Vergrößerungsfaktor

Die Vergrößerungsfunktion (Formelzeichen: V), manchmal auch Vergrößerungsfaktor oder Verstärkungsfaktor genannt, ist ein Begriff aus der Maschinendynamik.

Sie gibt den mathematischen Zusammenhang zwischen der Eingangs- und Ausgangsamplitude eines Schwingungsystems an:

Abhängigkeit der Amplitude von der Erregerfrequenz und der Dämpfung

$V = \frac{\omega_0^2}{k\sqrt{(\omega_0^2-\Omega^2)^2 + (2\delta\Omega)^2}}$

Dabei bezeichnet:

• $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$ die ungedämpfte Eigenfrequenz des Systems,
  • k die Federkonstante bzw. das Direktionsmoment,
  • m die Masse
• Ω die Erregerfrequenz,
• $\delta=\frac{f}{2m}$ eine Dämpfungskonstante.
  • f der Widerstandskoeffizient

In Diagrammen wird sie häufig in Bezug zum Verhältnis von Erregerfrequenz zur Eigenkreisfrequenz (η = ω / ω₀) und in Abhängigkeit von der Dämpfung δ dargestellt.

Herleitung

Die Herleitung der Vergrößerungsfunktion erfolgt aus der Differentialgleichung für eine erzwungene Schwingung

$m\ddot \phi + f\dot \phi + k\phi = F_0 \cos\Omega t$ ^[1].

Der Ansatz vom „Typ der rechten Seite“

$\phi(t) = a\cos\Omega t+b\sin\Omega t\,$

führt durch Einsetzen auf die Gleichung

$\left(-ma\Omega^2+fb\Omega+ka\right)\cos\Omega t+\left(-mb\Omega^2-fa\Omega+kb\right)\sin\Omega t = F_0\cos\Omega t.$

Durch Vergleich der Koeffizienten von Sinus und Kosinus erhält man die Vektorgleichung

$\begin{pmatrix} k-m\Omega^2 & f\Omega \\ -f\Omega & k-m\Omega^2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}F_0\\ 0\end{pmatrix}.$

Die darin vorkommende Matrix ist schiefsymmetrisch, also eine Drehstreckung, und besitzt daher zwei betragsgleiche Eigenwerte. Daraus folgt

$\frac{F_0^2}{a^2+b^2} = \det\begin{pmatrix} k-m\Omega^2 & f\Omega \\ -f\Omega & k-m\Omega^2\end{pmatrix} = \left(k-m\Omega^2\right)^2+f^2\Omega^2 = m^2\left( \left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+\left(2\delta\Omega\right)^2\right).$

Also gilt für die Vergrößerungsfunktion

$V = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{|F_0|} = \frac{\omega_0^2}{k\sqrt{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+\left(2\delta\Omega\right)^2}}.$

Einzelnachweise

1. ↑ [1] mathe-planet.de