiker im 18. Jahrhundert, führte das Euler-Diagramm ein, das er erstmals in einem Brief vom 24. Februar 1761 verwendete.^[3]

John Venn, britischer Mathematiker im 19. Jahrhundert, führte 1881 das Venn-Diagramm ein. 1964 werden erstmals Arbeiten von Peirce akademisch gewürdigt, die dieser im letzten Viertel des 19. Jahrhunderts verfasst hatte und die die Existentiellen Graphen beschreiben.

Weblinks

Einzelnachweise

1. ↑ De Formae Logicae per linearum ductus, ~1690, erst posthum 1903 veröffentlicht in: Couturat: Opuscules et fragmentes inedits de Leibniz, 292-321
2. ↑ ^{a b} Moritz Wilhelm Drobisch: Logik nach ihren einfachsten Verhältnissen, Verlag Leopold Voss, Hamburg Leipzig, 5. Auflage 1887 S.99
3. ↑ Webseite http://www.begriffslogik.de/artikel/bookdip/node20.html, abgerufen am 30. August 2008